APS Coordenadas polares

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UTFPR - Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Francisco Beltra˜o
APS 1 de ca´lculo II sobre Coordenadas Polares
Professor Maycow Gonc¸alves Carneiro
Exerc´ıcio 1. Marque o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas. A seguir, encontre as
coordenadas cartesianas do ponto.
(a) (1, pi)
(b) (2,−2pi/3)
(c) (−2, 3pi/4)
(d) (−√2, 5pi/2)
(e) (1, 5pi/2)
(f) (2,−7pi/6)
Exerc´ıcio 2. As coordenadas cartesianas de um ponto sa˜o dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(a) (2,−2)
(b) (−1,√3)
(c) (3
√
3, 3)
(d) (1,−√3)
Exerc´ıcio 3. Esboce a regia˜o no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares
satisfazem as condic¸o˜es dadas.
(a) 1 ≤ r ≤ 2
(b) 0 < r < 4, −pi/2 < θ < pi/6
(c) 2 < r < 3, 5pi/3 ≤ θ ≤ 7pi/3
(d) r ≥ 1, pi ≤ θ ≤ 2pi
Exerc´ıcio 4. Encontre a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar dada.
(a) r = 2
(b) r = 3sen(θ)
(c) r = cossec(θ)
(d) rcos(θ) = 1
(e) r = 2sen(θ) + 2cos(θ)
(f) r = tg(θ)sec(θ)
Exerc´ıcio 5. Encontre uma equac¸a˜o polar para a curva representada pela equac¸a˜o cartesiana
dada.
(a) y = 5
(b) x = −y2
(c) x2 + y2 = 2x
(d) x2 + y2 = 9
(e) y = 2x− 1
(f) xy = 4
Exerc´ıcio 6. Esboce a curva com a equac¸a˜o dada.
(a) θ = −pi/6
(b) r = sen(θ)
(c) r = 2(1− sen(θ)), θ ≥ 0
(d) r = θ, θ ≥ 0
(e) r = sen(2θ)
(f) r = 2cos(4θ)
(g) r2 = 9sen(2θ)
(h) r = 1 + 2cos(2θ)
Exerc´ıcio 7. Calcule a a´rea da regia˜o que esta´ dentro da primeira curva e fora da segunda,
respectivamente.
(a) r = 3 sin θ e r = 1 + sin θ.
(b) r = 2 cos θ e r = 1.
(c) r = 4 sin θ e r = 2.
(d) r = 3 cos θ e r = 1 + cos θ.
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