Captulo 1 - Elasticidade resumo

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ELASTICIDADE 
Ondas e Termodinâmica 
Profa. Luciana Nunes 
Elasticidade 
Propriedade mecânica associada com a capacidade de um material se deformar e voltar ao seu 
estado inicial. 
Ao estudar esse capítulo você será capaz de: 
 Usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de 
Young. 
 Saber a diferença entre limite elástico e limite de ruptura. 
 Usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de 
cisalhamento. 
 Usar a equação que relaciona a pressão hidrostática à deformação 
e ao módulo de elasticidade volumétrico. 
Ao aplicarmos uma força em um material, o material responde através de uma DEFORMAÇÃO (𝜺). 
Para cada tipo de deformação, podemos introduzir uma grandeza chamada TENSÃO (𝝈). 
Quando a tensão e a deformação são suficientemente pequenas, verificamos 
que elas são diretamente proporcionais (Lei de Hooke) e denominamos a 
constante de proporcionalidade de MÓDULO DE ELASTICIDADE. 
𝑀Ó𝐷𝑈𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐸𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 =
𝑇𝐸𝑁𝑆Ã𝑂
𝐷𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴ÇÃ𝑂
 
Se a tensão ultrapassa o limite elástico 𝑆𝑦 da amostra, a deformação se torna 
permanente. Se a tensão continua a aumentar, o corpo de prova acaba por 
se romper, para um valor de tensão conhecido como limite de ruptura 𝑆𝑢. 
Tensão, Deformação e Módulo de Elasticidade 
Abordaremos três tipos de deformação: a dilatação 
 
 
o, a compressão e o cisalhamento. 
DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS não são permanentes, isto é, são deformações que desaparecem quando a tensão 
aplicada é retirada. Dito de outra forma, as deformações elásticas são reversíveis, sendo resultado da ação de 
forças conservativas. 
DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS são permanentes, isto é, permanecem após a tensão aplicada ser retirada. 
Deformações plásticas são irreversíveis. 
Tipos de Deformação 
Abordaremos três tipos de deformação: a dilatação, a compressão e o cisalhamento. 
A TENSÃO ou COMPRESSÃO a que o objeto está submetido é definida como 
a razão entre o módulo da força aplicada perpendicularmente a uma área 
do objeto. 
𝜎 =
𝐹⊥
𝐴0
. 
 A tensão é uma grandeza escalar e a sua unidade no SI é o Pascal(𝑃𝑎). 
O alongamento/encolhimento que o objeto está submetido sob tensão é 
chamado de DILATAÇÃO, 
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0. 
 A dilatação é uma grandeza escalar e a sua unidade no SI é o metro(𝑚). 
Tração e Compressão 
A DEFORMAÇÃO é uma grandeza adimensional que representa a variação 
fracionária (ou, às vezes, percentual) do comprimento do corpo de prova, 
definida como a razão entre a dilatação e o comprimento original 
𝜀 =
∆𝑙
𝑙0
. 
A experiência mostra que, para uma tensão de dilatação/compressão 
suficientemente pequena, a tensão e a deformação são proporcionais e 
podemos definir o módulo de elasticidade correspondente, MÓDULO DE 
YOUNG. 
𝑌 =
𝜎
𝜀
=
𝐹⊥
𝐴0
𝑙0
∆𝑙
. 
Tração e Compressão 
A TENSÃO ou COMPRESSÃO a que o objeto está submetido é definida como 
a razão entre o módulo da força aplicada perpendicularmente a uma área 
do objeto. 
𝜎 =
𝐹⊥
𝐴0
. 
 A tensão é uma grandeza escalar e a sua unidade no SI é o Pascal(𝑃𝑎). 
O alongamento/encolhimento que o objeto está submetido sob tensão é 
chamado de DILATAÇÃO, 
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0. 
 A dilatação é uma grandeza escalar e a sua unidade no SI é o metro(𝑚). 
Tração e Compressão 
Quando um corpo submerge em um fluido, este fluido exerce uma pressão 
aproximadamente uniforme sobre a sua superfície e o comprime, fazendo com 
que o seu volume se torne ligeiramente menor, ou seja, a deformação 
resultante é uma variação de volume. 
Se um objeto for imerso em um fluido (líquido ou gás) em repouso, o fluido 
exercerá uma força sobre todas as partes do objeto. A força ortogonal 𝐹⊥ por 
unidade de área que o fluido exerce sobre a superfície de um objeto imerso 
denomina-se pressão p do fluido: 
𝑝 =
𝐹⏊
𝐴
 
Compressão Volumétrica 
Definimos a tensão de cisalhamento como a força tangente à superfície de um material, 
dividida pela área A sobre a qual ela atua: 
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 
𝐹‖
𝐴
. 
Cisalhamento 
Definimos a deformação de cisalhamento como a razão entre o deslocamento e a 
dimensão transversal: 
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 
𝑥
ℎ
. 
Quando as forças são suficientemente pequenas para que a lei de Hooke seja válida, a 
deformação de cisalhamento é proporcional à tensão de cisalhamento. O módulo de 
elasticidade correspondente denomina-se módulo de cisalhamento, designado pela letra S: 
𝑆 =
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
=
𝐹‖ 𝐴 
𝑥 ℎ 
 
1. Uma das extremidades de uma barra de aço, de raio 𝑅=9,5𝑚𝑚 e comprimento 𝑙0 = 81𝑐𝑚 está presa a um 
torno, e uma força 𝐹 =62𝑘𝑁 (uniforme, perpendicular à seção reta) é aplicada à outra extremidade. Quais são a 
tensão, o alongamento e a deformação da barra? 
2. Um corpo de massa 12,0 𝑘𝑔, amarrado à extremidade de um fio de alumínio que possui comprimento inicial 
de 0,50𝑚, e enrolado em um círculo vertical que gira com velocidade constante de 120𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛. A seção reta 
do fio possui área igual a 0,014𝑐𝑚2. Calcule a dilatação do fio quando o corpo está (a) no ponto inferior da 
trajetória; (b) no ponto superior da trajetória. (𝑌𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 = 7,0 × 10
10𝑃𝑎). 
3. Dois eixos redondos, um de aço e outro de cobre, são ligados pelas suas extremidades. Cada eixo possui 
comprimento de 0,750𝑚 e diâmetro igual a 1,50𝑐𝑚. A combinação é submetida a uma tensão de dilatação com 
módulo igual a 4000𝑁. Para cada eixo, qual é (a) a deformação? (b) a dilatação? (𝑌𝑎ç𝑜 = 2,0 × 10
11𝑃𝑎, 𝑌𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 =
1,1 × 1011𝑃𝑎). 
 
 
 
4. Um poste vertical de aço com diâmetro de 25cm e 2,5m de comprimento deve suportar uma carga de 8000kg. 
O peso do poste deve ser desprezado. Calcule: (a) a tensão no posto; (b) a deformação do poste; (c) a variação 
do comprimento do poste quando a carga é aplicada.(𝑌𝑎ç𝑜= 2,0 × 10
11𝑃𝑎) 
5. Para construir uma escultura móvel, um artista pendura uma esfera de alumínio de 6kg de massa presa a um 
fio de aço de 0,5m de comprimento com área da seção reta igual a 2,5x10-3cm. À parte inferior da esfera ele 
prende outro fio de aço semelhante, na extremidade do qual ele pendura um cubo de bronze de massa igual a 
10kg. Para cada fio, calcule (a) a tensão de dilatação; (b) o alongamento. (𝑌𝑎ç𝑜= 2,0 × 10
11𝑃𝑎) 
6. Uma placa quadrada de aço possui 10cm de lado e 0,5cm de espessura. (a) Ache a tensão de cisalhamento 
resultante quando uma força de 9 × 105N é aplicada a cada um dos quatro lados, paralelamente ao lado. (b) 
Ache o deslocamento em centímetros. 
 
 
 
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