Método das Forças

Prévia do material em texto

Análise de Estruturas I
Método das Forças
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Prof: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Prof: Evandro Parente Junior
Estruturas Hiperestáticas
2
 Problema: obter os diagramas de esforços internos.
Material: 𝐸
Seção: I
L
q
𝐴 𝐵 𝑥
𝑦
 Reações de apoio?
 Equações de equilíbrio?
Estruturas Hiperestáticas
3
Reações de apoio:
𝑉𝐴
Incógnitas
𝑉𝐵
𝑀𝐴
2 Equações
𝐷𝑒: ෍𝐹𝑥 = 0
𝐷𝑒: ෍𝑀𝐴 = 0
𝐷𝑒: ෍𝑀𝐵 = 0
𝑉𝐵𝐿 +𝑀𝐴 =
𝑞𝐿2
2
(1)
𝑉𝐴𝐿 − 𝑀𝐴 =
𝑞𝐿2
2
(2)
⇒ 𝑉𝐴𝐿 − 𝑀𝐴 − 𝑞𝐿
𝐿
2
= 0
⇒ 𝑉𝐵𝐿 − 𝑞𝐿
𝐿
2
+𝑀𝐴 = 0
⇒ 𝐻𝐴= 0
q
𝑉𝐴
𝑀𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
Estruturas Hiperestáticas
4
 As equações de equilíbrio não são suficientes para determinação da
distribuição de tensões ou dos esforços internos resultantes:
 A maioria das estruturas são hiperestáticas (estaticamente
indeterminadas ou redundantes).
 O que causa a hiperestaticidade:
• Excesso de apoios ou elementos estruturais.
• A vinculação entre os elementos estruturais (e.g. continuidade).
q
𝑉𝐴
𝑀𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
 Estruturas hiperestáticas  isostáticas:
 Apresentam em geral deslocamentos e esforços menores.
 Podem manter a estabilidade ou evitar o colapso nos casos de
falhas de projeto ou construção: permite redistribuir os esforços
para os elementos redundantes.
 A distribuição de esforços pode resultar em elementos mais
delgados e maior estabilidade.
Estruturas Hiperestáticas
5
q
𝑉𝐴
𝑀𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
q
𝑉𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
Estruturas Hiperestáticas
6
 O custo adicional das juntas e apoios redundantes pode ser superior
ao ganho no projeto dos elementos.
 Esforços adicionais, que precisam ser considerados, ocorrem na
presença de:
• Recalques diferenciais dos apoios.
• Mudanças de comprimento dos elementos devidos a variações
de temperatura ou erros de fabricação.
q
𝑉𝐴
𝑀𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
q
𝑉𝐴
𝐻𝐴
𝑉𝐵
L
Grau de Hiperestaticidade
7
 Viga:
Incógnitas: 4 reações
Eq. equilíbrio: 3
GH = 4 – 3 = 1
Incógnitas: 5 reações
Eq. equilíbrio: 3
GH = 5 – 3 = 2
Hip. Externa
 Pórtico (hiperestaticidade externa):
q
Grau de Hiperestaticidade
8
 Pórtico (hiperestaticidade interna e externa):
Incógnitas: 6 reações
Eq. equilíbrio: 3
GHEXT = 3
Conhecidas as reações, é possível se 
avaliar os esforços internos (M, Q, N) 
em qualquer seção?
Grau de Hiperestaticidade
9
 Pórtico (hiperestaticidade interna):
A determinação de esforços em qualquer seção dentro do quadro fechado
BCDE só é possível se forem conhecidos os esforços internos (N, Q, M) 
em uma seção deste quadro (e.g. a seção S indicada na figura).
𝑀𝐴 𝑀𝐹
𝑅𝐹𝑦
𝑅𝐹𝑥𝑅𝐴𝑥
𝑅𝐴𝑦
𝑆1
𝐴
𝐵
𝐶 𝐷
𝐸
𝐹
𝑃1
𝑃2
𝑀𝐴 𝑀𝐹
𝑅𝐹𝑥𝑅𝐴𝑥
𝑃1
𝑃2
𝑅𝐹𝑦𝑅𝐴𝑦
𝑄𝑆
𝑄𝑆
𝑀𝑆 𝑀𝑆𝑁𝑆 𝑁𝑆
Grau de Hiperestaticidade
10
 Pórtico (hiperestaticidade interna e externa):
Reações incógnitas: 6
Eq. equilíbrio: 3
GHEXT = 3
(𝑁1, 𝑄1, 𝑀1)
𝑆1
(𝑁2, 𝑄2, 𝑀2)
𝑆2
𝑆3 (𝑁3, 𝑄3, 𝑀3)
GHINT = 9
GH = 12
12 Eqs. de 
Compatibilidade
Método das Forças (Flexibilidade)
11
 Fundamentos:
𝛿1 = 0
L
q
𝐴 𝐵
O deslocamento na direção de X1 deve ser igual a zero (compatibilidade):
Usando o Princípio da Superposição (linearidade):
δ10
q
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿1𝑋1 = 0
+
𝛿10 = Desl. na dir. de X1 no SP produzido pelo carregamento
𝛿1𝑋1= Desl. na dir. de X1 no SP produzido pela própria força X1
?
L
q
𝑋1
Sistema Principal (SP) 
δ1X1
𝑋1
Método das Forças
12
 Coeficientes de flexibilidade:
Definindo:
𝛿11= ... produzido por uma carga unitária na direção e no sentido de X1
1
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
Equação adicional 
(compatibilidade 
de deslocamentos)
Fornece X1
Eqs. de equilíbrio
Fornecem as demais reações
X1 é chamado de 
Hiperestático
δ11
𝛿1𝑋1 = 𝛿11𝑋1Da linearidade 
Cálculo dos Deslocamentos
13
 Método da Carga Unitária (PFV):
Real
𝛿10 = Efeito do carregamento na direção de X1 no SP
M0
𝑥
−q
L2
2
𝑀 = −
𝑞 𝐿 − 𝑥 2
2
−
δ10
q
ഥ𝑀 = 1(𝐿 − 𝑥)
𝑥
𝐿
+
M1
Virtual
11
1 L
Cálculo dos Deslocamentos
14
 Termos de carga (desprezando o efeito do cisalhamento):
𝛿10 = −
𝑞𝐿4
8𝐸𝐼
1 ∙ 𝛿10 = න
𝐿
ഥ𝑀𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿10 = න
0
𝐿
−
𝑞 𝐿 − 𝑥 3
2𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
−𝑞𝐿2
2
∙ 𝐿 ∙
𝐿
4
𝛿10 = න
𝐿
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Método das Forças
15
 Coeficientes de flexibilidade:
𝛿11 = Efeito de X1 = 1 na direção de X1 no SP
δ11
Real
11
1 L Virtual
11
1 L
𝑀 = 1(𝐿 − 𝑥)
𝑥
𝐿
+
M1
ഥ𝑀 = 1(𝐿 − 𝑥)
𝑥
𝐿
+
M1
Método das Forças
16
 Flexibilidade (desprezando o efeito do cisalhamento):
𝛿11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
1 ∙ 𝛿11 = න
𝐿
ഥ𝑀𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿11 = න
0
𝐿 𝐿 − 𝑥 2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
−𝐿 ∙ −𝐿 ∙
𝐿
3
𝛿11 = න
𝐿
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Método das Forças
17
 Equação de Compatibilidade:
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 = 0 𝛿11. 𝑋1 = −𝛿10
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑋1 =
𝑞𝐿4
8𝐸𝐼
𝑋1 =
3
8
𝑞𝐿
𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑋1
 Diagramas – superposição:
q
1𝑄0, 𝑀0 𝑄1, 𝑀1
+ ∙ 𝑋1
Esforços Finais
18
𝑄 = 𝑞𝐿 − 𝑞𝑥 −
3
8
𝑞𝐿
𝑄 = 0 𝑥 =
5
8
𝐿
Q0
Q0 = 𝑞(𝐿 − 𝑥)𝑞𝐿
+
𝑄 = 𝑞
5𝐿
8
− 𝑥
𝑀 = −𝑞
𝐿 − 𝑥 2
2
+ 𝐿 − 𝑥
3
8
𝑞𝐿
𝑀 = 𝑞 −
𝑥2
2
+
5𝐿𝑥
8
−
𝑞𝐿2
8
Q1
−1
+
−
+
−
5
8
𝑞𝐿
−
3
8
𝑞𝐿
−𝑞
𝐿2
8
9𝑞𝐿2
128
=
𝑞𝐿2
14,22
Método das Forças: Sistematização
19
 Obter os diagramas de esforços internos do pórtico abaixo
(considerar apenas a deformação devida à flexão):
Material: E
Seções:
𝑥A
B
C
D
𝑦 20 kN/m
6 m
3 m
AB = 𝐷𝐶
𝐵𝐶
𝐼𝑧 = 𝐼
𝐼𝑧 = 2𝐼
𝑥
𝑧
𝑦
𝑧
Método das Forças: Sistematização
20
 Metodologia:
Grau de Hiperestaticidade: (GH)
𝐺𝐻 = 2
𝐴𝐵𝑆𝑂𝐿𝑈𝑇𝑂: 𝑢𝐴 = 𝑣𝐴 = 𝜃𝐴 = 0
𝑢𝐷 = 𝑣𝐷 = 0
Incógnitas = reações de apoios = 5
Eqs. de equilíbrio da estática = 3
2 Eqs. adicionais p/ solução pelo 
método das forças
Equações de compatibilidade 
de deslocamento
Deslocamentos conhecidos 
na estrutura 𝑅𝐸𝐿𝐴𝑇𝐼𝑉𝑂: 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 = 0
Transformação dos esforços 
correspondentes em ações
Sistema Principal
SOLUÇÃO NÃO ÚNICA:
Qualquer combinação de 2 destes 
deslocamentos pode ser usada.
A
B
C
D
Método das Forças: Sistematização
21
 Sistema Principais:
Translação segundo X1 = 0
COMPATIBILIDADE
𝑋1
𝑋2
Translação segundo X2 = 0
Translação segundo X1 = 0
Rotação segundo X2 = 0𝑋1
𝑋2
Método das Forças: Sistematização
22
 Sistema Principais:
Translação segundo X1 = 0
Rotação segundo X2 = 0𝑋1
Rotação relativa segundo X1 = 0
Rotação segundo X2 = 0
𝑋1
𝑋2
𝑋2
𝑋1 𝑋2
Rotação relativa segundo X1 = 0
Rotação relativa segundo X2 = 0
Método das Forças
23
 Solução:
SISTEMA PRINCIPAL (SP) E HIPERESTÁTICOS
𝑋1
𝑋2
X1 δ1 = 0
X2 δ2 = 0
Condições de compatibilidade:
Método das Forças
24
 Equações de compatibilidade:
(Carregamento)
20 kN/m 20 kN/m
δ10
δ20
δ11
δ21
1
X1+ +
(X1= 1)
δ12
δ22 1
X2
(X2 = 1)
Método das Forças
25
 Equações de compatibilidade:
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
𝛿1
𝛿2
− ൜ ൠ
𝛿10
𝛿20
𝐹 ሼ ሽ𝑋 = ሼ ሽ𝛿 − ሼ ሽ𝛿0
𝐹 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
ሼ ሽ𝑋 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
ሼ ሽ𝛿0 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
ሼ ሽ𝛿 = 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑒𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 ሼ ሽ𝛿 = ሼ ሽ0 )
Matricialmente:
Matriz de Flexibilidade
26
1 ∙ δ11 = න
𝐿
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 2
3 ∙ 3 ∙ 3
3𝐸𝐼
+
3 ∙ 3 ∙ 6
(2𝐸𝐼) δ11 =
45
𝐸𝐼
𝛿11 = Efeito de X1 = 1 na direção de X1 no SP
Real Virtual
M1
+ ++3
33
M1
+ ++3
33
11
δ11
11
Matriz de Flexibilidade
27
δ12 =
54
𝐸𝐼
Real Virtual
1
M2
6
1
+
+
6
6
δ12 M1
+ ++3
33
11
𝛿12 = Efeito de X2 = 1 na direção de X1 no SP
1 ∙ δ12 = න
𝐿
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
6 ∙ 3 ∙ 3
2𝐸𝐼
+
6 ∙ 3 ∙ 6
2(2𝐸𝐼)Matriz de Flexibilidade
28
1 ∙ δ21 = න
𝐿
𝑀2𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
M1
+ ++3
33
11
1
M2
6
1
+
+
6
6
δ21
Real Virtual
𝛿21 = Efeito de X1 = 1 na direção de X2 no SP
δ21 = δ12
Matriz de Flexibilidade
29
1 ∙ δ22 = න
𝐿
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
6 ∙ 6 ∙ 3
𝐸𝐼
+
6 ∙ 6 ∙ 6
3(2𝐸𝐼)
δ22 =
144
𝐸𝐼
1
M2
6
1
+
+
6
6
1
M2
6
1
+
+
6
6
δ22
Real Virtual
𝛿22 = Efeito de X2 = 1 na direção de X2 no SP
Termos de carga
30
20 kN/m
I I
2I
δ10
δ20
−360
−
− M0
−360 20.62
8
= 90
M1
+ ++3
33
3
𝛿10 = Efeito do carregamento na direção de X1 no SP
Real
11
Virtual
Termos de carga
31
20 kN/m
I I
2I
δ10
δ20
−360
−
− M0
−360 20.62
8
= 90
𝛿20 = Efeito do carregamento na direção de X2 no SP
Real
1
M2
6
1
+
+
6
6
1 1
6
Virtual
Termos de carga
32
1 ∙ δ10 = න
𝐿
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
−360 ∙ 3 ∙ 3
2𝐸𝐼
+
−360 ∙ 3 ∙ 6
2 2𝐸𝐼
+
90 ∙ 3 ∙ (2 ∙ 6)
3(2𝐸𝐼)
δ10 = −
2700
𝐸𝐼
1 ∙ δ20 = න
𝐿
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
−360 ∙ 6 ∙ 3
𝐸𝐼
+
−360 ∙ 6 ∙ 6
3 2𝐸𝐼
+
90 ∙ 6 ∙ 6
3(2𝐸𝐼)
δ20 = −
8100
𝐸𝐼
Hiperestáticos
33
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
𝛿1
𝛿2
− ൜ ൠ
𝛿10
𝛿20
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
=
1
𝐸𝐼
൜ ൠ
2700
8100
𝑋1 = −13.64 kN
𝑋2 = 61.36 kN
Hiperestáticos
X1
X2
δ𝑖𝑗 = න
𝐿
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = δ𝑗𝑖
Simetria da matriz de flexibilidade
Termos de carga
δ𝑖0 = න
𝐿
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Diagramas finais
34
-13.6
−
− −
-58.6 -61.4
𝑁 (kN)
−
−
𝑄 (kN)
-13.6 13.6
−
+
58.6
-61.4
29.3 −
+
−
-32.8
-40.9
8.2
90
13.6
+
− −
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 2.93
= 53
13.6
58.6
8.2
61.4
𝑀 (kNm)
𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑋1 + 𝐸2𝑋2
𝑅 = 𝑅0 + 𝑅1𝑋1 + 𝑅2𝑋2
Reações
Esforços finais
Recalque de apoio
35
 Obter os diagramas de esforços internos do pórtico abaixo
(EI = 37500 kNm2 e a = 10-5 /oC) devido a:
3 m
A
B C
D
6 m
2I
I I
a) Recalque para baixo rD
b) Recalque para baixo rA
c) Gradiente de temperatura gT na viga
d) Variação de temperatura DT na viga
Recalque de apoio
36
 Obter os diagramas de esforços internos do pórtico abaixo
(EI = 37500 kNm2 e a = 10-5 /oC) devido a:
a) Recalque para baixo rD
b) Recalque para baixo rA
c) Gradiente de temperatura gT na viga
d) Variação de temperatura DT na viga
3 m
A
B C
D
6 m
2I
I I
Recalque para baixo rD
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = −𝜌𝐷
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
0
−𝜌𝐷
X1
X2
Recalque de apoio
37
Quanto maior a rigidez EI e o recalque rD maiores os esforços internos.
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
0
−𝜌𝐷
⟹ 𝑋1 =
𝐸𝐼𝜌𝐷
66
𝑋2 = −
5𝐸𝐼𝜌𝐷
396
Considerando EI = 37500 kNm2 e recalque de 5mm:
𝑋1 = 2.841 kN 𝑋2 = −2.367 kN
𝑀𝐴 = 6 ∙ 𝑋2 = −14.20 kNm
M1
+ ++3
33
M2
6
+
+
6
𝑀𝐵 = 3 ∙ 𝑋1 + 6 ∙ 𝑋2 = −5.68 kNm
𝑀𝐶 = 3 ∙ 𝑋1 = 8.52 kNm
𝐻𝐴 + 𝐻𝐷 = 0 ⟹ 𝐻𝐴= −2.841 kN
𝑉𝐴 + 𝑉𝐷 = 0 ⟹ 𝑉𝐴= 2.367 kN
Recalque de apoio
38
N
Q
M
Recalque de apoio
39
Recalque para baixo rA
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Deslocamentos di0 devido ao recalque (PFV)
1 ∙ 𝛿10 + 0. 𝜌𝐴 = 0 ⟹ 𝛿10 = 0
1 ∙ 𝛿20 + 1. 𝜌𝐴 = 0 ⟹ 𝛿20 = −𝜌𝐴
11
𝛿10
1
1
6
𝛿20
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
0
𝜌𝐴
𝑋1 = −
𝐸𝐼𝜌𝐴
66
𝑋2 =
5𝐸𝐼𝜌𝐴
396
⟹
O efeito de rA é o mesmo de rD com o sinal trocado.
Variação de temperatura
40
Gradiente de temperatura gT na viga
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Deslocamentos di0 devido à temperatura (PFV)
1 ∙ 𝛿10 = න
𝐿
𝑀1 𝛼𝑔𝑇𝑑𝑥 ⟹ 𝛿10 = 18𝛼𝑔𝑇
M1
+ ++3
33
11
𝛿10
1
M2
6
1
+
+
6
6
𝛿20
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= −൜ ൠ
18𝛼𝑔𝑇
18𝛼𝑔𝑇
𝑋1 = −
5𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
11
𝑋2 =
𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
22
⟹
1 ∙ 𝛿20 = න
𝐿
𝑀2 𝛼𝑔𝑇𝑑𝑥 ⟹ 𝛿20 = 18𝛼𝑔𝑇
Variação de temperatura
41
M1
+ ++3
33
11
1
M2
6
1
+
+
6
6
𝑋1 = −7.5 kN 𝑋2 = 0.75 kN
𝐻𝐴 = −1 ∙ 𝑋1 = 7.5 kN
𝑉𝐵 = −1 ∙ 𝑋2 = −0.75 kNm
Para EI = 37500 kNm2, a =10-5/ oC e gT = 44
oC/m:
𝑀𝐴 = 6 ∙ 𝑋2 = 4.5 kNm
𝑀𝐵 = 3 ∙ 𝑋1 + 6 ∙ 𝑋2 = −18 kNm
𝑀𝐶 = 3 ∙ 𝑋1 = −22.5 kNm
Variação de temperatura
42
N
Q
M
Variação de temperatura
43
Variação de temperatura DT na viga
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Deslocamentos di0 devido à temperatura (PFV)
1 ∙ 𝛿10 = න
𝐿
𝑁1 𝛼∆𝑇 𝑑𝑥 ⟹ 𝛿10 = 6𝛼∆𝑇
1
𝐸𝐼
45 54
54 144
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= −൜ ൠ
6𝛼∆𝑇
0
𝑋1 = −
8𝐸𝐼𝛼∆𝑇
33
𝑋2 =
𝐸𝐼𝛼∆𝑇
11
⟹
1 ∙ 𝛿20 = න
𝐿
𝑁2 𝛼∆𝑇 𝑑𝑥 ⟹ 𝛿20 = 0
N1
11
𝛿10
11 +
1
N2
1
6
𝛿20
11 + −
Variação de temperatura
44
M1
+ ++3
33
11
1
M2
6
1
+
+
6
6
𝑋1 = −3 kN 𝑋2 = 1.125 kN
𝐻𝐴 = −1 ∙ 𝑋1 = 3 kN
𝑉𝐵 = −1 ∙ 𝑋2 = −1.125 kNm
Para EI = 37500 kNm2, a =10-5/ oC e DT = 33 oC:
𝑀𝐴 = 6 ∙ 𝑋2 = 6.75 kNm
𝑀𝐵 = 3 ∙ 𝑋1 + 6 ∙ 𝑋2 = −2.25 kNm
𝑀𝐶 = 3 ∙ 𝑋1 = −9 kNm
Variação de temperatura
45
N
Q
M