Duti Correa - Aula 3 - TRIÂNGULO RETÂNGULO

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Profº @HERIC.CORREA
Triângulo Retângulo
e outros teoremas
FAKE NEWS!
Teorema de Pitágoras (?)
O teorema NÃO é de pitágoras
Mesopotâmia: Os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de 
Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e 
estudados, estando hoje em vários museus
China: O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência 
da existência do teoema 600 anos antes do período pitagórico.
A indícios históricos que o teorema já fora descoberto também pelos egípcios e Indianos. 
a
c
b
A
C
B
• a é a hipotenusa
• b e c são os catetos
TEOREMA
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
a
a
b c
b
c
c
b
𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 4 ∙
𝑏 ∙ 𝑐
2
𝑏2 + 2𝑏𝑐 + 𝑐2 = 𝑎2 + 2𝑏𝑐
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2
bc
RELAÇÕES MÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Outras Relações Importantes:
a
b c
nm
H
Por Pitágoras
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑏2 = 𝑚2 +𝐻2
𝑐2 = 𝑛2 +𝐻2
Por semelhança
𝑏2 = 𝑎.𝑚
𝑐2 = 𝑎. 𝑛
𝐻2 = 𝑚. 𝑛
𝑎.𝐻 = 𝑚. 𝑛
Que tal ouvirmos uma boa música?
Exemplo
a
4 3
nm
H
𝑎2 = 32 + 42
𝑎 = 5
𝑐2 = 𝑛. 𝑎
32 = 𝑛. 5
𝑚 = 1,8
𝑏2 = 𝑚. 𝑎
42 = 𝑚. 5
𝑛 = 3,2
ℎ2 = 𝑛.𝑚
ℎ2 = 1,8.3,2
ℎ = 2,4
𝑎. ℎ = 𝑏. 𝑐
5. ℎ = 3.4
ℎ = 2,4
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c 𝛽
𝛼
d
e
f
𝛼
i h
𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑑
=
𝑖
𝑔
= 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
Relação Notação Definição
Seno Sen (ângulo) 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Cosseno Cos (ângulo) 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Tangente Tan (ângulo) 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
Seno:
Cosseno:
Tangente:
𝐶𝑂
𝐻𝐼𝑃
𝐶𝐴
𝐻𝐼𝑃
𝐶𝑂
𝐶𝐴
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
SOHCAHTOA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
SOHCAHTOA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
SOHCAHTOA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
SOHCAHTOA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
𝛽
𝛼
a
b
c
a B
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑏
𝑎
sen 𝛽 =
𝑐
𝑎
cos 𝛼 =
𝑐
𝑎 cos 𝛽 =
𝑏
𝑎
tan 𝛼 =
𝑏
𝑐
tan 𝛽 =
𝑐
𝑏
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓℓ
ℓ
ℎ
ℓ
2
ℓ
2
ℓ2 = ℎ2 +
ℓ
2
2
ℓ2 −
ℓ2
4
= ℎ2
ℎ =
ℓ√3
2
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓℓ
ℓ
2
ℓ
2
ℓ√3
2
𝑠𝑒𝑛 30º =
ℓ
2
ℓ
=
ℓ
2
∙
1
ℓ
=
1
2
𝑐𝑜𝑠 60º =
ℓ
2
ℓ
=
1
2
𝑠𝑒𝑛 30º = cos(60º)
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓℓ
ℓ
2
ℓ
2
ℓ√3
2
𝑠𝑒𝑛 60º =
ℓ√3
2
ℓ
=
ℓ√3
2
∙
1
ℓ
=
√3
2
𝑐𝑜𝑠 30º =
ℓ√3
2
ℓ
𝑠𝑒𝑛 60º = cos(30º)
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓℓ
ℓ
2
ℓ
2
ℓ√3
2
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓ
ℓ
2
ℓ√3
2
Ângulos Importantes (30º e 60º)
ℓ
ℓ
2
ℓ√3
2
𝑥
2 ∙ 𝑥
3 ∙ 𝑥
Exemplo
7
Ângulos Importantes (45º)
ℓ
ℓ
𝑠𝑒𝑛 45º =
ℓ
ℓ 2
=
1
2
=
2
2
𝑐𝑜𝑠 45º =
ℓ
ℓ 2
=
1
2
=
2
2
Ângulos sempre são complementares
𝛽
𝛼
𝛼 + 𝛽 = 90º
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = cos 𝛽
Ex: 𝑠𝑒𝑛(30º) = cos 60º
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen 1
2
2
2
3
2
Cos 3
2
2
2
1
2
Tan 3
3
1 √3
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Tabela de ângulos notáveis
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tan
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir
de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no
mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo possível ver o mesmo
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
CAIU NO ENEM (2011)
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 
30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco 
havia percorrido a distância AB = 2 000 m.
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a 
menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m b) 1 000 3 c) 2 000 
3
3
d) 2 000 e) 2000 3
DESAFIO
Na ilustração abaixo temos dois retângulos
congruentes com bases medindo 12 cm e 5
cm. Qual o inteiro mais próximo da distância,
em centímetros, do ponto A até a horizontal.
Use 3 = 1,73
DESAFIO
Na ilustração abaixo temos dois retângulos
congruentes com bases medindo 12 cm e 5
cm. Qual o inteiro mais próximo da distância,
em centímetros, do ponto A até a horizontal.
Use 3 = 1,73
@heric.correa
Continua nos
próximos episódios…