Avaliação Transferência de Massa

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
DISCIPLINA: TRANSFERENCIA DE MASSA 
DOCENTE: EMANUEL NEGRÃO MACEDO 
DISCENTE: BRUNA MAIA DOS SANTOS 
MATRICULA Nº 201807540034 
 
 
 
 
 
2ª AVALIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM/PA 
2022 
BRUNA MAIA DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
2ª AVALIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Trabalho avaliativo apresentado a 
Faculdade de Engenharia Química, da 
Universidade Federal do Pará como 
requisito avaliativo referente a Disciplina 
de Transferência de Massa, ministrada pelo 
Prof. Dr. Emanuel Negrão Macedo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém/PA 
2022 
Sumário 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 4 
2. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 5 
4. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO .................................................................................... 6 
4.1. Adimensionalização ..................................................................................................... 7 
4.2. Aproximação Clássica – Parâmetros Concentrados .................................................... 8 
4.3. Técnica das Integrais Acopladas (CIEA) ..................................................................... 9 
Aproximação H0, 0/H0, 0 ....................................................................................................... 9 
Aproximação H1, 1/H0, 0 ....................................................................................................... 9 
Aproximação H1, 1/H0, 1 ..................................................................................................... 10 
5. IMPLANTAÇÃO NO MATHEMATICA ....................................................................... 10 
RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................. 14 
CONCLUSÃO .......................................................................................................................... 17 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Uma reação de metanação, também chamada de reação de Sabatier, consiste na 
hidrogenação do CO2, sendo este convertido em metano e água como mostra a equação (1). 
Esse processo é altamente exotérmico, geralmente sendo realizado em temperaturas mais 
baixas, na faixa de 200 a 400 °C (DIAS, 2019; MOURA; SILVA, 2015) 
𝐶𝑂2 + 4𝐻2 → 𝐶𝐻4 + 2𝐻2𝑂 ΔH = −165kJ. mol
−1 (1) 
Entretanto, apesar de que tal processo possa acontecer na sua forma direta, é mais 
comum que ocorra pelo acoplamento de duas reações, a Reverse Water-Gas Shift (RWGS), 
ou seja, a reação reversa de deslocamento gás-água, e pela reação de metanação do CO 
mostradas na equação (2) e (3). (STANGELAND et al, 2017) 
𝐶𝑂 + 3𝐻3 → 𝐶𝐻4 + 𝐻2𝑂 ΔH = 41kJ. mol
−1 (2) 
𝐶𝑂2 + 4𝐻2 → 𝐶𝐻4 + 2𝐻2𝑂 ΔH = −206kJ. mol
−1 (3) 
A reação de metanação primeiramente costumava ser utilizada para remover traços de 
óxido de carbono do gás de alimentação do processo de síntese de amônia, contudo, 
atualmente, com o avanço das preocupações climáticas e buscas por processos de energia mais 
limpa, esse processo está sendo utilizado na formação de energia. Um exemplo é a utilização 
do metano, já que este pode ser usado como fonte energética na forma de gás natural sintético 
(GNS), com aplicações como na geração de energia elétrica em processos power-to-gas 
(P2G), além disso essa substancia pode ser usada como combustível, matéria-prima para 
outros hidrocarbonetos, como o etano, entre outras aplicações. (CAMPEIRO, 2021; DIAS, 
2019; MOURA; SILVA, 2015; STANGELAND et al, 2017) 
Ademais, essa reação também pode ser usada até mesmo para o controle das emissões 
de gás carbônico na atmosfera. Por conta disso tudo, a produção de pesquisas envolvendo a 
reação de metanação vem tendo um aumento significativo entre os anos de 2000 e 2020 
(CAMPEIRO, 2021; MOURA; SILVA, 2015) 
 
2. OBJETIVOS 
O objetivo do presente trabalho é adotar um modelo matemático para o processo de 
metanação utilizando um reator catalítico em escala laboratorial com EDP’s sobre o balanço de 
massa e energia, e assim, a partir desse modelo, se reduzir este a um sistema de EDOs através 
da Técnica das Integrais Acopladas. Por fim, resolver as EDOs utilizando a rotina NDSOLVE 
do Software de MATHEMATICA e fazer comparações com os resultados obtidos. 
 
3. MODELO MATEMATICO PROPOSTO 
O modelo a ser adotado será da hidrogenação de CO2 com hidrogênio em excesso 
realizado em um reator de leito fixo adiabático em escala experimental. Um reator desse tipo 
geralmente é preenchido com pellets catalíticos e, assim o seu calor é utilizado para o aumento 
da temperatura do gás. Desse modo, a taxa de reação será alta e necessitando uma quantidade 
relativamente pequena de catalisador, porém à medida que a temperatura aumenta, a reação 
tende aos reagentes e a reação chega a um equilíbrio químico. Sendo assim esse aumento da 
temperatura deve ser limitado devido à sinterização do catalisador. Para que isso ocorra 
geralmente se utiliza um gás inerte na reação, alimentação de um excedente dos reagentes ou 
por reciclo do produto. (CAMPEIRO, 2021; EIGENBERGER; BUTT 1976) 
A descrição de um reator catalítico pode ser um modelo complexo devido aos 
fenômenos de transferência de calor e massa entre duas fases e dentro de cada fase, bem como 
também a devido a reação química em uma ou mais fases, entre outras considerações. Mas 
nem sempre é necessário levar todos os fenômenos em conta, para o modelo proposto será 
adotado um modelo mais simplificado, sendo que este processo será composto por 5 níveis, 
sendo estes níveis sucessivos que representam subsistemas de ordem crescente. (VAN 
DOESBURG; DE JONG, 1976) 
O primeiro nível representa a taxa de reação de metanação dos óxidos de carbono, já 
o seguinte é em relação aos pellets que demostra que a partícula do catalisador pode ser 
considerada isotérmica e que a influência da difusão dos poros na taxa de processo global 
pode ser desprezada. Já o nível 3 representa o transporte de calor e massa de e para a partícula 
onde as concentrações e a temperatura nos pellets e na fase gasosa podem ser consideradas 
iguais e que um modelo pseudo-homogêneo. No 4 nível verificasse que a dispersão axial de 
massa não é importante e que a dispersão axial de calor por convecção, condução ou radiação 
são desprezíveis. Portanto, um modelo de plug flow pode ser adotado. Por fim no ultimo nível 
é necessário levar em consideração a capacidade calorífica da parede do reator, bem como a 
do leito catalisador. Já a parede do reator pode ser considerada como parte de um meio quase 
homogêneo em relação à temperatura, uma vez que a transferência de calor do leito do 
catalisador para a parede é um processo muito mais rápido do que as mudanças de temperatura 
no leito. Além disso, a condução axial através da parede do reator, que é feito de vidro, não 
precisa ser levada em consideração. (VAN DOESBURG; DE JONG, 1976) 
Com base nisso, a formulação aqui apresentada é baseada no trabalho de Eigenberger; 
Butt (1976) a qual foi adaptada do trabalho de Van Doesburg; De Jong (1976). Desse modo 
as equações de balanço, de massa e energia respectivamente, para o CO2 são dadas abaixo 
𝜕𝐶
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕2𝐶
𝜕𝑥2
− 𝑣
𝜕𝐶
𝜕𝑥
− 𝑟(𝐶, 𝑇) (4.a) 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑘
𝜌𝑐𝑝
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
− 𝜀𝑣
𝜌𝑔𝑐𝑝𝑔
𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
2𝑘𝑤
𝑅𝐿𝜌𝑐𝑝
(𝑇𝑤 − 𝑇) +
(−∆𝐻)
𝜌𝑐𝑝
𝑟𝐴 (4.b) 
A taxa de reação é dada por 
𝑟𝐴 = 𝑘𝑟
𝐶𝑒−𝐸 𝑅𝑇⁄
1 + 𝑘𝑐𝐶
 
Com as condições iniciais e de contorno 
𝜕𝐶
𝜕𝑥
(0, 𝑡) =
𝑣
𝐷
(𝐶 − 𝐶𝑖𝑛); 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
(0, 𝑡) =
𝜀𝑣𝜌𝑔𝑐𝑝𝑔
𝑘
(𝐶 − 𝐶𝑖𝑛) (4.d) 
𝜕𝐶
𝜕𝑥
(𝐿, 𝑡)= 0; 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
(𝐿, 𝑡) = 0 (4.e) 
𝐶(𝑥, 0) = 𝐶0(𝑥); 𝑇(𝑥, 0) = 𝑇0(𝑥) (4.f) 
4. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO 
A metodologia de solução do modelo matemático proposto no presente trabalho seguirá 
a seguinte ordem: primeiramente será realizada a adimensionalização do sistema de equações e 
de suas condições de contorno. Em seguida será aplicado o Método das Integrais Acopladas 
(CIEA) para transformar as Equações Diferenciais Parciais (EDPs) em Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDOs). Após isso, então, os novos sistemas de equações obtidos serão resolvidos 
pela rotina NDSolve do Software Wolfram Mathematica. 
 
4.1.Adimensionalização 
Definindo os grupos adimensionais 
𝜂 =
𝑥
𝐿
; 𝜏 =
𝑡
𝑡𝑟𝑒𝑓
; 𝑡𝑟𝑒𝑓 =
𝐿
𝑣
; 𝑦 =
𝐶
𝐶𝑖𝑛
; 𝜃 =
𝑇
𝑇𝑖𝑛
; 𝜃𝑤 =
𝑇𝑤
𝑇𝑖𝑛
 (5.a) 
𝑃𝑒𝑚 =
𝑣𝐿
𝐷
; 𝑃𝑒 =
𝑣𝐿
𝛼
 ; ϵ =
𝐸
𝑅𝑇𝑖𝑛
; 𝛾 =
𝜌𝑔𝑐𝑝𝑔
𝜌𝑐𝑝
; 𝐾𝑐 = 𝑘𝑐𝐶𝑖𝑛 (5.b) 
∆Η̃ =
−∆𝐻𝐶𝑖𝑛
𝜌𝑐𝑝𝑇𝑖𝑛
; 𝐾𝑤 =
2𝑘𝑤𝐿
𝑣𝑅𝐿𝜌𝑐𝑝
; 𝐾𝑟 =
𝐿𝑘𝑟
𝑣
 (5.c) 
𝑅𝐴 =
𝑡𝑟𝑒𝑓
𝐶𝑖𝑛
𝑟𝐴 = 𝐾𝑟𝑒
−ϵ 𝜃⁄ 𝑦
1+𝐾𝑐𝑦
 (5.d) 
Desta forma, o modelo adimensional será o seguinte 
𝜕𝑦
𝜕𝜏
=
1
𝑃𝑒𝑚
𝜕2𝑦
𝜕𝜂2
−
𝜕𝑦
𝜕𝜂
− 𝑅𝐴 (6.a) 
𝜕𝜃
𝜕𝜏
=
1
𝑃𝑒
𝜕2𝜃
𝜕𝜂2
− 𝜀𝛾
𝜕𝜃
𝜕𝜂
= 𝐾𝑤(𝜃𝑤 − 𝜃)+∆Η̃𝑅𝐴 (6.b) 
𝜏 = 0
𝑦 = 𝑦𝑖(𝜂)
𝜃 = 𝜃𝑖(𝜂)
 (6.c-d) 
𝜂 = 0
−
𝜕𝑦
𝜕𝜂
= 𝑃𝑒𝑚(1 − 𝑦)
−
𝜕𝜃
𝜕𝜂
= 𝜀𝛾𝑃𝑒(1 − 𝜃)
 (6.e-f) 
𝜂 = 1
𝜕𝑦
𝜕𝜂
=
𝜕𝜃
𝜕𝜂
= 0 (6.g) 
𝑅𝐴 = 𝐾𝑟𝑒
−ϵ 𝜃⁄ 𝑦
1+𝐾𝑐𝑦
 (6.h) 
 
O problema proposto apresenta 2 EDPs para o balanço de massa e de energia, 
respectivamente. Assim, o objetivo agora é apresentar uma formulação simplificada melhorada 
para as EDPs e com isso o sistema de equações se torna um sistema de EDOs. Assim, para obter 
formulações melhoradas em termos de parâmetros concentrados para as equações, se considera 
as seguintes fórmulas de aproximação de Hermite para integrais: 
 
 
h
0,0
0
h
H f (x)dx f (0) f (h)
2
   , Regra do trapézio (7.a) 
   
2h
1,1
0
h h
H f (x)dx f (0) f (h) f '(0) f '(h)
2 12
     Regra do trapézio corrigida (7.b) 
 
2h
0,1
0
h h
H f (x)dx f (0) 2f (h) f '(h)
3 6
    (7.c) 
 
Desse modo, será procurado uma formulação simplificada para as equações diferenciais, 
através da eliminação da dependência espacial, i.e., pela integração das EDPs na variável 
independente () sobre o domínio. Resultando, assim, num sistema de equações diferenciais 
ordinárias para os potenciais médios. Para isso, se partira da definição dos potenciais médios. 
�̃� = ∫ 𝑦(𝜂, 𝜏)𝑑𝜂
1
0
 �̃� = ∫ 𝜃(𝜂, 𝜏)𝑑𝜂
1
0
 (8.a-b) 
Desse modo, aplicando essa definição nas equações anteriores, o sistema de equações 
se torna 
𝜕�̃�
𝜕𝜏
= (1 − 𝑦1) − 𝐼 (9.a) 
𝜕�̃�
𝜕𝜏
= 𝜀𝛾(1 − 𝜃1) + 𝐾𝑤(𝜃𝑤 − �̃�) + ∆Η̃𝐼 (9.b) 
𝐼 = ∫ 𝑅𝐴(𝜂, 𝜏)𝑑𝜂
1
0
 (9.c) 
𝜏 = 0
�̃� = ∫ 𝑦𝑖(𝜂)𝑑𝜂
1
0
= 𝑦�̃�
�̃� = ∫ 𝜃𝑖(𝜂)𝑑𝜂
1
0
= 𝜃�̃�
 (9.d-e) 
Sendo 
𝑦1 = 𝑦(1, 𝜏), 𝑦0 = (0, 𝜏), 𝜃1 = 𝜃(1, 𝜏), 𝜃0 = (0, 𝜏) (9.f-i) 
4.2.Aproximação Clássica – Parâmetros Concentrados 
A aproximação em termos de parâmetros concentrados se baseia na hipótese de que os 
gradientes na direção radial são pequenos, de modo que os potenciais da superfície 
(𝑦1, 𝜃1) podem ser aproximados pelos seus valores médios, dessa forma: 
�̃� ≈ 𝑦1; �̃� ≈ 𝜃1 (10.a-b) 
Além dessa aproximação, deve-se calcular 𝐼 = ∫ 𝑅𝐴(𝜂, 𝜏)𝑑𝜂
1
0
, e para isso será considerado que 
os potenciais locais serão aproximados pelos seus valores médios, ou seja, 𝑦(𝜂, 𝜏) ≈ �̃� e 
𝜃(𝜂, 𝜏) ≈ 𝜃 ̃, assim 
𝑅�̃� = 𝐾𝑟𝑒
−ϵ 𝜃 ̃⁄ �̃�
1+𝐾𝑐�̃�
 (10.c) 
 
Assim as equações se tornam 
𝜕�̃�
𝜕𝜏
= (1 − �̃�) − 𝐼 (10.d) 
𝜕�̃�
𝜕𝜏
= 𝜀𝛾(1 − �̃�) + 𝐾𝑤(𝜃𝑤 − �̃�) + ∆Η̃𝐼 (10.e) 
𝐼 = 𝑅�̃� (10.e) 
𝜏 = 0
�̃� = ∫ 𝑦𝑖(𝜂)𝑑𝜂
1
0
= 𝑦�̃�
�̃� = ∫ 𝜃𝑖(𝜂)𝑑𝜂
1
0
= 𝜃�̃�
 (10.f-g) 
4.3.Técnica das Integrais Acopladas (CIEA) 
Pode-se refinar a aproximação de parâmetros concentrados pela introdução pela técnica 
das integrais acopladas (CIEA), apresentadas nas equações 7 (a-c) 
Aproximação H0, 0/H0, 0 
 Utilizando a aproximação H0,0/H0,0 (7.a) e utilizando uma variável denominada de z para 
conseguir equações gerais, chegamos em: 
2�̃� = 𝑧0 + 𝑧1 (11.a) 
2(𝑧0 + 𝑧1) =
𝜕𝑧
𝜕𝜂
|
𝜂=0
(1−𝑧0) (11.b) 
Assim substituindo temos para a concentração 
2�̃� = 𝑦0 + 𝑦1 (11.c) 
2(𝑦0 + 𝑦1) =
𝜕𝑦
𝜕𝜂
|
𝜂=0
(1−𝑦0) (11.d) 
Substituindo na equação 11.d o valor encontrado na equação 6.e 
2(𝑦0 + 𝑦1) = −𝑃𝑒𝑚(1−𝑦0) (11.e) 
Do mesmo modo para a temperatura 
2�̃� = 𝜃0 + 𝜃1 (11.f) 
2(𝜃0 + 𝜃1) = −𝜀𝛾𝑃𝑒(1−𝜃0) 
Aproximação H1, 1/H0, 0 
Se refinando pela aproximação H0,0 e H1,1 (7.a-b) 
2(𝑧0 + 𝑧1) =
𝜕𝑧
𝜕𝜂
|
𝜂=0
(1−𝑧0) 
12�̃� = 6(𝑧0 + 𝑧1) +
𝜕𝑧
𝜕𝜂
|
𝜂=0
(1−𝑧0) 
Aproximação H1, 1/H0, 1 
Se refinando pela aproximação H1,1 e H0,1 (7.b-c) 
12�̃� = 6(𝑧0 + 𝑧1) +
𝜕𝑧
𝜕𝜂
|
𝜂=0
(1−𝑧0) 
3�̃� = (𝑧0 + 2𝑧1) 
5. IMPLANTAÇÃO NO MATHEMATICA 
Assim, a formulação clássica (10.a-g) e as formulações obtidas pela Técnica das 
Integrais Acopladas (11. a-j), foram implementados no Software de Manipulação simbólica 
Wolfram Mathematica. Os sistemas de EDOs foram resolvidos numericamente pela rotina 
“NDSolveValue”, em função do tempo, conforme a figura do código abaixo. 
Primeiramente foram colocados os dados de entrada com os valores retirados do artigo 
de Eigenberger; Butt (1976) assim como os parâmetros adimensionalizados mostrados na 
equação 5.a-d 
 
Figura 1: Dados de Entrada e Formulações adimensionais 
 
Após isso são implementadas as equações pela aproximação clássica e pela as 
aproximações H0, 0/H0, 0; H1, 1/H0, 0 e H1, 1/H0, 1 
 
Figura 1: Implementação das equações 9 (a-e) 
 
Figura 2: Implementação da Aproximação Clássica 
 
 
Figura 3: Implementação da Aproximação H0, 0/H0, 0 
 
 
Figura 4: Implementação da Aproximação H1, 1/H0, 0 
 
 
 
Figura 5: Implementação da Aproximação H1, 1/H0, 1 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Nas figuras são apresentados resultados da aproximação clássica e das aproximações 
H0, 0/H0, 0; H1, 1/H0, 0 e H1, 1/H0, 1 respectivamente para �̃� e �̃� 
 
 
Figura 6: Grafico de �̃� pelas aproximações (a) Aprox. Classica, (b) H0, 0/H0, 0, (c) H1, 1/H0, 0 e (d) H1, 1/H0, 1 
 
Figura 7: Grafico de �̃� pelas aproximações (a) Aprox. Classica, (b) H0, 0/H0, 0, (c) H1, 1/H0, 0 e (d) H1, 1/H0, 1 
 
Figura 8: Gráficos de comparação de �̃� e �̃� respectivamente para as aproximações Classica, H0, 0/H0, 0, H1, 1/H0, 0 
e H1, 1/H0, 1 
É possível verificar que para a aproximação de �̃� as aproximações apresentam valores 
próximos, a ponto de a aproximação H1, 1/H0, 0 e H1, 1/H0, 1 se sobrepuserem no gráfico de 
comparação, sendo que todas constam o aumento do gás CO2 no processo. Já para �̃�, o mesmo 
acontece, mas a variação de temperatura é pequena. 
Já para as aproximações na superfície, primeiramente de 𝑦1, apresentado na figura 9, 
apesar de também representarem um crescimento da quantidade de gás, se percebe que no início 
do processo o gráfico não condiz fisicamente com o comportamento esperado, o mesmo 
ocorrendo 𝜃1, apresentado na figura 10. Isso indica que a metodologia adotada não foi capaz 
de capturar adequadamente os valores potenciais na saída do reator no período inicial do 
processo. 
 
Figura 9: Grafico de 𝑦1 pelas aproximações (a) H0, 0/H0, 0, (b) H1, 1/H0, 0 e (c) H1, 1/H0, 1 
 
 
Figura 10: Grafico de 𝜃1 pelas aproximações (a) H0, 0/H0, 0, (b) H1, 1/H0, 0 e (c) H1, 1/H0, 1 
 
Figura 11: Grafico de comparação de 𝜃1 e 𝑦1 pelas aproximações (a) H0, 0/H0, 0, (b) H1, 1/H0, 0 e (c) H1, 1/H0, 1 
 
Também é importante realizar uma análise envolvendo a soluçãodas equações 
diferenciais apresentadas no problema (4.a-f), as mesmas também foram resolvidas no 
Mathematica e seus gráficos foram plotados como mostrado na figura 12. 
 
 
Figura 12: Solução da Equação Diferencial Parcial 
 
 
Desse modo é possível observar que para 𝑦1 as aproximações de Hermite não apresentam 
resultando físico condizente no período inicial, mas assumindo um comportamento igual ao da 
solução no tempo t=2. Já em relação a 𝜃1 se observa uma temperatura relativamente menor ao 
da solução, mas apresentando o mesmo comportamento de reta. Lembrando que isso ocorre 
devido a variação de temperatura ser pequena e que no gráfico 10. 
Já para �̃� é possível observar que enquanto os gráficos das aproximações representam 
uma reta, o da solução é mais curvado, assim fica evidente um erro muito grande nas 
aproximações realizadas. Para �̃� a aproximação mais representativa foi a da H0, 0/H0, 0. 
 
CONCLUSÃO 
Desse modo, é possível concluir que apesar das formulações propostas seguirem o 
comportamento esperado de crescimento tanto da concentração quanto da temperatura, as 
aproximações de Hermite apresentadas no trabalho não foram apropriadas para conseguir 
capturar os valores potenciais na saída do reator, apresentando um resultado não condizente 
fisicamente com o problema no tempo inicial, portanto o mais adequado seria utilizar outro tipo 
de aproximação. 
 
REFERENCIAS 
CAMPEIRO, Richard Rafael. Análise e simulação da reação de metanação do dióxido de carbono. 
2021. 
VAN DOESBURG, Hans; DE JONG, W. A. Transient behaviour of an adiabatic fixed-bed 
methanator—I: Experiments with binary feeds of CO or CO2 in hydrogen. Chemical Engineering 
Science, v. 31, n. 1, p. 45-51, 1976. 
DIAS, Y. R. Metanação de CO2 sobre catalisadores Ni-M/SiO2 (M= Cu, Fe, Co, Zn). 2019. 
EIGENBERGER, G.; BUTT, J. B. A modified Crank—Nicolson technique with non-equidistant space 
steps. Chemical Engineering Science, v. 31, n. 8, p. 681-691, 1976. 
MOURA, C. M; SILVA. G. A Avaliação da utilização da metanação de CO2 para o controle das 
emissões nocivas à atmosfera. 2015 
STANGELAND, K. et al. CO2 methanation: the effect of catalysts and reaction conditions. Energy 
Procedia, v. 105, p. 2022-2027, 2017.