aps03-calculo-avancado

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DE PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Campus Curitiba - PR
SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA CURSO
2020-2 MA70B Cálculo Avançado S61 Eng. Química
Professor Projeto (APS) CMS e Data de e-Entrega Período Nível
Félix Gómez Terceiro Moodle-CTA, 31/08/2021 4 Médio
1 Autovalores e Autovetores
A questão agora é encontrar soluções de um sistema linear X ′ = AX. A sugestão importante é a
seguinte: Suponha que V0 é um vetor não nulo para o qual temos AV0 = λV0 onde λ ∈ R. Então a
função
X(t) = eλtV0
é uma solução do sistema. Para justificar isto, calculamos
X ′(t) = λeλtV0 = eλt(λV0)
= eλt(AV0) = A(eλtV0)
= AX(t)
portanto X(t) resolve o sistema de equações. Tal vetor V0 e seu escalar associado λ possuem os nomes;
Um vetor não nulo V0 é um autovetor de A se AV0 = λV0 para algum λ. A constante λ é chamada
de autovalor se A.
Teorema 1.1. Suponha que V0 é um autovetor da matriz A com autovalor associado λ. Então a
função dada por X(t) = eλtV0 é uma solução do sistema X ′ = AX.
1.] Encontre os autovetores e autovalores de cada uma das seguintes matrizes
(a)
[
3 1
1 3
]
(b)
[
2 1
1 1
]
(c)
[
a b
0 c
]
(d)
[
1 3
√
2 3
√
2
]
2 Resolvendo Sistemas Lineares
Uma classe importante de sistemas de equações diferenciais, principalmente sistemas lineares, são os
sistemas autônomos, estes sistemas assumem a forma simples
x′1(t) = ax1 + bx2
x′2(t) = cx1 + dx2
onde a, b, c e d são constantes.
Podemos abreviar este sistema utilizando a matriz coeficiente A onde
A =
[
a b
c d
]
Logo o sistema linear pode ser escrito como
X ′ = AX.
1.] Encontre a solução geral de cada um dos seguintes sistemas lineares,
(a) X ′ =
[
1 2
0 3
]
X. (b) X ′ =
[
1 2
3 6
]
X.
(c) X ′ =
[
1 2
1 0
]
X. (d) X ′ =
[
1 2
3 −3
]
X.
3 Transformada de Laplace
O principal objetivo da transformada de Laplace é a solução de equações diferenciais e sistemas de
tais equações, bem como correspondente problemas de valor inicial.
A definição da transformada é motivada pela propriedade de que a diferenciação da função f com
respeito a t corresponde à multiplicação da transformada F por s ou z; mais precisamente,
L[f ′(t)](s) = sL[f(t)](s) − f(0)
L[f ′′(t)](s) = s2L[f(t)](s) − sf(0) − f ′(0)
Aplicando a transformação a ambos os lados de uma dada equação diferencial ordinária
y′′ + ay′ + by = g(t) sendo a, b constantes;
e denotando L[y(t)](s) = Y (s), obtém-se a equação no plano-s(
s2 + as + b
)
Y (s) = L[g(t)](s) + sy(0) + y′(0) + ay(0). (1)
neste estagio devemos obter a transformada, L[g(t)] e podemos utilizar uma tabela. Este é o primeiro
passo.
2
Na segunda etapa devemos resolver a equação obtida no plano-s algebricamente para Y (s). Final-
mente no terceiro passo, determinar a transformada inversa de
y(t) = L−1[Y (s)](t),
que é, a solução do problema. Este é geralmente o passo mais difícil, e nela podemos usar novamente
as tabelas.
Muitas vezes vezes Y (s) será uma função racional, logo será necessário usar a redução em frações
parciais para que possamos obter o inversa L−1[Y ](s), sempre que não vejamos nenhuma maneira
mais simples.
1.] Resolver cada um dos seguintes problemas de valores iniciais usando transformada de Laplace,
(a) y′′ + 2y′ + y = et; y(0) = y′(0) = 0
(b) y′ + 3y = t sen at; y(0) = −1
(c) y′′ + 2y′ + 3y = 3t; y(0) = 0, y′(0) = 1
2.] Encontre a solução do problema de valor inicial,
y′′ + y′ − 2y = 4et + 1; y(0) = 1, y′(0) = 0.
Atenção! Justifique, organize e argumente com resultados teóricos o máximo possível, isto é uma
exigência imprescindível para a obtenção da pontuação completa de cada uma das respostas.
Dados do Aluno Avaliado
Nome e Sobrenome:
Registro de Aluno:
Questões Resolvidas:
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