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Aula2 - Lei de Gauss
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Fenômenos Eletromagnéticos Lei de Gauss Professor Breno Marques Propriedades de um Campo Vetorial As propriedades de um campo vetorial podem ser vistas observando dois conceitos: Fluxo do campo vetorial em uma superfície fechada: Lei de Gauss ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = ? Campo ao longo de um caminho fechado: Potencial Elétrico ර ℓ 𝐸. 𝑑ℓ = ? 10/6/2020 2 𝑆 𝑆 ℓ ℓ Fluxo 10/6/2020 3 Quantidade de algo por unidade de tempo por unidade de área Exemplos: Número de pessoas que passam por uma estação Quantidade de água que passa a hidroelétrica Fluxo do Campo Elétrico: Φ𝐸 = න 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 Estação da Luz - Rubi Apu Gomes/Folhapress/ Usina e Itaipu - wikipedia Fluxo em uma superfície fechada: Fonte fora da superfície ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 Superfície fechada, a direção da superfície é definida para for a da superfície: Fluxo é positivo se a propriedade de interesse está saindo da superfície: Φ > 0 Fluxo é negativo se a propriedade de interesse está entrando: Φ < 0 Se não há uma fonte da propriedade de interesse dentro da superfície, o fluxo total sobre a superfície é nulo ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 0 10/6/2020 4 Estação da Luz - Rubi Apu Gomes/Folhapress/ ො𝑛 ො𝑛 Fluxo em uma superfície fechada: Fonte dentro da superfície 10/6/2020 5 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 O fluxo por uma superfície fechada é proporcional a magnitude da fonte ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 ∝ 𝑞𝑖𝑛𝑡 Carga positiva, fluxo positivo: Φ > 0 Carga negativa, fluxo negativo: Φ < 0 ො𝑛 ො𝑛 Lei de Gauss A Lei de Gauss define como o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada está associada a carga interna da superfície: ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = qint 𝜖0 Para uma mesma determinada distribuição de carga, mesmo 𝑞𝑖𝑛𝑡, o fluxo do campo elétrico é o mesmo. A superfície usada para calcular o fluxo é chamada de superfície Gaussiana. 10/6/2020 6 Questão! Qual é o fluxo do campo elétrico na superfície 𝐸 = 𝐸0 ො𝑥 na superfície 𝑆2 considerando a área de S2 tem formato quadrado com lado 𝑑 e não tem cargas dentro da superfície verde? a) 𝐸0𝑑 2 b) −𝐸0𝑑 2 c) 𝐸0𝑑 d) −𝐸0𝑑 e) 0 10/6/2020 7 𝑆1 𝑆2 𝜃 𝑥 𝑦 × Questão! Qual é o fluxo do campo elétrico na superfície 𝐸 = 𝐸0 ො𝑥 na superfície 𝑆1 considerando a área de S2 tem formato quadrado com lado 𝑑 e não tem cargas dentro da superfície verde? a) 𝐸0𝑑 2 b) −𝐸0𝑑 2 c) 𝐸0𝑑 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 d) −𝐸0𝑑 2 sin 𝜃 e) 0 10/6/2020 8 𝑆1 𝑆2 𝜃 𝑥 𝑦 × Equivalência: Lei de Gauss e Lei de Coulomb Campo Elétrico gerado por uma carga pontual. Lei de Coulomb: 𝐸 = 𝑘𝑒 𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 Lei de Gauss Escolhendo uma superfície gaussiana fácil de calcular o fluxo, Superfícies que têm a mesma simetria da distribuição de carga. Para todo ponto da esfera temos que 𝐸 ∥ 𝑑 Ԧ𝑆 = 𝑑𝑎 𝑛. Em todos os pontos temos a superfície equidistante da carga: 𝐸 igual para todos os pontos da superfície. ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 𝐸ර 𝑆 𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2 𝐸 Usando o resultado do fluxo na Lei de Gauss temos: 4𝜋𝑟2 𝐸 = 𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜖0 ⇒ 𝐸 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 ⇒ 𝐸 = 1 4𝜋𝜖0 𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 10/6/2020 9 𝒌𝒆 = 𝟏 𝟒𝝅𝝐𝟎 Lei de Gauss: Simetria cilíndrica Tubo cilíndrico com densidade de carga constante Qual a superfície gaussiana que respeita a simetria do problema. Superfie gaussiana = superfície cilíndrica. Para 𝑟 < 𝑎: 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 0 ⇒ 𝐸 = 0 10/6/2020 10𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝝆 𝑟ℎ Lei de Gauss: Simetria cilíndrica Tubo cilíndrico com densidade de carga constante Qual a superfície gaussiana que respeita a simetria do problema. Superfie gaussiana = superfície cilíndrica. Para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 𝐸ර 𝑆 𝑑𝑎 = 2𝜋𝑟ℎ 𝐸 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 𝜌𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝜌ℎ𝜋 𝑟 2 − 𝑎2 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = qint 𝜖0 2𝜋𝑟ℎ 𝐸 = 𝜌ℎ𝜋 𝑟2 − 𝑎2 𝜖0 𝐸 = 𝜌 2𝜖0 𝑟 − 𝑎2 𝑟 Ƹ𝑟 10/6/2020 11𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝝆 𝑟ℎ Lei de Gauss: Simetria cilíndrica Tubo cilíndrico com densidade de carga constante Qual a superfície gaussiana que respeita a simetria do problema. Superfie gaussiana = superfície cilíndrica. Para 𝑟 > 𝑏: ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 𝐸ර 𝑆 𝑑𝑎 = 2𝜋𝑟ℎ 𝐸 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝜌ℎ𝜋 𝑏 2 − 𝑎2 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = qint 𝜖0 2𝜋𝑟ℎ 𝐸 = 𝜌ℎ𝜋 𝑏2 − 𝑎2 𝜖0 𝐸 = 𝜌 2𝜖0 𝑏2 − 𝑎2 𝑟 Ƹ𝑟 10/6/2020 12𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝝆 𝑟ℎ Lei de Gauss: Lei da superposição e quebra de simetria Esfera carregada com buraco esférico não concêntrico. Qual o campo dentro do buraco? 10/6/2020 13 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏Ԧ𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑥 𝑦 𝑧 𝑏Ԧ𝑑 +𝜌 +𝜌 −𝜌 Lei de Gauss: Lei da superposição e quebra de simetria Resolvendo o campo interno de uma esfera carregada uniformente: Caso 𝑟 < 𝑎 Superfície gaussiana esférica centrada na distribuição de carga: ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 𝐸ර 𝑆 𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2 𝐸 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 𝜌𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 4 3 𝜋𝑟3 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = qint 𝜖0 4𝜋𝑟2 𝐸 = 𝜌 𝜖0 4 3 𝜋𝑟3 𝐸+ = 𝜌 3𝜖0 𝑟 Ƹ𝑟 = 𝜌 3𝜖0 Ԧr 10/6/2020 14 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 +𝜌 𝑟 Lei de Gauss: Lei da superposição e quebra de simetria Resolvendo o campo interno de uma esfera carregada uniformente de raio 𝑏 deslocada de Ԧ𝑑 da origem: Caso 𝑟 < 𝑏 Superfície gaussiana esférica centrada na distribuição de carga: ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = 𝐸ර 𝑆 𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2 𝐸 𝑞𝑖𝑛𝑡 = −𝜌𝑉𝑖𝑛𝑡 = −𝜌 4 3 𝜋𝑟3 ර 𝑆 𝐸. 𝑑 Ԧ𝑎 = qint 𝜖0 4𝜋𝑟2 𝐸 = − 𝜌 𝜖0 4 3 𝜋𝑟3 𝐸− = − 𝜌 3𝜖0 Ԧr − Ԧ𝑑 10/6/2020 15 10/6/2020 15 𝑥 𝑦 𝑧 Ԧ𝑑 −𝜌 Lei de Gauss: Lei da superposição e quebra de simetria O campo elétrico total no buraco será a soma dos dois campos elétricos encontrados individualmente: 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸+ + 𝐸− 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌 3𝜖0 Ԧr − 𝜌 3𝜖0 Ԧr − Ԧ𝑑 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝝆 𝟑𝝐𝟎 𝒅 10/6/2020 16 Campo Elétrico dentro de um condutor O campo dentro de um condutor quando as cargas estão paradas é sempre nulo: 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 0 Gaiola de Faraday 10/6/2020 17 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝐸 = 0 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝐸 = 0 𝐸 = 0 + + + + ++ + ++ Campo Elétrico dentro de um condutor E se tiver uma carga dentro do orifício do conductor, Qual será o campo dentro do condutor? E fora? a) 𝐸𝑓𝑜𝑟𝑎 = 0 𝑒 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 0 b) 𝐸𝑓𝑜𝑟𝑎 ≠ 0 𝑒 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 0 c) 𝐸𝑓𝑜𝑟𝑎 = 0 𝑒 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 ≠ 0 d) 𝐸𝑓𝑜𝑟𝑎 ≠ 0 𝑒 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 ≠ 0 10/6/2020 18 + × Campo Elétrico dentro de um condutor Intedependente se o condutor está carregado ou não Independente se há carga envolta Independente se há carga dentro de um oríficio 10/6/2020 19 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝐸 = 0 𝐸 = 0 𝐸 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 𝐸 = 0 𝐸 ≠ 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 0
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