AAB_Revisao_funçoes_II_3_aula_2021

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I 
• Definição de função 
• Domínio e Contradomínio 
• Notação 
• Representação através de diagramas 
• Gráfico de uma função 
• Domínio e Imagem a partir do gráfico 
• Operações entre funções 
• Função Composta 
• Exemplos 
• Definições adicionais 
• Funções elementares 
 
Definição 
Seja A, B   subconjuntos de R . 
 f:AB é uma função de A em B se: 
  x  A,  y  B / y = f(x) 
• A = Dm(f) é chamado domínio de f, 
• B = CD(f) é chamado de contradomínio de f, 
• Im(f) = y  B / y = f(x), x  A 
 
f: A B 
 x f(x) 
 
 Ou 
 f 
A B 
 x y = f(x). 
 
 
A - Domínio 
B - Contradomínio 
Representação através de diagramas 
 
g: A B ( não é função) 
v 
A 
B 
h: A B ( não é função) 
v 
A 
B 
Definição (Gráfico) 
Seja A, B   subconjuntos de R . 
 f:AB é uma função 
G(f) = (x, f(x)); x  A = Dm(f) é chamado gráfico de f 
 
Ex: 
 
i) 
ii) iii) 
Qualquer reta perpendicular 
ao eixo Ox intercepta o 
gráfico em um único ponto; 
portanto, o gráfico representa 
uma função de x em y. 
Existem retas perpendiculares ao 
eixo Ox que interceptam o 
gráfico em mais de um ponto; 
portanto, o gráfico não representa 
uma função de x em y. 
Existem retas perpendiculares ao 
eixo Ox que interceptam o gráfico 
em mais de um ponto; portanto, o 
gráfico não representa uma função 
de x em y. 
Domínio e imagem a partir do gráfico 
x 
y 
a b 
f(b) 
f(a) 
Imagem: f(a)  f(x)  f(b) ou [f(a), f(b)] 
Definição: 
 f: Df R e g: Dg R; x Df  Dg 
• (f+g)(x) = f(x)+g(x) 
• (f - g)(x) = f(x) - g(x) 
• (f.g)(x) = f(x).g(x) 
• (f/g)(x) = f(x)/g(x); g(x)  0 
 
• O domínio das funções f+g, f-g, e f.g, é a interseção 
dos domínios de f e g. 
 
• O domínio das funções f/g é a interseção dos 
domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde 
g(x) =0. 
Definição: 
 f: Df R e g: Dg R; com Im(f)  Dg 
Definimos a função composta de g com f, a função 
h: Df R dada por: 
h(x)=(g o f ) (x) = g(f(x)),  x D(f) 
 
Dm(h) = Dm(g o f ) = {x  Dm(f) / f(x)  Dm(g)}. 
Em diagrama temos: 
 
 
 Dm(f) R 
f(x) g(f(x)) 
g0 f 
 f g 
Im(f) Dm(g) R 
 
R 
 
x 
Im(f) 
Dm(g) 
Considere as funções: 
 
Neste caso temos, 
e 
Conclusão: 
 Em geral (f o g )  (g o f ) 
 
 Encontre a lei da função (g o f) . 
 
 
 Dm(f) = [0,+) e Im(f ) = [0,+). 
 Dm(g) = (-, ) e Im(g) = (-, ). 
 Im(f )  Dm(g). 
 Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x)  Dm(g)}= [0,+). 
 
xxf )( 1)(  xxg
.1)())(()(  xxgxfgfgo
Seja e . 
Exemplo 
• Seja 
Encontre a lei da função (f o g) 
 
 
Dm(f) = [0,+) e Im(f) = [0,+) 
Dm(g) = (- , +) e Im(g) = (- , +) 
Dm(fog) = {xDm(g) / g(x)  Dm(f)}= [1,+). 
Isso porque, x-1  Dm(f) = (0,+) ou seja x-10 ou x 1. 
xxf )( 1)(  xxg
.1)1())(()(  xxfxgfgfo
e . 
Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x + 3, g(x) = 2x – 1. 
Exemplo 
 
1o Modo 
Vamos obter primeiramente a f(g(x)) 
f(x) = x + 3 
f(…) = (…) + 3 
f(g(x)) = g(x) + 3 
f(g(x)) = 2x – 1 + 3 
f(g(x)) = 2x + 2 
 Se f(g(x)) = 2x + 2, então: 
f(g(5)) = 2.5 + 2 
 
2o Modo 
 Vamos “abrir a função” 
g(x) = 2x – 1 
g(5) = 2.5 – 1 
g(5) = 10 – 1 
g(5) = 9 
f(x) = x + 3 
f(9) = 9 + 3 = 12 
 
 
f(g(5)) = 12 
Portanto f(g(5)) = 12 
O valor de f(g(5)) é: 
Como queremos calcular f(g(5)) ,procedemos 
assim: 
Exemplo 
 Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x-1, Calcule f(g(h(3)). 
h(x) = 3x – 1 
h(3) = 3.3 – 1 
h(3) = 9 – 1 
h(3) = 8 
 
g(x) = x – 5 
g(8) = 8 – 5 
g(8) = 3 
 
f(x) = 2x + 3 
f(3) = 2.3 + 3 
f(3) = 6 + 3 
f(3) = 9 
 
Exercício 
i) Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g: 
a) f(x)= x + 3 e g(x)= x2 – 5. 
ii) Sejam as f e g reais definidas por f(x)=2x+a e g(x) = 3x-2 
com a  IR. Determine a de modo que, para todo x  IR, temos: 
 
f(g(x)) = g(f(x)) 
Definições Adicionais 
f: Df R 
Diremos que: 
i) f é par  f(x) = f(-x);  x  Df 
ii) f é impar  f(-x) = -f(x);  x  Df 
 
Exemplo: 
Definição: 
 
Uma função f é crescente 
num intervalo I se x1 > x2 
então f(x1) > f(x2) 
 
Funções - Propriedades 
Considere o gráfico da função y = f(x): 
 
Crescimento 
 
Decrescimento 
Funções - Propriedades 
Definição: 
 
Uma função f é decrescente 
num intervalo I se x1 > x2 
então f(x1) < f(x2) 
 
Funções Elementares 
 
Função afim. 
f: Df IR é uma função 
f chama-se função afim se  a,b IR / f(x)= ax + b e a  0 x IR. 
 
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox. 
 
Função linear 
f(x)= ax 
(é um caso particular da função afim onde a ≠ 0 e b = 0) 
Função constante 
f(x)= b 
(quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja a = 0). 
Função Exponencial 
Seja a > 0 e a ≠ 1. A função 
xaxf )(
f: IR  IR+
* 
 
é a função exponencial de base a, sendo a uma constante.