Funcao

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1 
1.1 Função Constante 
Função constante é a função 𝑓: ℝ → ℝ quando existe o número real b, 
sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒃 
A representação gráfica dessa função é uma reta paralela ao eixo x e 
intercepta o eixo y em 𝑦 = 𝑏. 
a) 𝑓(𝑥) = 1 b) 𝑓(𝑥) = −0,5 c) 𝑓(𝑥) = 
3
4
 d) 𝑓(𝑥) = √2 
 
 
 
1.2 Função Polinomial do 1° Grau 
Função Polinomial do primeiro grau ou função afim é a função 𝑓: ℝ → ℝ 
quando existem os números reais m e b, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 
Tal que 𝑥 é a variável independente e 𝑦 = 𝑓(𝑥) é a variável que 
dependente de 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ. Os coeficientes da função afim são m e 
b. O coeficiente m é chamado coeficiente angular ou taxa de variação, 
indica a inclinação da reta. O coeficiente b é denominado coeficiente linear 
que corresponde à intersecção com o eixo das ordenadas (eixo y). 
 
 
2 
A representação gráfica de uma função afim é uma reta, pois sua 
inclinação é sempre a mesma. Para esboçar o gráfico de uma função é 
possível utilizar um recurso tecnológico, como o software GeoGebra ou 
uma calculadora gráfica. 
Para determinar se uma função afim é crescente, decrescente ou 
constante precisa-se observar o coeficiente angular. 
Se 𝑚 > 0 é uma função crescente. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
2
+ 1 c) 𝑓(𝑥) = 0,9𝑥 + 2 
 
Se 𝑚 < 0 é uma função decrescente. 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
2
+ 1 c) 𝑓(𝑥) = − 0,9𝑥 + 2 
 
A função 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 para todo 𝑥 real, onde o 
coeficiente linear é igual a zero (𝑏 = 0) denomina-se função linear. 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 c) 𝑓(𝑥) = −1,5𝑥 
 
 
3 
 
O gráfico de uma função linear é uma reta que sempre passa pela origem 
(0,0). 
A raiz de uma função ou zero da função é o valor de x para que a função 
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 seja nula, ou seja, corresponde ao ponto onde o gráfico da 
função intercepta o eixo das abscissas (eixo x). Para determiná-lo, é 
necessário atribuir o valor zero para a 𝑦 = 𝑓(𝑥), ou seja, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0. 
Neste ponto a função troca seu sinal, de positivo para negativo ou de 
negativo para positivo, veja o exemplo. 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 
Zero ou raiz da 
função 
(𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0) 
Gráfico da função Estudo do sinal da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 
0 = 𝑥 − 3 
𝑥 = 3 
Quando 𝑦 = 0, tem-se 
𝑥 = 3. 
O gráfico dessa função, 
intercepta o eixo x no 
ponto (3,0). 
Como o Intersecção com 
o eixo y: (0,-3). 
Se 𝑚 = 1 > 0 ⟶ 𝑓(𝑥) é crescente 
Raiz ou zero é 𝑥 = 3 
 
 
• 𝑓(𝑥) = 0, se 𝑥 = 3 (troca de sinal) 
• 𝑓(𝑥) > 0, se 𝑥 > 3 (sinal positivo) 
• 𝑓(𝑥) < 0, se 𝑥 < 3 (sinal negativo) 
 
Apresenta-se a seguir um exemplo de função polinomial do primeiro grau e 
seu respectivo gráfico. 
 
 
4 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4, determine: 
a) O ponto onde o gráfico intercepta o eixo y. 
Coeficientes: 𝑚 = 2, 𝑏 = −4 
O gráfico intercepta o eixo y quando 𝑥 = 0 e 𝑦 = − 12, que corresponde ao valor de b. 
 
b) A raiz da função. 
Raízes ou zeros da função: 0 = 2𝑥 − 4 
Resolvendo a equação do 1° grau 
−2𝑥 = −4 
𝑥 =
−4
−2
 
𝑥 = 2 
A raiz da função é 𝑥 = 2. 
 
c) O gráfico da função. 
 
d) O domínio e a imagem da função. 
O conjunto domínio e imagem da função é o conjunto dos números reais. 
 
e) O sinal da função. 
 
• se 𝑥 > 2, o sinal é positivo; 
• se 𝑥 < 2, o sinal é negativo. 
 
f) Se a função é crescente ou decrescente. 
Como 𝑚 = 2, a função é crescente. 
 
 
1.3 Função Polinomial do 2° Grau 
Função Polinomial do Segundo Grau ou Função Quadrática é a função 
𝑓: ℝ → ℝ quando existem os números reais 𝒂, 𝒃 e 𝒄, com 𝑎 ≠ 0, tal que: 
 
 
5 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
Para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
O gráfico de uma função do segundo grau ou função quadrática é uma 
parábola cuja concavidade depende do sinal do coeficiente de 𝑥2, ou seja, 
de 𝒂. 
Se 𝑎 > 0, a parábola tem 
concavidade voltada para cima 
Se 𝑎 < 0, a parábola tem 
concavidade voltada para baixo 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1, para 𝑎 = 1. 
 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 + 1, para 𝑎 = −1 
 
A raiz de uma função ou zero da função é o valor de x para que a função 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 seja nula, ou seja, corresponde ao ponto onde o 
gráfico da função intercepta o eixo das abscissas (eixo x). 
O estudo do discriminante da função, representado ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 auxilia na 
determinação das raízes ou zeros da função, observe que: 
• Se ∆ = 0 a função tem dois zeros ou raízes iguais; 
• Se ∆ > 0 a função tem dois zeros ou raízes diferentes; 
• Se ∆ < 0 a função não tem zeros ou raízes. 
Observe o quadro a seguir. 
 ∆ = 0 ∆ > 0 ∆ < 0 
 
 
6 
(duas raízes reais iguais) (duas raízes reais diferentes) (não tem raízes reais) 
𝑎 > 0 
 
𝑎 < 0 
 
Para determinar as raízes de uma função quadrática pode-se utilizar a 
fórmula de Báskara: 
 
Para determinar o ponto do vértice da parábola, ou seja, 𝑉(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) se 
utilizam as fórmulas a seguir: 
 
A determinação do vértice da parábola permite determinar a imagem da 
função e o ponto de máximo ou mínimo. 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝑥𝑉 = −
𝒃
𝟐𝒂
 e 𝑦𝑉 = −
∆
𝟒𝒂
, ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
 
 
 
7 
Apresenta-se, a seguir, um exemplo de função do segundo grau ou função 
quadrática e seu respectivo gráfico. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
Informações Importantes 
Coeficientes: 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −3. 
Raízes ou zeros da função: 0 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
Aplicando a fórmula de Báskara 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−2 ± √2² − 4.1. (−3)
2.1
 
𝑥 =
−2 ± √16
2
 
𝑥 =
−2 ± 4
2
 → {
𝑥1 =
−2 − 4
2
= −3 
𝑥2 =
−2 + 4
2
= 1
 
As raízes da função são 𝑥 = 1 e 𝑥 = −3. 
Discriminante: ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 22 − 4.1. (−3) = 16, como ∆ > 0 a função tem dois zeros ou raízes 
diferentes. 
 
Gráfico da função 
 
Concavidade da parábola: voltada para cima, pois 𝑎 >
0, para 𝑎 = 1. 
Intersecção com o eixo y: (0,-3). 
Intersecção com o eixo x em dois pontos: (-3,0) e (1,0). 
Vértice da parábola: 𝑉(−1, −4), pois 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2. 𝑎
= −
2
2.1
= −1 
e 
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
= −
16
4.1
= −4 
Ponto de mínimo: (−1, −4). 
Imagem da função: 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ −4} ou 𝐼𝑚(𝑓) = [−4; ∞). 
Domínio da função: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. 
Para o estudo do sinal da função do segundo grau ou função quadrática, 
utiliza-se o ponto de intersecção da função no eixo x, ou seja, pode-se 
determinar os valores reais de x para os quais a função se anula (𝑓(𝑥) =
 
 
8 
0), é positiva (𝑓(𝑥) > 0) e é negativa (𝑓(𝑥) < 0). Também, o discriminante 
é importante para realização deste estudo. 
No quadro a seguir apresenta-se o estudo da função quadrática para ∆ >
0. 
Para ∆ > 𝟎 a função tem duas raízes diferentes e a parábola 
intersecta o eixo x em dois pontos 
𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
A função é nula quando: 
 𝑓(𝑥) = 0, para 𝑥 = 𝑥1 ou 𝑥 = 𝑥2. 
A função é positiva quando: 
 𝑓(𝑥) > 0, para 𝑥 < 𝑥1 ou 𝑥 > 𝑥2. 
A função é negativa quando: 
 𝑓(𝑥) < 0, para 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2. 
 
A função é nula quando: 
 𝑓(𝑥) = 0, para 𝑥 = 𝑥1 ou 𝑥 = 𝑥2. 
A função é positiva quando: 
 𝑓(𝑥) > 0, para 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2. 
A função é negativa quando: 
 𝑓(𝑥) < 0, para 𝑥 < 𝑥1 ou 𝑥 > 𝑥2. 
A seguir apresenta-se o estudo da função quadrática para ∆ = 0. 
Para ∆ = 𝟎 a função tem duas raízes iguais e a parábola 
intersecta o eixo x em um ponto 
𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
 
9 
 
A função é nula quando: 
 𝑓(𝑥) = 0, para 𝑥 = 𝑥1 = 𝑥2. 
A função é positiva quando: 
 𝑓(𝑥) > 0, para 𝑥 ≠ 𝑥1 
 
A função é nula quando: 
 𝑓(𝑥) = 0, para 𝑥 = 𝑥1 = 𝑥2. 
A função é negativa quando: 
 𝑓(𝑥) < 0, para 𝑥 ≠ 𝑥1 
A seguir apresenta-se o estudo da função quadrática para ∆ < 0. 
Para ∆ < 𝟎 a função não admite raízes reais e a 
parábola não intersecta o eixo x 
𝑎 > 0 𝑎 < 0 
 
A função 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 real. 
 
A função 𝑓(𝑥) < 0 para todo 𝑥 real. 
Para identificar os intervalos onde a função do segundo grau é crescente 
ou decrescenteé importante observar o 𝑥𝑉. Veja os exemplos. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 − 1 𝑓(𝑥) = −2𝑥² + 4𝑥 − 1 
 
 
10 
 
Observe no gráfico da função que 𝑥𝑉 = −1. 
Para 𝑥 < −1 a função é decrescente. 
Para 𝑥 > −1 a função é crescente. 
 
Observe no gráfico da função que 𝑥𝑉 = 1. 
Para 𝑥 < 1 a função é crescente. 
Para 𝑥 > 1 a função é decrescente. 
Apresenta-se a seguir um exemplo de função do segundo grau ou função 
quadrática e seu respectivo gráfico. 
Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1, determine: 
a) O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. 
Coeficientes: 𝑎 = −1, 𝑏 = 0 e , 𝑐 = 1 
O gráfico intercepta o eixo y quando 𝑥 = 0 e 𝑦 = 1, que corresponde ao valor de c. 
 
b) A concavidade. 
Concavidade da parábola: voltada para baixo, pois 𝑎 < 0, para 𝑎 = −1. 
 
c) Quantas raízes reais ela possui. 
Discriminante: ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (0)2 − 4. (−1).1 = 4, como ∆ > 0 a função tem dois zeros ou raízes 
diferentes. 
 
d) Se ela possui raízes reais, quais são. 
Raízes ou zeros da função: 0 = −𝑥2 + 1 
Aplicando a fórmula de Báskara 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
0 ± √0² − 4. (−1). 1
2. (−1)
 
𝑥 =
0 ± √4
−2
 
𝑥 =
0 ± 2
−2
 → {
𝑥1 =
0 − 2
−2
= 1 
𝑥2 =
0 + 2
−2
= −1
 
 
As raízes da função são 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1. Intersecção com o eixo x em dois pontos: (-1,0) e (1,0). 
 
e) As coordenadas do vértice. 
 
 
11 
𝑥𝑉 = −
𝑏
2. 𝑎
= −
0
2. (−1)
= 0 
e 
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
= −
4
4. (−1)
= 1 
O ponto do vértice é 𝑉(0,1). 
 
f) O gráfico. 
 
 
g) Os intervalos onde ela está crescendo e onde está decrescendo. 
Para 𝑥 < 0 a função é crescente. 
Para 𝑥 > 0 a função é decrescente. 
 
h) O sinal da função. 
Para 𝑥 < −1 a função assume valores negativos. 
Para valores de −1 < 𝑥 < 1 a função assume valores negativos. 
Para 𝑥 > 1 a função assume valores negativos. 
 
i) O conjunto imagem. 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ 1} ou 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞, 1]. 
 
j) O conjunto domínio. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. 
 
k) Os pontos A(-1, -2) e B(-2, -3) pertencem a função? 
Para 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1, temos: 
A(-1, -2) → −2 = −(−1)2 + 1 → −2 = 0, esse ponto não pertence a parábola, pois a igualdade 
não é verdadeira. 
B(-2, -3) → −3 = −(−2)2 + 1 → −3 = −3, esse ponto pertence a parábola, pois a igualdade é 
verdadeira. 
 
l) A função possui ponto de máximo ou de mínimo, estabeleça o mesmo. 
Possui ponto de máximo que é (0,1). 
 
1.4 Funções Polinomiais 
 
 
12 
Uma função polinomial é a função 𝑓: ℝ → ℝ quando existem os números 
reais 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 denominados coeficientes e 𝑛 é um número inteiro 
não negativo, tal que: 
𝒑(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
para 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥), temos 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
Para todo 𝑥 ∈ ℝ. O grau de um polinômio é dado pelo maior expoente das 
variáveis de coeficientes não nulo, por exemplo, em 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 +
1
2
𝑥4 −
5𝑥2 + 1 o grau é 5. 
Na função polinomial o domínio é o conjunto dos números reais (ℝ), 
representado pelo intervalo (−∞, ∞). A função linear ou função do primeiro 
grau é uma função polinomial de grau 1 e a função quadrática ou função 
do segundo grau é uma função polinomial de grau 2, portanto o domínio 
dessas funções é o conjunto dos números reais. 
Exemplos de representação gráfica de funções polinomiais de grau três e 
quatro. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 
 
 
 
 
13 
1.5 Função de Potência 
Uma função potência é qualquer função da forma: 
𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙𝒂 
Sendo 𝑎 e 𝑘 constantes onde 𝑎 ≠ 0 e 𝑘 ≠ 0. 
Para o estudo da função potência, vamos considerar três situações. 
Primeira situação: 𝑎 = 𝑛, sendo 𝑛 um número inteiro positivo. 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥𝑛 uma função potência. Se 𝑛 é número par a representação 
gráfica da função é semelhante à da função quadrática, sendo uma 
parábola. Se 𝑛 é número ímpar maior ou igual a 3, a representação gráfica 
da função é semelhante a função cúbica. Veja o quadro a seguir. 
Se 𝑛 é número par e 𝑘 = 1. Se 𝑛 é número ímpar e 𝑘 = 1. 
 
 
 
Segunda situação: 𝑎 = 
1
𝑛
, sendo 𝑛 um número inteiro positivo. 
 
 
14 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥
1
𝑛, para 𝑘 = 1 tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
𝑛 = √𝑥
𝑛
. A função 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑛
 é 
denominada função raiz. Veja alguns exemplos a seguir. 
Exemplo 1 
𝑓(𝑥) = √𝑥 
Para construir o gráfico da função iremos atribuir 
valores para x para obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝒚 = √𝒙 (𝒙, 𝒚) 
0 𝑦 = √0 = 0 (0,0) 
1 𝑦 = √1 = 1 (1,1) 
4 𝑦 = √4 = 2 (4,2) 
9 𝑦 = √9 = 3 (9,3) 
 
Representação do gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥. 
 
Domínio da função 𝑓(𝑥) = √𝑥: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 0}. 
Imagem da função 𝑓(𝑥) = √𝑥: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ 0}. 
 
Exemplo 2 
𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 
Para construir o gráfico da função iremos 
atribuir valores para x para obter alguns 
pares ordenados. 
 
𝒙 𝒚 = √𝑥
3
 (𝒙, 𝒚) 
4 𝑦 = √4
3
≅ 1,6 (4; 1,6) 
1 𝑦 = √1
3
= 1 (1,1) 
0 𝑦 = √0
3
= 0 (0,0) 
−1 𝑦 = √−1
3
= −1 (−1, −1) 
−4 𝑦 = √−4
3
≅ −1,6 (−4; −1,6) 
 
 
Representação do gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
. 
 
Domínio da função 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
: ℝ. 
Imagem da função 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
: ℝ. 
 
 
Terceira situação: 𝑎 = −1, sendo 𝑛 um número inteiro positivo. 
 
 
15 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥−1, para 𝑘 = 1 tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 =
1
𝑥
. Para 𝑓(𝑥) = 𝑦, temos 
𝑦 =
1
𝑥
 ou 𝑥𝑦 = 1 que é uma hipérbole. Veja o exemplo a seguir. 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
Para construir o gráfico da função iremos 
atribuir valores para x para obter alguns pares 
ordenados. 
𝒙 𝑦 =
1
𝑥
 (𝒙, 𝒚) 
4 𝑦 =
1
4
 (4,
1
4
) 
3 𝑦 =
1
3
 (3,
1
3
) 
2 𝑦 =
1
2
 (2,
1
2
) 
1 𝑦 = 1 (1,1) 
1
2
 𝑦 = 2 (
1
2
, 2) 
1
3
 𝑦 = 3 (
1
3
, 3) 
1
4
 𝑦 = 4 (
1
4
, 4) 
0 ∄ ∄ 
−
1
4
 𝑦 = −4 (−
1
4
, −4) 
−
1
3
 𝑦 = −3 (−
1
3
, −3) 
−
1
2
 𝑦 = −2 (−
1
2
, −2) 
−1 𝑦 = −1 (−1; −1) 
−2 𝑦 = −
1
2
 (−2, −
1
2
) 
−3 𝑦 = −
1
3
 (−3, −
1
3
) 
−4 𝑦 = −
1
4
 (−4, −
1
4
) 
 
Gráfico da função 
 
Domínio da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 0}. 
Imagem da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≠ 0}. 
 
1.6 Função Racional 
Uma função racional é qualquer função da forma: 
 
 
16 
𝒇(𝒙) =
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
 
Sendo 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são funções polinomiais, com 𝑞(𝑥) ≠ 0. 
Exemplos de representação gráfica de funções racionais. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 𝑓(𝑥) =
0,25𝑥3
𝑥 − 1
 
 
Domínio da função: ℝ − {±2}. 
 
Domínio da função: ℝ − {1}. 
 
1.7 Função exponencial 
Uma função exponencial é qualquer função da forma: 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 
Sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Na função exponencial se 0 < 𝑎 < 1 a função é 
decrescente e se 𝑎 > 1 a função é crescente, como mostra o quadro. 
 
 
17 
𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑓(𝑥) = (
1
5
)
𝑥
 
 
Função crescente, pois 𝑎 = 5. 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
 
Função decrescente, pois 𝑎 =
1
5
. 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
Exemplo 1 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 
Para construir o gráfico da função iremos atribuir 
valores para x para obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝑦 = 2𝑥 (𝒙, 𝒚) 
2 𝑦 = 22 = 4 (2,4) 
1 𝑦 = 21 = 2 (1,2) 
0 𝑦 = 20 = 1 (0,1) 
−1 𝑦 = 2−1 =
1
2
 (−1,
1
2
) 
−2 𝑦 = 2−2 =
1
4
 (−2,
1
4
) 
 
 
Gráfico da função 
 
Função crescente. 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
 
Exemplo 2 
 
 
18 
𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
Para construir o gráfico da função iremos atribuir 
valores para x para obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝑦 = (
1
2
)
𝑥
 (𝒙, 𝒚) 
2 𝑦 = (
1
2
)
2
=
1
4
 (2,
1
4
) 
1 𝑦 = (
1
2
)
1
=
1
2
 (1,
1
2
) 
0 𝑦 = (
1
2
)
0
= 1 (0,1) 
−1 𝑦 = (
1
2
)
−1
= 2 (−1,2) 
−2 𝑦 = (
1
2
)
−2
= 4 (−2; 4) 
 
Gráfico da função 
 
Função decrescente. 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
 
1.8 Função logarítmica 
Uma função logarítmica é inversa da função exponencial, essa função é da 
forma: 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 
Sendo𝑥 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Na função logarítmica se 0 < 𝑎 < 1 a função é 
decrescente e se 𝑎 > 1 a função é crescente, como mostra o quadro. 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
 
 
19 
 
Função crescente, pois 𝑎 = 2. 
Domínio da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}. 
Imagem da função: ℝ. 
 
Função decrescente, pois 𝑎 =
1
2
. 
Domínio da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}. 
Imagem da função: ℝ. 
Exemplo 1 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
Para construir o gráfico da função 
iremos atribuir valores para x para 
obter alguns pares ordenados. 
 
𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 (𝑥, 𝑦) 
1
9
 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3
1
9
= −2 
(
1
9
, −2) 
1
3
 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3
1
3
= −1 
(
1
3
, −1) 
1 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔31 = 0 (1,0) 
3 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔33 = 1 (3,1) 
9 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔39 = 2 (9,2) 
 
Gráfico da função 
 
Função crescente. 
Domínio da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}. 
Imagem da função: ℝ. 
 
Exemplo 2 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥 
 
 
20 
Para construir o gráfico da função 
iremos atribuir valores para x para 
obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥 (𝒙, 𝒚) 
1
9
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
1
9
= 2 (
1
9
, 2) 
1
3
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
1
3
= 1 (
1
3
, 1) 
1 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
1 = 0 (1,0) 
3 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
3 = −1 (3, −1) 
9 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
9 = −2 (9, −2) 
 
Gráfico da função 
 
Função decrescente. 
Domínio da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}. 
Imagem da função: ℝ. 
 
1.9 Função Modular 
Uma função modular ou função valor absoluto é da forma: 
𝒇(𝒙) = |𝒙| 
Tomando o conceito de módulo de um número real pode-se definir essa 
função também como: 
𝒇(𝒙) = {
𝒙 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
 
Exemplo 1 
𝑓(𝑥) = |𝑥| 
 
 
21 
Para construir o gráfico da função iremos atribuir 
valores para x para obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝑦 = |𝑥| (𝒙, 𝒚) 
-2 𝑦 = |−2| = 2 (−2,2) 
-1 𝑦 = |−1| = 1 (−1,1) 
0 𝑦 = |0| = 0 (0,0) 
1 𝑦 = |1|=1 (1,1) 
2 𝑦 = |2|=2 (2,2) 
 
 
Gráfico da função 
 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
 
Exemplo 2 
 
𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| 
Para construir o gráfico da função iremos atribuir 
valores para x para obter alguns pares ordenados. 
 
𝒙 𝑦 = |𝑥 − 2| (𝒙, 𝒚) 
0 𝑦 = |0 − 2| = 2 (0,2) 
1 𝑦 = |1 − 2|=1 (1,1) 
2 𝑦 = |2 − 2|=2 (2,0) 
3 𝑦 = |3 − 2|=1 (3,1) 
4 𝑦 = |4 − 2|=2 (4,2) 
 
 
Gráfico da função 
 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑥 ∈ ℝ|𝑦 > 0}. 
 
1.10 Função definida por várias sentenças 
A função definida por várias sentenças ou função definida por partes 
referem-se às funções definidas por diversas sentenças, onde cada uma 
está relacionada a um domínio. Exemplo 1 
 
 
22 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥² − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
Gráfico da função 
 
Domínio da função: ℝ. 
Imagem da função: {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −2 𝑒 𝑦 > −1}. 
 
1.11 Funções trigonométricas 
O estudo das funções trigonométricas é indispensável para diferentes 
campos do conhecimento, principalmente os relacionados a fenômenos 
periódicos. Porém, inicialmente, retomaremos alguns conceitos como: 
ângulo, circunferência, raio, ângulo central, arco, comprimento de arco, 
graus, radianos, circunferência ou ciclo trigonométrico. 
Ângulo 
Ângulo é qualquer uma das regiões do plano delimitadas por duas 
semirretas de mesma origem. Sendo essas semirretas os lados do ângulo, 
e a origem comum é denominada, vértice. Assim, na figura abaixo se tem 
 
 
23 
dois ângulos: ângulo da região 1 (ângulo menor) e ângulo da região 2 
(ângulo maior). 
 
Circunferência 
A circunferência é o conjunto de pontos de um plano que está a uma 
mesma distância 𝑟, qualquer, de um ponto fixo 𝑂 desse mesmo plano. 
Sendo que, essa distância 𝑟 é chamada de raio, e 𝑂 é denominado centro 
da circunferência. O comprimento da circunferência é dado por 𝐶 = 2𝜋𝑟, 
onde C corresponde ao comprimento da circunferência e 𝑟 refere-se ao 
raio. 
 
 
Ângulo Central 
Sejam dois pontos 𝐴 e 𝐵 em uma mesma circunferência. O ângulo 
formado pelos segmentos 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵, com vértice no centro “𝑂”, 
corresponde ao ângulo central (𝐴�̂�𝐵 ou 𝛼). 
 
 
24 
 
Pode-se observar na figura a seguir, que o ângulo central determina na 
circunferência dois arcos de circunferência, o arco 𝐵�̂� menor (em 
vermelho) e o arco 𝐴�̂� maior (em preto). 
 
Porém, se os pontos 𝐴 e 𝐵 são coincidentes (𝐴 ≡ 𝐵), ocorre um arco nulo 
(0°) e outro de uma volta (360°). 
Graus e Radianos 
As unidades de medidas utilizadas para arcos e ângulos em uma 
circunferência são o grau e o radiano. 
Um arco de um grau (1°) corresponde a 
1
360
 do comprimento da 
circunferência. O arco de uma volta equivale a um ângulo de 360°. 
 
 
25 
Um radiano (1 rad) corresponde ao raio da circunferência que o contém. O 
arco de uma volta completa é 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
A medida de um arco, em radianos, é a razão entre o comprimento da 
circunferência e o comprimento de seu raio. O arco de uma circunferência 
AB é dado por: 
Arco 𝑨𝑩 =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒂𝒓𝒄𝒐
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒓𝒂𝒊𝒐
𝒓𝒂𝒅 
Circunferência ou Ciclo Trigonométrico 
O ciclo trigonométrico, apresentado abaixo, é uma circunferência de raio 
unitário associado a um sistema de coordenadas cartesianas. O centro da 
circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Seja A um 
ponto de intersecção da circunferência com o eixo das abscissas e P outro 
ponto sobre a mesma circunferência, tal que 𝐴�̂� é a origem de todos os 
arcos, onde o sentido anti-horário é o sentido positivo de percurso e o 
sentido horário é o negativo. 
 
 
26 
 
Observando a figura acima, pode-se verificar que à medida que o ponto P 
percorre a circunferência, passando pelos diferentes quadrantes, os 
ângulos, em graus ou radianos, vão se modificando conforme figura a 
seguir. 
Quadrante Graus Radianos 
1º 0° < 𝛼 < 90° 0° < 𝛼 <
𝜋
2
 
2º 90° < 𝛼 < 180° 
𝜋
2
< 𝛼 < 𝜋 
3º 180° < 𝛼 < 270° 𝜋 < 𝛼 <
3𝜋
2
 
4º 270° < 𝛼 < 360° 
3𝜋
2
< 𝛼 < 2𝜋 
Ainda, a partir do ciclo trigonométrico acima apresentado, sabe-se que o 
raio da circunferência é igual a 1, temos que, o seno do ângulo α é a 
ordenada y do ponto P e o cosseno de α é a abscissa x de P. 
 
 
27 
Assim, conforme o ponto P percorre a circunferência trigonométrica sua 
abscissa e ordenada variam, ou seja, os valores do seno e cosseno do 
ângulo se modificam. Essa variação nos valores pode ser observada na 
figura a seguir. 
Arco Graus Radianos Seno Cosseno 
 0 0 0 1 
 
90 
𝜋
2
 1 0 
 
180 𝜋 0 -1 
 
270 
3𝜋
2
 -1 0 
 
360 2𝜋
 
0 1 
 
1.11.1 Função Seno 
Função seno é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 
Onde 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é a ordenada do ponto P, extremidade do arco AP, ou seja, 
cada número real 𝑥 associa o seno de um arco de 𝑥 radianos. 
Assim, com os valores do ciclo trigonométrico, pode-se construir uma 
tabela de valores e realizar a representação gráfica da função seno. 
 
 
28 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 
 
x f(x) 
0 0 
2

 1 
 0 
2
3
 -1 
2 0 
 
 
 
 
O domínio da função seno é o conjunto dos números reais: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. 
A imagem da função seno corresponde ao intervalo [−1, 1] ou 𝐼𝑚(𝑓) =
{𝑦 ∈ ℝ|−1 ≤ 𝑦 ≤ 1}. 
A função seno é periódica de período 2𝜋 (𝑃 = 2𝜋), pois os valores se 
repetem de 2𝜋 em 2𝜋. 
 
1.11.2 Função Cosseno 
Função cosseno é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 
Onde 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) é a abscissa do ponto P, extremidade do arco AP, ou seja, a 
cada 𝑥 associa 𝑐𝑜𝑠 (𝑥). 
Assim, com os valores do ciclo trigonométrico, pode-se construir uma 
tabela de valores e realizar a representação gráfica da função cosseno. 
 
 
29 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 
x f(x) 
0 1 
2

 0 
 -1 
2
3
 0 
2 1 
 
 
 
O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) =
ℝ. 
A imagem da função cosseno corresponde ao intervalo [−1, 1] ou 𝐼𝑚(𝑓) =
{𝑦 ∈ ℝ|−1 ≤ 𝑦 ≤ 1}. 
A função seno é periódica de período 2𝜋 (𝑃 = 2𝜋), pois os valores se 
repetem de 2𝜋 em 2𝜋.1.11.3 Função Tangente 
Função tangente é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) 
Onde a 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) corresponde ao quociente entre o 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e o 𝑐𝑜𝑠(𝑥), ou 
seja: 
𝒕𝒂𝒏 (𝒙) =
𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
O gráfico da função tangente é representado a seguir. 
 
 
30 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 
 
 
O conjunto domínio da função tangente é: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑛. 𝜋}, 
onde 𝑛 é um número inteiro. 
O conjunto imagem da função tangente é: 𝐼𝑚 (𝑓) = ℝ. 
O período da função tangente é 𝑃 = 𝜋. 
 
1.11.4 Função Cotangente 
Função cotangente é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈 (𝒙) 
Onde a 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥) corresponde o quociente do 𝑐𝑜𝑠(𝑥) pelo 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ou seja: 
𝒄𝒐𝒕𝒈 (𝒙) =
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
 
A partir desta relação é possível representar o gráfico da função 
cotangente de 𝑥, que é apresentado abaixo. 
 
 
31 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥) =
𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 
 
 
O conjunto domínio da função cotangente é: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 𝑛. 𝜋}, 
onde 𝑛 é um número inteiro. 
O conjunto imagem da função cotangente é: 𝐼𝑚 (𝑓) = ℝ 
O período da função cotangente é 𝑃 = 𝜋. 
 
1.11.5 Função Secante 
Função secante é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 
A inversa da função secante corresponde ao inverso do 𝑐𝑜𝑠(𝑥), ou seja: 
𝒔𝒆𝒄 (𝒙) =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
 
Desta relação é possível representar o gráfico da função secante, 
apresentado a seguir. 
 
 
32 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
 
 
 
O conjunto domínio da função secante é: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠
(2𝑛−1)𝜋
2
}, 
no qual 𝑛 é um número inteiro. 
O conjunto imagem da função secante é: 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ou 
𝐼𝑚 (𝑓) = {𝑦 < −1 𝑜𝑢 𝑦 > 1}. 
O período da função secante é 𝑃 = 𝜋. 
 
1.11.6 Função Cossecante 
Função cossecante é a função 𝑓: ℝ → ℝ, sendo definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝒙) 
A função cossecante corresponde ao inverso de 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ou seja: 
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 (𝒙) =
𝟏
𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
 
 
 
33 
A partir desta relação é possível representar o gráfico da função 
cossecante de 𝑥, que é apresentado a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 
 
 
O conjunto domínio da função cossecante é: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 𝑛. 𝜋}, 
no qual 𝑛 é um número inteiro. 
O conjunto imagem da função cossecante é: 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, −1] ∪ [1, + ∞) 
ou 𝐼𝑚 (𝑓) = {𝑦 < −1 𝑜𝑢 𝑦 > 1}. 
O período da função cossecante é 𝑃 = 2𝜋. 
 
1.12 Funções Hiperbólicas 
Seja a expressão exponencial 
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
, utilizada em aplicações do cálculo, 
tem-se que a função seno hiperbólico, é definido por: 
𝒇(𝒙) =
𝒆𝒙−𝒆−𝒙
𝟐
 ou 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 
 
 
34 
Para fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o software 
GeoGebra ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
 
 
 
O domínio da função seno hiperbólico, corresponde ao conjunto dos 
números reais. 
Seja a expressão exponencial 
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
, tem-se que a função cosseno 
hiperbólico, é definido por: 
𝒇(𝒙) =
𝒆𝒙+𝒆−𝒙
𝟐
 ou 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 
Para fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o software 
GeoGebra ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 
 
 
 
35 
 
O domínio da função cosseno hiperbólico, corresponde ao conjunto dos 
números reais. 
A função tangente hiperbólica é definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒙 
A função tangente também pode ser representada por: 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥
. Para 
fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o software GeoGebra 
ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 
 
 
 
O domínio da função tangente hiperbólica, corresponde ao conjunto dos 
números reais. 
A função cotangente hiperbólica é definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒉 𝒙 
 
 
36 
A função cotangente hiperbólica, também, pode ser representada por: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥
. Para fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o 
software GeoGebra ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a 
seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑥 
 
 
 
O domínio da função cotangente hiperbólica, corresponde ao conjunto dos 
números reais, menos o zero (ℝ∗). 
A função secante hiperbólica é definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 
A função secante também pode ser representada por: 𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥
. Para 
fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o software GeoGebra 
ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 
 
 
 
37 
 
 
O domínio da função secante hiperbólica, corresponde ao conjunto dos 
números reais. 
A função cossecante hiperbólica é definida por: 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 
A função cossecante também pode ser representada por: 𝑓(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥
. 
Para fazer o esboço gráfico desta função, pode-se utilizar o software 
GeoGebra ou uma calculadora gráfica, conforme o gráfico a seguir. 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 
 
 
 
O domínio da função cossecante hiperbólica, corresponde ao conjunto dos 
números reais, menos o zero (ℝ∗). 
A seguir, apresentam-se as identidades hiperbólicas: 
 
 
38 
Identidades Hiperbólicas 
cosh2 𝑥 − senh2 𝑥 = 1 1 − tanh2 𝑥 = sech2 𝑥 
coth2 𝑥 − 1 = csch2 𝑥 tanh (𝑥 + 𝑦) =
tanh 𝑥 + tanh 𝑦
1 + tanh 𝑥 tanh 𝑦
 
senh (𝑥 + 𝑦) = senh 𝑥 cosh 𝑦 + cosh 𝑥 senh 𝑦 
cossech (𝑥 + 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 + senh 𝑥 senh 𝑦 
senh (−𝑥) = − senh 𝑥 cosh (−𝑥) = cosh 𝑥 
 
1.12 Translação, reflexão e contração de funções 
Ampliando os estudos sobre análise gráfica de funções 
Considerando a função 𝑦 = 𝑥², tem-se a possibilidade de construir 
diferentes funções por meio de translações, reflexões e contrações. 
Translação em relação ao eixo y 
Com base na função 𝑦 = 𝑥2 + 1, ao calcular valores para 𝑦, calcula-se 𝑥² e 
se adiciona uma unidade. Nessa situação, cada imagem da função 𝑦 =
𝑥2 + 1 terá uma unidade além da função 𝑦 = 𝑥². Deste modo, o gráfico de 
𝑦 = 𝑥2 + 1 apresenta a mesma forma que o gráfico de 𝑦 = 𝑥², porém uma 
unidade acima, conforme o gráfico a seguir. 
 
 
 
39 
O domínio da função 𝑦 = 𝑥2 + 1 é o conjunto dos reais e sua imagem é 
[1, ∞) e a função é decrescente no intervalo para 𝑥 ∈ (−∞, 0] e crescente 
para 𝑥 ∈ [0, ∞). 
Atividade: Observe o gráfico a seguir e descreva o que ocorre com a 
função 𝑦 = 𝑥² − 1 com relação a função 𝑦 = 𝑥². Determine o domínio, a 
imagem e o intervalo de crescimento e decrescimento. 
 
Reflexão em torno do eixo x 
Considerando a função 𝑦 = −𝑥2. A imagem desta função corresponde ao 
valor simétrico da função 𝑦 = 𝑥2. Pode-se dizer que, o gráfico da função 
𝑦 = −𝑥2 tem a mesma forma que o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2, porém com a 
concavidade voltada para baixo, conforme pode-se observar no gráfico a 
seguir. 
 
 
40 
 
O domínio da 𝑦 = −𝑥2 é o conjunto dos números reais. A imagem dessa 
função corresponde ao intervalo (−∞, 0]. A função 𝑦 = −𝑥2 é crescente no 
intervalo 𝑥 ∈ (−∞, 0] e decrescente no intervalo para 𝑥 ∈ [0, ∞). 
 
Translação em relação ao eixo x 
Na função 𝑦 = (𝑥 + 1)² foi adicionada uma constante 𝑘, com valor igual 1, 
em seu argumento, isso a difere da função 𝑦 = 𝑥². Quando se calcula os 
valores para 𝑦, calcula-se (𝑥 + 1) e em seguida, eleva-se o valor obtido ao 
quadrado. Deste modo, o gráfico de 𝑦 = (𝑥 + 1)² apresenta a mesma 
forma que o gráfico de 𝑦 = 𝑥², porém uma unidade para a esquerda, 
conforme o gráfico a seguir. 
 
 
 
41 
 
O domínio da 𝑦 = (𝑥 + 1)² é o conjunto dos números reais. A imagem 
desta função é o intervalo [0, ∞). A função 𝑦 = (𝑥 + 1)² é decrescente no 
intervalo para 𝑥 ∈ (−∞, −1] e crescente para 𝑥 ∈ [−1, ∞). 
Atividade: Observe o gráfico a seguir e descreva o que ocorre com a 
função 𝑦 = (𝑥 − 1)² com relação a função 𝑦 = 𝑥². Determine o domínio, a 
imageme o intervalo de crescimento e decrescimento. 
 
 
Contração 
A função 𝑦 = 3𝑥² foi multiplicada por uma constante 𝑘, de valor igual a 3. 
Quando se calcula os valores para 𝑦, eleva-se 𝑥 ao quadrado, em seguida, 
multiplica-se o valor obtido por 3. Observe o gráfico. 
 
 
 
42 
O domínio da 𝑦 = 3𝑥² é o conjunto dos números reais. A imagem desta 
função é o intervalo [0, ∞). A função 𝑦 = 3𝑥² é decrescente no intervalo 
para 𝑥 ∈ (−∞, 0] e crescente para 𝑥 ∈ [0, ∞). 
Atividade: Utilizando o software GeoGebra, construa as funções 𝑦 = 𝑥², 
𝑦 =
1
3
𝑥², 𝑦 =
1
6
𝑥², 𝑦 =
1
9
𝑥², 𝑦 =
1
12
𝑥² e descreva o que você observa nessa 
representação gráfica, com relação a contração e o coeficiente “a”.