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METODOLOGIA E PRÁTICA DE
ENSINO DE MATEMÁTICA NOS
ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA NOS ANOS
INICIAIS: QUAIS POLÍTICAS E TÉCNICAS
ENVOLVEM O ENSINO DE MATEMÁTICA?
Jonatha Daniel dos Santos
INICIAR 
Introdução
Vamos começar este primeiro capítulo discorrendo sobre alguns documentos
públicos oficiais que estão articulados com o campo educacional. Esses
documentos, entre outros, estabelecem aplicações no conteúdo escolar, ou seja, o
conhecimento sistematizado, que chamamos de currículo escolar, bem como
fornecem indicativos de como os conteúdos podem ser apresentados aos discentes. 
Além disso, são expostas propostas para trabalhar com os componentes curriculares
e como o docente pode estabelecer uma ação pedagógica que venha ao encontro de
um ensino e aprendizagem em matemática de forma que possa colaborar com o
processo do desenvolvimento da inteligência das crianças inseridas nos anos inicias
do ensino fundamental. Então, como essas propostas são articuladas nesses
documentos para ensino de matemática?
Outra questão interessante desse capítulo reside na apresentação dos conceitos
teóricos formulados por Yves Chevallard e Gérald Vergnaud, ambos
importantíssimos educadores matemáticos que em suas teorias se propõem a
ressignificar o ensino da matemática trazendo outros olhares a partir de seus
campos epistemológicos, sendo possível questionar: como se aprende matemática?
Caminhando nesse sentido, estudaremos sobre técnica, tecnologia, campo
conceitual, compreensão dos números e dos conceitos das operações aritméticas,
entre outros, sempre pensado por meio de um contexto escolar que se alinha aos
anos iniciais do ensino fundamental.
Vamos lá? Acompanhe este capítulo com atenção!
1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN), Diretrizes Curriculares Nacionais
para o Ensino Fundamental de 9 (nove)
anos e Base Nacional Comum Curricular
(BNCC)
As políticas públicas educacionais buscam construir elementos centrais que
norteiam o trabalho docente. No âmbito do Ensino Fundamental, pensando a partir
dos anos iniciais, do 1º ao 5º ano, estas políticas públicas apresentam objetivos e
tipos de sujeitos que serão atendidos por meio desse nível escolar.  Não obstante,
além de esboçar a idade das crianças atendidas, estas políticas descrevem os
critérios que os educadores/as devem atender no âmbito de suas atividades
docentes.
As questões centrais que incorporam as discussões presentes nessa sessão se
apresentam buscando compreender a proposta dos documentos oficiais, distinguir
e compreender a operacionalização do trabalho com os blocos temáticos e
identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas
ramificações e aplicações.
1.1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
A organização do Estado brasileiro em matéria educacional é regida pelas Diretrizes
e Bases da Educação Nacional (LDB), a Lei n. 9.394/96 (BRASIL, 1996). Tal lei dispõe
sobre a Educação Básica bem como a Educação Superior, e é por meio dela que
outras leis e diretrizes vão incorporando o cenário educacional brasileiro. É possível
destacar, por exemplo, alguns documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) (BRASIL, 1997a), a Resolução n. 07/2010, que fixa as Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos (DCNEF) (BRASIL,
2010), e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2018).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), propostos no ano de 1997, dividiam-se,
naquele momento, em um documento formatado por dois grupos: um de 1ª a 4ª
série e outro para 5ª a 8ª série. Apesar de críticas, o documento foi um avanço para a
educação brasileira, principalmente quando se tornou um “[...] instrumento útil no
apoio às discussões pedagógicas em sua escola, na elaboração de projetos
educativos, no planejamento das aulas, na reflexão sobre a prática educativa e na
análise do material didático” (PCN, 1997a, p. 4).
Para o grupo de 1ª a 4ª série, foi produzida uma coleção com dez volumes que
envolvia desde a Introdução aos PCN, passando por componentes curriculares
como, por exemplo, Língua Portuguesa, Matemática, Ciências Naturais, História,
Geografia, Educação Física e Arte, até os cadernos de Temas Transversais com Meio
Ambiente, Saúde, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual.
Importante ressaltar que no período que o PCN (BRASIL, 1997) foi produzido ainda
era utilizada a nomenclatura “série”, como 1ª série, 2ª série e assim por diante. A
partir do ano de 2006, de acordo com a Lei n. 11.274/2006 (BRASIL, 2006), foram
estabelecidas as diretrizes e bases da educação nacional, dispondo sobre a duração
de nove anos para o Ensino Fundamental, com matrícula obrigatória a partir dos seis
anos de idade. A nomenclatura alterada foi para “ano”, como 1º ano, 2º ano e assim
por diante. Inclui, nessa mudança, o aumento de um ano no Ensino Fundamental,
que passou a ser até o 9º ano. O art. 5 dessa lei previa que os Municípios, os Estados
e o Distrito Federal teriam até 2010 para implementar a obrigatoriedade para o
Ensino Fundamental disposto no art. 3 desta mesma lei e a abrangência da pré-
escola de que trata o art. 2 também desta lei.
Os PCN (BRASIL, 1997) organizavam as séries em ciclos, totalizando quatro. O
primeiro ciclo refere-se a 1ª e 2ª série, enquanto que a 3ª e 4ª série são
compreendidas no segundo ciclo. Esses dois primeiros ciclos constituem a parte
integrante dessa discussão. Já o terceiro ciclo envolve a 5ª e 6ª série e o quarto ciclo
a 7ª e 8ª série. Conforme o quadro a seguir, nota-se um exemplo de desdobramento
dos objetivos de matemática no primeiro ciclo: 
No volume 03 dos PCN (BRASIL, 1997b), que trata da matemática, o documento
mostra-se aberto a discussões historicamente desvinculadas a esse componente
curricular, vinculando-se a temas como a construção da cidadania e temas
transversais como ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade
cultural entre outros.
Aprofundando a discussão, o PCN (BRASIL, 1997) promove uma reflexão diante de
alguns cenários, por exemplo: o aluno e o saber matemático, o professor e o saber
matemático, as relações professor-aluno e aluno-aluno. Também dialoga com a
resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da informação e jogos.
Quadro 1 - Objetivos gerais do Ensino Fundamental em matemática para séries iniciais. Fonte: PCN, 1997b,
p. 48.
São cenários que compõem e podem compor o período de escolarização das
crianças, e por meio delas pode haver melhoras significativas no ensinar e no
aprender matemática.
Isso quer dizer que trabalhar com história da matemática implica expor que a
matemática não é uma disciplina desconexa da realidade, pelo contrário, foi
construída ao longo dos séculos e por diversos povos no intuito de satisfazer
necessidades de sobrevivência para os seres humanos. Esse exemplo possibilita a
compreensão de que tal documento trouxe consigo avanços educacionais em sua
formulação. Vamos conhecer um pouco mais sobre esses blocos de conteúdo.
Conforme salienta o PCN (BRASIL, 1997) ao tratar do bloco “números e operações”, o
objetivo é apresentar e facilitar a compreensão sobre distintos significados das
categorias numéricas e suas operações, como os números naturais, números
inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e
decimais) e números irracionais.
Leia o artigo “Grandezas e medidas: surgimento histórico e contextualização curricular” (2013), de
Simone Pozebon e Anemari R. L. V. Lopes publicado no VI Congresso Internacional de Ensino de
Matemática, realizado em Canoas, em 2013. O objetivo desse artigo é apresentar um breve apanhado
sobre o surgimento dos conceitos que são focados na pesquisa – grandezas e medidas – na história da
humanidade, assim como realizar uma discussão a partir da sua organização curricular e presença em
documentos oficiais. Acesse: <https://goo.gl/2DGo7h (https://goo.gl/2DGo7h)>.
A aproximação com essas categorias e o envolvimento com suas operações, adição,
subtração,multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, corrobora com a
ampliação do conceito de número. Para esse bloco de conteúdo, no primeiro ciclo, o
objetivo é explorar os significados das operações, em destaque a adição e a
subtração. Já para o segundo ciclo “[...] os recursos de cálculo são ampliados pelo
fato de o aluno ter uma compreensão mais ampla do sistema de numeração
decimal, além de uma flexibilidade de pensamento para construção do seu cálculo
mental” (PCN, 1997b, p. 53).
VOCÊ QUER LER?
https://goo.gl/2DGo7h
Já o bloco “espaço e forma”, de acordo com o PCN (BRASIL, 1997b, p. 35), “[...]
permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em
que vive”. Concebe-se que esse bloco esteja articulado com o pensamento
geométrico, enquanto um campo fértil para se trabalhar com ocasiões cotidianas
lançando mão de situações-problemas. Ainda segundo os PCN (BRASIL, 1997b, p.
35), “[...] além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do
mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele
permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e outras áreas do
conhecimento”.
Para esse bloco de conteúdo, no primeiro ciclo, a proposta consolida-se em
compreender, descrever e representar o mundo e os espaços sociais e escolares que
fazem parte do contexto dos estudantes, colaborando para localizarem-se no espaço
e por ele se movimentar, percebendo as formas e objetos que o compõe. Isso
possibilita, então, a construção de relações para a compreensão do espaço a sua
volta. Já para o segundo ciclo, “[...] o trabalho com espaço e forma centra-se, ainda,
na realização de atividades exploratórias do espaço [...] o trabalho com malhas e
diagramas, a exploração de guias e mapas pode constituir um recurso para a
representação do espaço” (BRASIL, 1997b, p. 53).
O bloco de conteúdo “grandezas e medidas” tende a permitir melhores
compreensões sobre os conceitos apresentados no bloco “espaço e forma” e por
apresentar similaridades com a questão social é percebida como uma possibilidade
de aproximar o contexto matemático com o cotidiano. Para o primeiro ciclo, “[...]
não é objetivo a formalização de sistemas de medida, mas sim levar a criança a
compreender o procedimento de medir, explorando para isso tanto estratégias
pessoais quanto ao uso de alguns instrumentos, como balança, fita métrica e
recipientes de uso frequente” (BRASIL, 1997b, p. 45).
Trata-se de permitir que as crianças explorem instrumentos práticos que constituem
objetos necessários a determinadas profissões e que também possam ser utilizadas
por seus responsáveis em atividades domésticas. Para o segundo ciclo, a proposta é
compreender os processos de medição, apresentar as unidades de medidas (metro,
centímetro, grama, quilograma etc.) e o trabalho com conversões sempre atrelado
ao contexto prático, como transformar quilômetro em metro e assim por diante.
Figura 1 - Explorando as medidas das crianças com uma possibilidade prática na ação pedagógica. Fonte:
Yuganov Konstantin, Shutterstock, 2018.
Ainda nesse bloco de conteúdo, seguindo as orientações dos PCN (BRASIL, 1997b), é
válido trabalhar com o sistema decimal de medida, com o sistema monetário e
também com o sistema de numeração decimal.
Outro bloco de conteúdo, o “tratamento da informação”, tem como proposta
integrar estudos “[...] relativos a noções de estatística, de probabilidade e de
combinatória. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um
trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos”
(PCN, 1997b, p. 36). A ideia desse bloco é apresentar os conceitos iniciais desses
temas bem como possibilitar melhoras significativas em períodos posteriores de
estudos no seguimento escolar.  
No primeiro ciclo, conforme os PCN (BRASIL, 1997b), a proposta é estabelecer
diálogos investigativos e por meio dela estimular perguntas, construção de
justificativas e estabelecer relações entre objetos e informações. Logo, a finalidade
não pressupõe apenas a leitura de gráficos ou informações, mais que isso é preciso
interpretar e inferir decisões frente ao que vem sendo apresentado em sala de aula.
Já o segundo ciclo tem como proposta desenvolver um trabalho que leve em conta a
coleta dos dados, organização e descrição desses dados, para trabalhar com tabelas
e gráficos. 
1.1.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental
de 9 (nove) anos –DCNEF 
Com a mudança do Ensino Fundamental para nove anos e a obrigatoriedade do
ensino gratuito dos quatro aos 17 anos de idade, demandas e necessidades de
atualização dos documentos públicos que constituem a educação escolar brasileira
foram abertas. Assim, as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental de nove anos (DCNEF) (BRASIL, 2010b), homologada pelo Conselho
Nacional de Educação/Câmara de Educação Básica, com parecer CNE/CEB n.
11/2010 (BRASIL, 2010a) e Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), atrelada ao objeto
da Lei n. 11.274/2006 (BRASIL, 2006), vem ao encontro da necessidade de atualizar
defasados documentos públicos que permeiam as políticas públicas educacionais.
Os princípios que regem essas políticas educativas e suas ações pedagógicas são
éticos, políticos e estéticos.
Conforme o Parecer CNE/CEB n. 11/2010 (BRASIL, 2010a, p. 110):
Os objetivos que a Educação Básica busca alcançar, quais sejam, propiciar o
desenvolvimento do educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para
o exercício da cidadania e fornecer-lhe os meios para que ele possa progredir no
trabalho e em estudos posteriores, segundo o artigo 22 da Lei n. 9.394/96 (LDB), bem
como os objetivos específicos dessa etapa da escolarização (artigo 32 da LDB), devem
convergir para os princípios mais amplos que norteiam a Nação brasileira. 
No Art. 15 da Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), os componentes curriculares
obrigatórios do Ensino Fundamental serão assim organizados em relação às áreas
de conhecimento:
I – Linguagens: 
a) Língua Portuguesa;
b) Língua Materna, para populações indígenas; 
c) Língua Estrangeira moderna; 
d) Arte; e 
e) Educação Física;
II – Matemática; 
III – Ciências da Natureza; 
IV – Ciências Humanas: 
a) História; 
b) Geografia;
V – Ensino Religioso.
Como em outros documentos, a Resolução n. 7/2010 (BRASIL, 2010b), expõe que o
currículo do Ensino Fundamental com nove anos exige um Projeto Político
Pedagógico e intenciona uma gestão democrática e participativa como garantia do
direito à educação. Prega também uma integração dos conhecimentos escolares no
currículo para favorecer sua contextualização e aproximar o processo educativo das
experiências dos alunos. 
Importante ressaltar que conforme o art. 30 da referida Resolução (BRASIL, 2010b),
os três anos iniciais do Ensino Fundamental devem assegurar o acesso à
alfabetização e ao letramento; o desenvolvimento das diversas formas de expressão
e a continuidade da aprendizagem. A avaliação, conforme o art. 32 (BRASIL, 2010b),
deve assumir um caráter processual, formativo e participativo, e deve ser contínua,
cumulativa e diagnóstica. 
1.1.3 Base Nacional Comum Curricular – BNCC
A Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2018, p. 30) é o documento mais
recente dos que vimos até o momento. É possível notar que se trata de um:
[...] documento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo de
aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas
e modalidades da Educação Básica, de modo a que tenham assegurados seus direitos
de aprendizagem e desenvolvimento, em conformidade com o que preceitua o Plano
Nacional de Educação - PNE. 
Nesse sentido, a BNCC (BNCC, 2018), de caráter normativo, estabelece em seu teor
algumas competências para os componentes curriculares bem como para os anos
escolares e que devem ser abordados nas escolas de Educação Básica brasileira. 
Nos PCN (BRASIL, 1997b) a estrutura do ensino de matemática é organizada em
blocos de conteúdo, sendo eles:Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas
e Medidas e Tratamento da Informação. Já no BNCC (BNCC, 2018), o termo utilizado
é o de Unidades Temáticas que são: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e
Medidas e Probabilidade e Estatística. Interessante ressaltar que para cada unidade
temática há um objeto de conhecimento bem como habilidades esperadas na
construção do conhecimento.  
Assim como o BNCC (BRASIL, 2018), os PCN (BRASIL, 1997a; 1997b) e as Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos (BRASIL, 2010a;
2010b) são documentos de leitura obrigatória para todos aqueles que ingressam na
carreira docente ou que trabalhem na área da Educação. Tal leitura torna-se
importante para compreender as questões legais que regem a educação brasileira
bem como para verificar outras possibilidades no intuito de colaborar com ações
pedagógicas evidenciadas no espaço escolar. 
1.2 Técnicas e tecnologia no trabalho
com as operações aritméticas nos anos
iniciais do Ensino Fundamental
As operações aritméticas nos anos iniciais no Ensino Fundamental, geralmente, são
validadas por meio das quatro operações elementares, ou seja, adição, subtração,
multiplicação e divisão. Com essas operações há um campo de estudo denominado
Teoria Antropológica do Didático (TAD), proposto por Yves Chevallard (1998), o qual
tem a intenção de aprofundar a discussão frente ao objeto de conhecimento, nesse
caso, a matemática.
Dentro desse campo, nesse tópico o objetivo é estabelecer uma distinção entre
técnica e tecnologia na sistematização das aulas de matemática, compreender a
implicação do problema didático da sistematização e destacar as opções
metodológicas sugeridas pela proposta de Yves Chevallard.
1.2.1 O problema didático da sistematização
O conteúdo que estudamos nos espaços escolares, seja na educação básica, seja na
educação superior, é resultado de experiências seculares que tinham o objetivo de
oferecer respostas a questionamentos necessários para a vida humana. Em outras
palavras, o ser humano enquanto ser histórico e social sempre buscou ferramentas
para sobrevivência própria, bem como para seus entes. A matemática, por exemplo,
é um dos campos científicos mais antigos da humanidade, uma vez que seu uso
atravessa gerações e distintos grupos sociais. É possível citar dois grupos
epistemológicos para entender como a matemática agia em períodos anteriores:
Empiristas e Racionalistas.
Esses dois grupos tiveram grande influência no que compete à produção do
conhecimento bem como no próprio campo da matemática. Os Empiristas
defendiam que a essência do conhecimento tem sua origem fora do indivíduo e que
o mesmo vai interiorizando por meio dos sentidos, uma experiência sensorial. Já o
segundo, os Racionalistas, não negando o primeiro, defendiam a ideia que a razão é
mais poderosa que a experiência sensorial. 
Meneghetti e Bicudo (2003, p. 2) afirmam que o primeiro “[...] buscou fundamentar o
saber Matemático, exclusivamente, na intuição ou experiência” enquanto o segundo
“buscou fundamentar o saber Matemático, inteiramente, na razão”.  Do lado do
Empirismo é possível destacar Isaac Newton (1643-1727); John Locke (1621-1704);
George Berkeley (1685-1753) e David Hume (1711-1776). Já do lado do Racionalismo
se destacaram René Descartes (1596-1650); Gottfried Wilhelm Von  Leibniz (1646-
1716) e Immanuel Kant (1724-1804).
Nota-se então que o cenário da matemática não gira apenas no quesito cálculo.
Muito mais que isso, usava-se a matemática como uma possibilidade de se pensar o
mundo e sobre o mundo, produzindo questionamentos e resoluções para as mais
variadas questões. Logo, a experiência e a razão começam a fazer parte da produção
matemática bem como sobre os artefatos que são produzidos por meio do
aprofundamento teórico que o ser humano consegue alcançar.
Assim, essa linguagem universal começa a se expandir pelo mundo e trabalhos em
prol de uma sistematização escolar ganha força. A matemática qual temos hoje no
currículo escolar brasileiro e em outros sistemas escolares se deve a vários
pensadores e pensadoras que buscaram realizar uma sistematização de um vasto
conhecimento para alguns fragmentos, a fim de pudessem ser estudados nos
espaços escolares. Essas fragmentações não apagaram a extensão da matemática
com a natureza e a possibilidade da mesma ser trabalhada com outras temáticas.
Esse tratamento dado do campo científico para o campo escolar ocorre geralmente
pelo currículo escolar, ou seja, uma sistematização do que vai ser estudado e do que
não será. A partir disso, cabe ao docente, por meio dos conteúdos escolhidos,
aplicá-los em sala bem como produzir por meio desses conteúdos novos
conhecimentos e novas habilidades que colaborem para a compreensão e
aprofundamento dos temas nos mais variados componentes curriculares.
Partindo dessa compreensão inicial, cabe destacar alguns entendimentos que serão
abordados por meio da teoria de Yves Chevallard e, principalmente, de autores e
autoras que a corroboram. Chevallard (1998) apresenta uma teoria chamada Teoria
Antropológica do Didático (TAD), a qual propõe analisar uma das questões principais
no trabalho docente: como preparar suas aulas, organizar um objeto de estudo
(matemático), colocar em prática e fazê-lo funcionar em sala de aula.
De acordo com Chevallard (1998, p. 92), sua teorização da TAD deve “[...] ser
encarada como um desenvolvimento e uma articulação das noções cuja elaboração
visa permitir pensar de maneira unificada um grande número de fenômenos
didáticos, que surgem no final de múltiplas análises”. 
Yves Chevallard, nascido na França em 1946 é um escritor, matemático, investigador da transposição
didática. É professor na Universidade IUFM de Aix-Marseille, em Marsella, França. Desde 1971, publica
artigos e textos em diferentes revistas científicas colaborando para a produção científica no campo da
didática, principalmente para a área de matemática.
Dentro do campo da matemática há uma área denominada Educação Matemática.
Essa área busca entre outras coisas problematizar o ensino da matemática vigente
no Brasil bem com propor ideias que possam colaborar com a prática pedagógica do
professor de matemática e também para os docentes dos anos iniciais, conhecido
também como professor polivalente.  A teoria de Chevallard pode ser enquadrada
nessa área.
Conforme Bitttar, Freitas e Pais (2013, p. 16), “[...] as práticas de sistematização de
estruturas matemáticas no contexto escolar incluem a utilização de certos registros
de linguagem pertinentes à dimensão educativa do saber escolar”. Os autores ainda
comentam que trabalhar com uma sistematização, ou seja, com fragmentos de um
determinado conhecimento científico transposto para o conhecimento acadêmico
(saber a ser ensinado), o discente desenvolve elementos por meio de uma
linguagem objetiva.
Não se trata, então, de pensar exclusivamente sobre essa fragmentação, mas sim
por meio dela constituir outras formas de aprendizagem. Logo, não é interessante
pensar na sistematização escolar como algo isolado ou até mesmo reduzido apenas
para o contexto do saber matemático.
Nesse cenário, dois termos podem ser pensados para a sistematização das aulas de
matemática: técnica e tecnologia. Sobre essa questão, Chevallard, Bosch e Gascón
(2001, p. 125) salientam que “[...] a existência de uma técnica supõe também a
existência subjacente de um discurso interpretativo e justificativo da técnica e de
seu âmbito de aplicabilidade e validade”. Chamaremos a esse discurso sobre a
técnica de uma tecnologia (de tékhne, e logos, discurso). 
VOCÊ O CONHECE?
O livro “A matemática em sala de aula: reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental”
(2013), organizado por Kátia Stocco Smole, é composto por capítulos oriundos de pesquisas acadêmicas
dos melhores pesquisadores da educação matemática do Brasil. É possível destacar um capítulo,
intitulado “Técnicas e Tecnologias no trabalho com as operações aritméticas nos anos iniciais do ensino
fundamental”, escritopor Marilena Bittar, José Luiz M. de Freitas e Luiz Carlos Pais. Esta é uma boa leitura
para compreender a teoria de Chevallard por meio dos livros didáticos. 
Trabalhar com essas duas temáticas, técnicas e tecnologias requer do docente
opções metodológicas, ou seja, “[...] iniciar o estudo de um tema matemático com a
sistematização ou com uma atividade pontual pode indicar sinais de uma opção
metodológica (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 17). Isso quer dizer que a prática
pedagógica de qualquer docente está embasada em uma ou mais concepções
epistemológicas. São essas epistemologias que direcionam o modo como o docente
trata o conteúdo sistematizado, como concede o modelo de ensinar, como verifica a
aprendizagem, entre outros.
Em outras palavras trata-se da forma como o(a) professor(a) ensina e verifica o
aprendizados dos estudantes. Frente a esse tema da opção metodológica e das
técnicas e tecnologias.  Silva e Valente (2013, p. 13) destacam muito bem essa
questão ao dizerem que a 
Aritmética, na sua forma escolar, sofreu transformações. Essas mudanças ao longo do
tempo, se forem apropriadas, sabidas pelo professor que ensina matemática, por
certo, trarão contribuições para a formação do professor no sentido de evocar
rupturas no modo como esse docente compreende a matemática nos anos iniciais.
Quando pensamos sobre a técnica, segundo Bitttar, Freitas e Pais (2013, p. 17): 
[...] essa tendência se reúnem as práticas que colocam em primeiro plano o ensino das
propriedades, teoremas, demonstrações, modelos, entre outros aspectos teóricos do
saber matemático. A análise dessas orientações metodológicas não envolve apenas
uma questão sequencial ou de ordem na apresentação das atividades matemáticas.  
VOCÊ QUER LER?
Já sobre a tecnologia, “[...] entendemos que se o enfoque principal atribuído pelo
professor, na condução das atividades escolares, estiver mais voltado para a
construção das justificativas ou das explicações referentes aos procedimentos
matemáticos, trata-se de uma prática tecnológica” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013,
p.17).
Podemos resumir da seguinte forma: qualquer conceito precisa de tarefas a ser
cumpridas, as técnicas são as formas como as tarefas são cumpridas, em outras
palavras, são as formas de fazer. Já a tecnologia são os discursos que justificam,
explicam e validam as técnicas. A essa organização podemos chamar de organização
praxeológica ou praxeologia.
De uma forma mais teórica, para que a praxeologia exista, Chevallard (1998)
comenta que deve existir a necessidade de ser realizado certo tipo de tarefa (T). Seus
modos de fazer são chamados de técnica (t) e a associação entre tarefa-técnica (T-t)
define um saber fazer próprio para esse tipo de tarefa. A tarefa-técnica (T-t) não age
isoladamente e nem se sustenta por si só, ou seja, a dupla (T-t) necessita de algo
para constituir-se e, para isso, necessita de um amparo tecnológico teórico (ou
saber), formado por uma tecnologia ( ) e apresentar sustentação à técnica (t)
aplicada. Deste modo, a teoria ( ) irá justificar e esclarecer a tecnologia ( ).
Bittar, Freitas e Pais (2013) dialogam a partir dessa teoria para discutir as quatro
operações básicas e que se apresentam mais intensas nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. Esse momento escolar, do 1º ao 5º ano, é a base para o seguimento
dos estudos não apenas em matemática, mas em outras disciplinas.
Quando o assunto se refere às quatro operações básicas, a saber, adição, subtração,
multiplicação e divisão, muito já foi produzindo sobre essa temática dentro do
campo da educação matemática. Há, nos documentos oficiais, como nos PCN e na
BNCC, uma ênfase a essa temática e lá se apontam também distintas maneiras e
concepções para se trabalhar em sala de aula. 
Uma palavra-chave que prevalece nos estudos que buscam compreender sobre
aquisição do conhecimento é a palavra objeto. Vamos pensar em um exemplo. O
número 6 pode ser representado por situações diferentes: 
.  
Perceba que cada uma dessas representações oferece o mesmo resultado, ou seja, o
número 6. Temos uma representação de uma fração, soma e multiplicação. Embora
o resultado seja o mesmo, cada um tem um sentido distinto. A expressão 
representa uma fração, enquanto que a expressão representa uma soma.
Ambas as expressões, embora tenham como resultado o objeto “6”, os sentidos que
apresentam são diferentes.  
VOCÊ SABIA?
De acordo com a teoria piagetiana, as crianças pequenas constroem um universo dentro de si
mesmas e, por isso, passam a inventar o conhecimento lógico-matemático. Isso significa afirmar que
este conhecimento é construído por cada criança a partir de dentro de si mesma através de sua
interação dialética com o meio ambiente que por si só é expandido quando incentivado.
Conforme Panizza (2006, p. 22), “[...] desde as primeiras aprendizagens as crianças
utilizam diversas representações de um mesmo objeto para fazer operações
numéricas e o reconhecem (pelo menos implicitamente) em cada uma delas”.
Corroborando com isso, Duval (2012) salienta que é importante o uso de diversos
sistemas de representação quando se trabalha com a aprendizagem matemática.
Esse entendimento parte da ideia de que há, como vimos, várias representações
para um mesmo objeto.
Ao se tratar da adição, por exemplo, normalmente a posição adotada para trabalhar
com esse tema é por meio da apresentação de regras e algoritmos, muitas vezes sem
uma articulação com o contexto social, privando, então, os discentes, de
compreensões efetivas sobre o real valor da adição. Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 20)
salientam que não é aconselhado, nos anos iniciais de escolarização, “[...] enfatizar
os algoritmos e as propriedades das operações em detrimento da compreensão do
sentido destas”. Ainda conforme os autores, “[...] isso não significa, no entanto, que
as técnicas e os algoritmos devam estar ausentes da escola, mas simplesmente não
devem ocupar lugar central, ou totalitário, na aprendizagem das operações
aritméticas” (BITTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 20).
Vamos aos dois exemplos a seguir:
O exemplo acima, também podendo ser chamado de tarefa, na teoria de Chevallard,
representa as operações aritméticas. Por outro lado, as técnicas são as formas de
resolver as questões. As técnicas ou “jeitos de fazer”, possuem graus de escolhas e
também de indeterminação. Isso pode acontecer mesmo que, aparentemente, as
definições matemáticas pareçam estar claras e precisas. Assim, outras técnicas,
outros jeitos de fazer, podem ser utilizados para que a tarefa seja válida no processo
de construção de conhecimento.
Para Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 26):
Experiências mostram que o uso de material variado contribui para a aquisição dos
conceitos, portanto, todos os materiais disponíveis podem ser usados pelo professor,
começando desde tampas de garrafas e pedrinhas, passando pelo material dourado e
chegando ao quadro valor de lugar construído com materiais cotidianos (sapateira) e
ao ábaco. 
Logo, a tarefa adição exige técnicas ou jeitos de fazer. Perceba que sempre existe
mais que uma maneira de se trabalhar com um tema na matemática,
principalmente, nos anos iniciais, uma vez que o lúdico nesse nível pode ser
ricamente explorado de forma pedagógica e assim contribuir com a construção do
pensamento matemático. 
Figura 2 - Representação de técnicas para operações aritméticas. Fonte: BITTTAR, FREITAS e PAIS, 2013, p.
22.
A prática tecnológica age, então, como uma possibilidade de construir justificativas
ou explicações referentes aos procedimentos matemáticos, ou seja, é um momento
no qual os(as) professores(as) podem tornar o ensino da matemática investigativo,
produzindo um processo dialógico-didático no intuito de apresentar a matemáticas
por vários jeitos, tanto pelo cálculo quanto por objetos manipuláveis.
Convém ressaltar que isso será possível quando os estudantes perceberem e
compreenderem as nuanças do sistema de numeração decimal, pois sem esse
entendimento nenhuma metodologia dará resultados satisfatóriosse não tiver sido
apreendido (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013).
Figura 3 - Ábaco é uma excelente ferramenta para o ensino de matemática. Fonte: Shutterstock, 2018.
1.3 Sobre a técnica, a tecnologia e as
quatro operações
A praxeologia de Chevallard (1998) existe por meio das tarefas (T), seus modos de
fazer, suas técnicas (t) e a articulação entre tarefa-técnica (T-t), que define um saber
fazer próprio para esse tipo de tarefa. Sabe-se que não agem isoladamente e nem se
sustentam por si só. A técnica e a tecnologia constituem dois elementos importantes
para compreender as quatro operações nos anos iniciais.
Dessa forma, a proposta desse tópico é entender o estudo das diferentes
organizações contidas em livros didáticos com base teórica do conceito de
praxeologia de Chevallard (1998) e também perceber a articulação entre a técnica e
a tecnologia para a compreensão dos números e dos conceitos das operações
aritméticas.
1.3.1 Articulação entre a técnica e a tecnologia para a
compreensão dos números e dos conceitos das operações
aritméticas
Vimos no tópico anterior que a praxeologia, conceito de Chevallard (1998), para
existir deve possuir algumas tarefas (T) a serem realizadas. Há também a
necessidade de modos de fazer, ou seja, a técnica (t). Então, a associação entre
tarefa-técnica (T-t) definirá um saber-fazer próprio para esse tipo de tarefa.
Sabendo que a tarefa-técnica (T-t) não age isoladamente e por si só não se sustenta,
há, então, a necessidade de algo para constituir-se e, para isso, pode ser chamada de
um amparo tecnológico teórico (ou saber), constituído por uma tecnologia ( ) e uma
sustentação à técnica (t) aplicada. Logo, a teoria ( ) irá justificar e esclarecer a
tecnologia ( ).
Quando Chevallard (1998) apresenta sua Teoria Antropológica do Didático (TAD), ele
expõe que todo saber está ligado a uma instituição, ou seja, o saber não existe no
vácuo, isolado.  Conforme esse autor, instituição pode ser entendida como um
dispositivo social o qual confere às pessoas que ocupam uma determinada posição,
modos de fazer e de pensar próprios (CHEVALLARD, 1992). Indo nessa compreensão,
o livro didático pode ser considerado uma instituição, tanto para alunos quanto para
professores(as) que o utilizam.
O livro didático (LD) muitas vezes constitui o objeto principal dos docentes em suas
práticas escolares. Para os discentes é uma ferramenta de compreensão sobre um
determinado objeto bem como serve para assessorar atividades desenvolvidas no
contexto da escolarização. É claro que o LD não é a única e nem pode ser a última
ferramenta para o ensino e aprendizagem de um determinado componente
curricular, principalmente para o contexto da matemática.
Neste sentido, outras possibilidades devem fazer parte do rol dos docentes no
intuito de favorecer a construção do conhecimento. Mas, por ser um item presente
no contexto escolar, entregue sempre ao início do um novo ano letivo aos
estudantes e com ele e por ele várias atividades são realizadas em sala de aula, cabe
então refletir mais sobre esse material e pensar como o LD está estruturado
epistemologicamente, principalmente, sobre qual estrutura teórica ele é
apresentado.
Figura 4 - Livro didático faz parte da cultura e da memória visual de muitas gerações. Fonte: Shutterstock,
2018.
Os livros didáticos empregados por estudantes e docentes da educação básica são,
na maioria, aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), programa
que analisa e distribui livros didáticos para as escolas públicas.  De tal modo, os
livros que as escolas adotam e compram devem estar presentes no Guia de Livro
Didático do PNLD.
Conforme Bittar (2017, p. 03), “[...] uma análise de LD descortina ao pesquisador
diversas paisagens que podem ir desde o estudo da cultura escolar em uma dada
época à identificação de possíveis razões de dificuldades de aprendizagem e à
elaboração de sequências didáticas”.  Voltando à questão da instituição, cada uma
tem um conjunto de condições e restrições que devem ser respeitadas para que
certo saber possa existir nesta instituição.
Utilizando o exemplo de Bittar (2017), o conceito de “área”, por exemplo, está
presente em todos os níveis escolares da educação básica e até mesmo em vários
cursos superiores. Acontece que estudar “área” nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, não será o mesmo que estudar este mesmo tema nos anos finais do
Ensino Fundamental. Enquanto que nos anos iniciais o tema pode ser explorado por
ideia de pavimentação, nos anos finais, por outro lado, apresenta-se mais formal,
alinhado com a apresentação de fórmulas. É possível notar, então, que para cada
instituição é preciso haver adaptações do tema considerando as habilidades que
envolvam o desenvolvimento cognitivo dos discentes. Logo, as tarefas podem ser
articuladas por meio de diferentes técnicas.
O professor Saddo Ag Almouloud (2015, p. 4) contribui para essa discussão quando
salienta que:
[...] para uma determinada tarefa, geralmente, existe uma técnica ou um número
limitado de técnicas reconhecidas na instituição que problematizou essa tarefa,
embora possam existir técnicas alternativas em outras instituições. A maioria das
tarefas institucionais torna-se rotineira quando deixa de apresentar problemas em sua
realização. Isso quer dizer que para produzir técnicas é preciso que se tenha uma
tarefa efetivamente problemática que estimule o desenvolvimento de pelo menos,
uma técnica para responder às questões colocadas pela tarefa. As técnicas assim
produzidas são então organizadas para que funcionem regularmente na instituição.
Assim, a análise de dados por meio de livros didáticos possibilita entre outras coisas
verificar as transformações históricas que permeiam o campo educacional e
proporciona verificar as transformações adaptativas frente ao saber constituído.
Para Almouloud (2015, p. 9), baseado na Teoria Antropológica do Didático (TAD), a
implementação dessa abordagem para analisar livros didáticos é organizada
frequentemente como segue:
– Identificação dos tipos de tarefas: analisam-se as atividades propostas nas diferentes
partes do capítulo. Exemplos e atividades do curso (apresentado sob a forma de
desafios ou exercícios resolvidos) permitem identificar os tipos de tarefas importantes
para a instituição.
– Identificação de técnicas: após a identificação dos tipos de tarefas, procede-se à
caracterização das técnicas que permitem cumprir essas tarefas apoiando-se nos
exercícios resolvidos e/ou na análise matemática das situações propostas;
– Identificação de tecnologias: construímos a tecnologia a partir da análise dos
comentários dos autores, do curso e eventualmente da análise do livro do professor
ou de análise matemática de situações propostas para consolidação da aprendizagem.
A análise dos LD abordados por essa teoria, geralmente, estuda uma questão
específica sobre um determinado tema do qual seja interesse do professor
pesquisador. No trabalho de Bitttar, Freitas e Pais (2013), por exemplo, os autores
buscam aprofundar a discussão de técnica e tecnologia frente às quatro operações
básicas nos anos iniciais do Ensino Fundamental em períodos distintos no cenário
escolar brasileiro. De acordo com esses autores, “[...] no trabalho com o ensino e a
aprendizagem de números e operações, o grande desafio seria encontrar um
equilíbrio adequado entre fazer contas e justificar ou compreender minimamente os
procedimentos utilizados” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, p. 19). Nesse caso é
compreender que os estudantes que chegam à escola já possuem conhecimentos
prévios, uma vez que em sua vida social já trabalhavam, mesmo que
inconscientemente, com essas operações ao dividirem brinquedos, ao brincarem, ao
conversarem, entre outras atividades.
Há então uma necessidade de vincular o contexto social antes da escolarização com
o novo momento, que é a entrada na escola. A entrada na escola inclui na vida das
crianças novas ações, como horário a ser seguido, regras a serem cumpridas,
relações com outros sujeitos, relação como(s) docente(s), conhecimento de um
universo amplo, que é o caso das disciplinas, e, muitas vezes, é quando a criança
estabelece o seu primeiro contato com os livros didáticos, e é o LD livro que o
acompanhará sua vida escolar até o fim da educação básica.
Por isso, muitos(as) autores(as) se debruçam sobre essa modalidade de pesquisa e
por meio desses estudos é possível inferir que várias técnicas operatórias
desaparecem e vão se tornando obsoletas motivadas pelo surgimento de
instrumentos e técnicas de cálculo mais eficientes e práticos, diante de
instrumentos eletrônicos e também pela renovação de correntes epistemológicas,
como a teorista, a tecnicista, a modernista e a construtivista.
Na plataforma Youtube há um canal chamado Educação Matemática, mantido pelo Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática, da Universidade Bandeirante de São Paulo (UNIBAN), e lá é possível
encontrar diversos vídeos interessantes relacionados ao campo da matemática. Um dos vídeos é
oferecido pelo Prof. Dr. Gérald Vergnaud, no qual o autor fala sobre o estudo das estruturas aditivas. Vale
a pena conferir. O vídeo está disponível em: <https://goo.gl/MTaYLp (https://goo.gl/MTaYLp)>. 
Importante ressaltar que o uso das quatro operações pode ser articulado com várias
técnicas, ou seja, com jeitos de fazer e o uso dos algoritmos é um desses jeitos,
porém não deve ser o único. Segundo Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 124):
[...] embora os algoritmos sejam um tipo muito particular de técnica, é importante não
confundir ambas as noções. Somente em ocasiões excepcionais uma técnica
matemática pode chegar a ser sistematizada a tal ponto que sua aplicação esteja
totalmente determinada e possa, portanto, ser considerada um algoritmo.
A adição é considerada a principal das operações básicas e as outras se
operacionalizam por meio dela, estabelecendo um diálogo maior com a subtração,
tanto é que existe uma teoria denominada campo conceitual aditivo, de Vergnaud
(1990). Nesse sentido, as duas devem ser abordadas de forma coerente e conectada
segundo os princípios escolares.
Bitttar, Freitas e Pais (2013) esboçam que trabalhar com essas operações exige uma
compreensão do valor posicional dos algarismos.  Normalmente, nos livros
didáticos, a adição é apresentada no primeiro momento sem reagrupamento e, em
um segundo momento, a adição com reagrupamento. O trabalho com adição de
VOCÊ QUER VER?
https://goo.gl/MTaYLp
números com duas ou mais ordens exige, muitas vezes, a retomada do valor
posicional sobre as unidades, dezenas, centenas e assim por diante. Dentro da TAD
existe um conceito denominado objetos ostensivos, que é o caso, por exemplo, do
material dourado e do ábaco de pinos.
De acordo com Bosch e Chevallard (1999, p.10):
Nós falaremos de objeto ostensivo [...] para nos referirmos a todo objeto tendo uma
natureza sensível, uma certa materialidade, e que, por isso, adquire para o ser humano
uma realidade perceptível. Esse é o caso de um objeto material qualquer e,
notadamente, e de objetos materiais particulares que são os sons [...], os grafismos [...]
e os gestos.
O trabalho com os materiais manipuláveis não pode ser apresentado
descontextualizado da temática estudada, pois se isso ocorrer os objetos ostensivos
não cumprirão seu objetivo, ou seja, facilitar a compreensão sobre os objetos não
ostensivos, que conforme Bosch e Chevallard (1999, p. 10):
[...] são então todos os “objetos” que, como as ideias, as intuições ou os conceitos,
existem institucionalmente – no sentido em que lhe atribuímos uma existência – sem,
entretanto, poderem ser vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por si
mesmos: eles só podem ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de
certos objetos ostensivos associados (uma palavra, uma frase, um grafismo, uma escrita,
um gesto ou um longo discurso).
Desta forma, podemos compreender objetos não ostensivos como conceitos,
teoremas, propriedades, modelos entre outros. 
1.4 Adição e a conexão com a Subtração
O campo conceitual e dentro dele o campo conceitual aditivo de Vergnaud (1990)
nos ajuda a repensarmos os conceitos que envolvem as operações da adição e da
subtração, principalmente no contexto dos anos iniciais do Ensino Fundamental,
primeiro acesso aos conhecimentos sistematizados e oferecidos na educação
escolar. 
Assim, por meio do campo aditivo é possível estabelecer uma análise dos conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais e propiciar vivências de situações-
problemas das operações de adição e subtração a partir da decomposição de um
número em unidades, dezenas, centenas e assim por diante. Para isso, compreender
o sistema de numeração decimal é válido para a efetivação de operações futuras,
tornando-as parte da construção de aprendizagem. 
1.4.1 Operações da adição e da subtração segundo o campo
conceitual aditivo proposto por Vergnaud
As quatro operações básicas foram estudadas por Vergnaud (1990) a partir do
desenvolvimento cognitivo ao desenvolver a Teoria dos Campos Conceituais. Gérard
Vergnaud, enquanto discípulo de Jean Piaget, trabalha especialmente sobre os
conteúdos e o contexto escolar e sua proposta consiste em analisar a formação e o
funcionamento dos conhecimentos. Vergnaud retoma, da teoria de Piaget, o
conceito de esquema como “[...] uma organização invariante da atividade para uma
classe de situações dadas” (VERGNAUD, 2009, p. 21). Ainda de acordo com o autor, a
teoria dos campos conceituais “[...] é uma teoria cognitivista que visa a fornecer um
quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da
aprendizagem de competências complexas, notadamente das que relevam das
ciências e das técnicas” (VERGNAUD, 1990, p. 133). Seguindo por meio dessa
prerrogativa é possível compreender que o conhecimento se constitui e se
desenvolve com o tempo por meio de interações entre o sujeito e suas experiências.
O conhecimento então se desenvolve a partir do universo no qual o sujeito interage
e o desencadeamento de novas situações cognitivas parte de suportes formados
anteriormente em outros momentos. Assim, 
[...] o estudo do funcionamento cognitivo não pode, portanto, descartar questões
relativas ao desenvolvimento cognitivo. A teoria cognitiva proposta por Vergnaud
contempla esse problema, buscando compor, em um mesmo foco de análise,
desenvolvimento e funcionamento cognitivo. (FRANCHI, 2010, p. 192).
Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como referência o conteúdo
do conhecimento e é por meio de situações e problemas para se resolver que um
conceito adquire sentido para o aprendiz. Moreira (2002, p. 1) escreve que Vergnaud
reconhece a importância da teoria de Piaget, “[...] destacando as idéias de
adaptação, desequilibração e reequilibração como pedras angulares para a
investigação em didática das Ciências e da Matemática.” Ainda de acordo com esse
autor, um ganho importantíssimo estudado por Piaget foi o conceito de esquema.
Moreira (2002, p. 02) resume da seguinte forma:
[...] a teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista neopiagetiana que
pretende oferecer um referencial mais frutífero do que o piagetiano ao estudo do
desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem de competências complexas,
particularmente aquelas implicadas nas ciências e na técnica, levando em conta os
próprios conteúdos do conhecimento e a análise conceitual de seu domínio [...] os
conceitos-chave da teoria dos campos conceituais são, além do próprio conceito de
campo conceitual, os conceitos de esquema (a grande herança piagetiana de
Vergnaud), situação, invariante operatório (teorema-em-ação ou conceito-em-ação), e
a sua concepção de conceito.
Um campo conceitual, no caso, o campo conceitual das estruturas aditivas, para ser
entendido é necessário determinar o que é “conceito” partindo da Teoria dos
Campos Conceituais. Para isso existir é preciso considerar três conjuntos:
S  – conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
 Figura 5 - Adição e
subtração compõem o campoaditivo proposto por Vergnaud (1990). Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
I   – conjunto de invariantes operatórios (objetos, propriedades e relações) que
estruturam as formas de organização da atividade (esquemas) suscetíveis de serem
evocados por essas situações;
R – conjunto das representações linguísticas e simbólicas (linguagem natural, gráficos
e diagramas, sentenças formais, etc.) [...] que permitem representar os conceitos e
suas relações, e, consequentemente, as situações e os esquemas que elas evocam
(VERGNAUD, 2009, p. 29).
Para Vergnaud (2009), um conceito consiste na terna desses três conjuntos (S, I, R).
Assim, o conceito de adição, por exemplo, não pode ser resumido a certa definição
do que é a operação de adição. Logo, é oportuno que o processo de ensino esteja
preocupado com as situações relacionadas, de algum modo, aos conceitos acima
destacados.
Um campo conceitual é, em primeiro lugar, um conjunto de situações. Para esse
autor, “[...] o conhecimento está organizado em campos conceituais, e o domínio,
por parte do discente, ocorre ao longo de um largo período de tempo, através de
experiência, maturidade e aprendizagem” (VERGNAUD, 2009, p. 40).
Nos PCN, a conexão do ensino entre adição e subtração baseia-se “[...] no fato de
que elas compõem uma mesma família, ou seja, [que] há estreitas conexões entre
situações aditivas e subtrativas” (BRASIL, 1997b, p. 21). Os PCN (BRASIL, 1997)
apontam ainda que é possível notar que a aplicação de processos aditivos ou
subtrativos sejam aplicados em uma única situação-problema.
Contudo, nem sempre esse trato foi dado a essa temática, segundo Nunes et al.
(2009, p. 37):
Quanto às operações, o trabalho era apoiado nas técnicas operatórias e na simples
memorização de resultados. O conceito de operação e suas propriedades não eram
enfatizados. Por exemplo, a ideia de adição é ensinada de modo independente da
ideia de subtração, embora a proposta indique ser vantajoso memorizar as adições e
as subtrações ao mesmo tempo.
Em grande parte, os problemas numéricos eram apresentados nos livros didáticos
exclusivamente no final das unidades, com o intuito de expô-los para a prática da
aplicação das técnicas operatórias e sem a preocupação de justificá-las. Logo,
conforme Nunes et al. (2009), a técnica operatória tinha a função de ser apresentada
como objeto de estudo e não como instrumento simbólico de resolução possível de
ser empregado em distintas situações.
Ainda segundo Nunes et al. (2009), foi em meados da década de 1970, no cenário
escolar brasileiro, que houve um olhar voltado para as ideias envolvidas nos
conceitos e propriedades das operações. A teoria de Jean Piaget colabora com essas
preocupações sobre o que deve ser ensinado e como esse ensino pode colaborar
com habilidades cognitivas e construção do conhecimento.
Já na década de 1980, novos olhares foram lançados frente ao ensino e à
aprendizagem dos diversos conceitos e um deles foi sobre as operações
matemáticas, que passaram então a constituir espaços de discussões nos espaços
acadêmicos bem como nos documentos públicos brasileiros.
VOCÊ SABIA?
Se dois números de dois algarismos têm iguais os algarismos das dezenas e se os algarismos das
unidades somam 10, pode-se calcular seu produto instantaneamente. Pense  na multiplicação de
77.73. Você pode responder prontamente que o resultado é 5.621.  O “truque” é: multiplicar o
algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos serão, nessa ordem, os
algarismos dos milhares e das centenas  da resposta. Acrescenta-se à direita de 56 o produto dos
algarismos das unidades, 7 x 3 ou 21, obtendo-se 5.621 (MULLIGAN, 2004).
É possível destacar que o conceito de número para crianças não é algo tão
organizado quanto se pensa, principalmente para as que recém entraram na escola.
Nesse momento, diversos processos mentais estão em trabalhado em suas mentes
e, por isso, é válido entendermos que a inteligência, por ser um processo complexo,
exige mais do que repetição e técnicas de como fazer. Ela exige, certamente, a
compreensão sobre o objeto estudado, o que Piaget (1971) afirma em seus estudos.
Partindo desse entendimento, é importante ressaltar sobre os conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais. Para isso vamos relembrar sobre as
noções iniciais de número e sobre unidades, dezenas, centenas e assim por diante.
A ordem e a quantidade indicada por um algarismo dependem da posição que ele
ocupa no número, por exemplo, podemos ter distintos números formados com os
algarismos 1, 2, 3, 4, entre eles o 1234, 4312, 1324, 1423, 2341, entre outras
possibilidades. Essa ordem no contexto da matemática é numerada da direita para a
esquerda, conforme o quadro a seguir:
Deve ser obedecido o princípio de que 10 unidades formam uma unidade de ordem
superior e de que todo algarismo à esquerda representa uma unidade de ordem
superior (10 vezes maior). Por exemplo, no número 356 temos o 6 sendo unidade, o
5 sendo dezena e o 3 sendo centena, podendo ser representado da seguinte forma:
300 + 50 + 6. Lembrando que a cada 10 unidades forma-se uma dezena e que a cada
10 dezenas forma-se uma centena. Assim segue a lógica na classe dos milhares,
milhões, bilhões, trilhões e as outras classes. O quadro anterior apresenta até a 5ª
classe, mas é importante salientar que como os números são infinitos,
consequentemente, é possível ter infinitas classes.
A questão da ordem é importante para as separações das classes, por exemplo, no
número 7777.  Da direita para esquerda, o algarismo 7, nesse exemplo, representa:
7 unidades;
7 dezenas;
7 centenas;
7 unidades de milhar.
Kamii e Joseph (1992) defendem a necessidade de que a criança, antes de operar
com adição, subtração, multiplicação e divisão, tenha uma real compreensão acerca
do sistema de numeração decimal, pois sem essa compreensão as operações serão
Quadro 2 - Classes das unidades. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
meras técnicas de repetição gerando, nesses casos, vários problemas com a
matemática e até mesmo com outras áreas que se utilizam desta disciplina em sua
construção de aprendizagem.
Nesse sentido, enquanto futuros docentes do ensino de matemática para o público
infantil é necessário entender a importância em expor que todo número natural tem
um sucessor (o que vem imediatamente depois) e que todo número natural (exceto
o 0) tem um antecessor (que vem antes). Também é importante salientar que dois
ou mais números naturais são consecutivos quando cada um deles é sucessor do
anterior.
Exemplo: O sucessor de 8 é 9.
O sucessor de 0 é 1.
O antecessor de 8 é 7.
O antecessor de 6 é 5.
Os algarismos 70, 71 e 72 são consecutivos.
A adição não precisa e não pode estar desconectada com as outras operações
elementares. Nesse sentido, Kamii e Joseph (1992) colaboram com essa discussão
quando alertam que a decomposição de um número em unidades, dezenas e
centenas é muito útil para calcular o resultado de uma adição.
Lembre-se que existem diversas maneiras de calcular com as operações
elementares e com a subtração não diferente. Todavia, a forma utilizada deve ser
exposta sempre no intuito de indicar o que está sendo feito e como está sendo feito,
atribuindo significado às operações.
Para crianças que recém ingressaram na escola, por exemplo, é indicado o uso de
materiais concretos, como o “Material Dourado”, a fim de que possam construir
lógicas nas operações utilizando, principalmente, as unidades, as dezenas e as
centenas. O material concreto, além de ser importante para a ludicidade, traz
objetos manipulativos pelos quais as crianças têm uma noção real do que realmente
estão fazendo com as “continhas” em seus cadernos. Lembre-se de que adicionar e
subtrair é muito mais do que “juntar” e “retirar”.
CASO
Figura 6 - Base numérica para o sistema de numeração decimal. Fonte: Raywoo, Shuttrstock, 2018.
Isabel é uma professora que leciona para uma turma do terceiro ano do Ensino Fundamental. Isabel
participou de um curso de extensão oferecido por professoresde uma universidade em sua cidade e
um dos objetivos do curso tinha a intenção de expor distintas práticas pedagógicas em sala de aula
por meio da abordagem de algumas teorias do conhecimento, principalmente, a Teoria
Antropológica do Didático (TAD), proposta por Yves Chevallard.
Essa professora, durante sua graduação, já tinha mostrado interesse por assuntos dessa temática e
agora, por meio desse curso, decidiu ler mais sobre o tema. Ela pôde constatar que por meio desse
campo ela poderia analisar seu livro didático com outros olhares e com outras perspectivas.
Neste sentido, após um estudo sistemático, que compunha uma das etapas do curso de extensão,
Isabel foi percebendo como os conceitos de técnica e tecnologia se faziam presentes no contexto do
livro didático e, ainda, percebeu também que o livro havia sido constituído por uma ênfase no
construtivismo. Foi então que ela compreendeu que sua prática pedagógica alinhava-se com essa
corrente epistemológica.
Essa docente, então, por meio do curso e das discussões realizadas com outros colegas de profissão
e com os professores formadores percebeu que poderia caminhar por outros caminhos em sua
prática enquanto docente, sempre no intuito de produzir um ensino reflexivo, dialógico e capaz de
colaborar com o ensino de matemática. 
Sobre a subtração, o algoritmo mais conhecido para se efetuar a subtração é aquele
em que são feitas trocas. Conforme Bitttar; Freitas; Pais (2013), “a expressão
‘empresta um’, usada por muitos professores, é inadequada, pois quando efetuamos
a operação não há empréstimos e sim decomposição de dezenas em unidades,
centenas em dezenas e assim por diante”. Os autores fornecem duas formas de
efetuar uma subtração:
Veja a seguinte subtração: 425 – 116.
A primeira possibilidade é efetuar a subtração retirando por partes. Retira-se 100 de
425 e temos 325 como resultado. Seguindo, tira-se 10 e 315 é o resultado.
Finalmente devemos retirar 6 unidades, depois é preciso trocar a dezena por dez
unidades, no número 315, e então retiramos as 6 unidades e ficamos com 309:
Na segunda possibilidade, efetuamos a subtração acrescentando partes. Para isso,
partimos do 116 até chegarmos a 425:
Perceba que o ensino das operações não precisa ser apenas de subtração ou adição.
As duas operações se complementam bem como, se alinhadas, podem melhor ser
abordadas para o ensino de matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Síntese
Concluímos este capítulo relativo ao conhecimento de alguns documentos legais
que agem sobre a educação brasileira e também vimos sobre as operações básicas e
como elas podem ser pensadas por meio das teorias dos campos aditivos de Gérard
Vergnaud e da Teoria Antropológica do Didático, de Yves Chevallard. 
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
compreender que os PCN apresentaram uma proposta inovadora para a
educação brasileira, dialogando no contexto da matemática com a
resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da
informação e jogo;
perceber que os PCN (1997b), em sua estrutura de conteúdo, é organizado
em blocos de conteúdo, sendo eles: Números e Operações, Espaço e
Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação;
entender a sistematização de conteúdo como uma fragmentação de um
conhecimento produzido historicamente;
identificar que as técnicas intuem outros jeitos de fazer e ensinar
matemática;
aprender que o campo conceitual aditivo envolve a adição e a subtração e
que ambas as operações devem caminhas juntas;
verificar que o BNCC (BRASIL, 2018) é um documento atual que estabelece
regras a serem cumpridas pelas escolas em âmbito nacional e que esse
documento contém informações interessantes sobre o trabalho com
matemática.
Bibliografia
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materiais didáticos. Revista Iberoamericana de Educação Matemática, n. 42, p. 9-
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BOSCH, M., CHEVALLARD, Y. La sensibilité de l’activité mathématique aux ostensifs.
Objet d’étude et problématique. Recherche en Didactique des Mathématiques, n.
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