CALCULO ANALISE Prof EBT 2011 Cad_Questões_NI-09

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1 Confira, no cartão grampeado ao CADERNO DE RESPOSTAS, o seu nome, o número de identidade e o de 
inscrição, além do código da Área de Atuação/Conhecimento para a qual você está concorrendo. Em caso de 
incorreções, comunique ao fiscal de sala.
2 O tempo de duração previsto para a realização desta prova é de 04 (quatro) horas.
3 Para qualquer tipo de rascunho, somente será permitida a utilização das folhas constantes do CADERNO DE 
QUESTÕES. Não é permitido ao candidato destacar qualquer folha deste caderno.
4 O desenvolvimento das questões só será considerado se transcrito, a caneta de corpo transparente de tinta 
azul ou preta, para o espaço destinado à resposta de cada questão no CADERNO DE RESPOSTAS.
5 Evite rasuras.
6 Será excluído do Concurso o candidato que efetuar qualquer registro, que possa identificá-lo, no caderno de 
questões e/ou de respostas.
7 O candidato somente poderá retirar-se da sala após decorridos 60 (sessenta) minutos do início da prova.
8 Os 03 (três) últimos candidatos deverão permanecer na sala e entregar juntos a prova ao fiscal, assim que a 
concluírem ou ao final do tempo de duração previsto para a sua realização.
9 Terminada a prova, entregue ao fiscal de sala o CADERNO DE QUESTÕES e o CADERNO DE 
RESPOSTAS.
Caderno de Questões
Você recebeu do fiscal um CADERNO DE QUESTÕES e um CADERNO DE RESPOSTAS.
O CADERNO DE QUESTÕES consta de 14 (quatorze) páginas, numeradas sequencialmente, incluindo o espaço 
para rascunho.
O CADERNO DE RESPOSTAS consta de 17 (dezessete) páginas, numeradas sequencialmente.
Esta é uma prova , com o valor máximo de 60 (sessenta) pontos. O valor de cada questão está 
registrado ao lado do número da questão ou do item.
dissertativa
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro
www.ifrj.edu.br
Concurso Público para Provimento de Cargos de 
Professor de Ensino Básico, Técnico e Tecnológico 
Edital nº 37/2011
Instruções
Cálculo e Análise
Área: NI-09
- 1 -
Questão 01
1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
Questão 02
Questão 03
Questão 04
Questão 05
(12 pontos)
(12 pontos)
IFRJ
Concurso Público para Provimento de Cargos de 
Professor de Ensino Básico, Técnico e Tecnológica - Edital nº37/2011
Para a resolução das 6(seis) questões desta prova, considere que 
reais e o conjunto dos números naturais (sem o zero).
R
N, 
 denota o conjunto dos números 
Dada a função 
, explicitando o seu domínio; os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados; as regiões de 
crescimento e decrescimento da função; as regiões onde a função é côncava para cima; as regiões onde a função é 
côncava para baixo e, caso existam, todos os pontos de máximo, mínimo e de inflexão da função, bem como as 
suas assíntotas horizontais e verticais.
, definida por , faça um esboço do gráfico da sua função derivada 
F¢
 RRF ®:
 
dtetxF
x
t
ò -=
)ln(
)1()(
p
Sendo e 
A) (6 pontos) Escreva a série de Taylor de f em torno de 
B) (4 pontos) Calcule , sendo H o hexágono (positivamente orientado) que possui um vértice em 
e que está inscrito no círculo com raio , centrado na origem do plano complexo. 
, desenvolva os itens A e B.
. z = 0
 
)²1(
1
)(
z
zf
-
=
 
³
)(
)(
z
zf
zg =
 ò
H
dzzg )(
 
2
1
=z
 
2
1
Um objeto de massa m cai em queda livre partindo do repouso. Admitindo que a força de atrito causada pela 
resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade do objeto e considerando g o valor da aceleração da 
gravidade, encontre uma expressão para a posição do objeto como função do tempo de queda .x(t) t
Considere o seguinte campo de forças:
A partir dessa informação, responda aos questionamentos A e B.
A) (2 pontos) F é conservativo? Justifique. 
B) (10 pontos) Determine o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula ao longo da trajetória 
dada por , com . 
F C 
 
)).1ln(,
2
3
(),( 23222 yyxxyyxxyxF ++++-=
 )sen,cos1()( ttt +=g p££ t0
Considere
responda aos itens a seguir.
A) (4 pontos) Mostre que, se é um intervalo aberto, então é uma função constante. 
B) (3 pontos) O resultado do item anterior continuaria válido se fosse um aberto não vazio qualquer da reta? 
Justifique a sua resposta. 
 um conjunto aberto não vazio e , uma função derivável com e 
I f
I 
 RIÍ RIf ®: Ixxf Î"=¢ ,0)(
- 2 -
Questão 06
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
Considere 
A) (4 pontos) Se é um conjunto compacto e é uma função contínua, demonstre que f (K) é 
compacto.
B) (3 pontos) Se é uma função C¹, prove que 
. Nnm Î,
 nRK Í mRKf ®:
 RRg ®:
 
0)().(
0
lim =ò dxxnsenxg
+¥®n
p
- RASCUNHO -
.
- 3 -
- RASCUNHO -
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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- RASCUNHO -
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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1ª Fase / Prova de Conteúdo / Área: NI-09
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