CÁLCULO_DIFERENCIAL_E_INTEGRAL_I_-_U1

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Disciplina:
Cálculo Diferencial e Integral I
Tutor externo:
Dionatan Miguel
Unidade 1: Limites e Continuidade
Esta unidade está dividida em quatro tópicos:
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❖ Tópico 3 – Continuidade de funções
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Poderíamos perguntar:
“O que acontece com a função, 
quando x assume valores 
próximos do zero?”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Se aproximando pela direita, ou seja, números 
um pouco maiores que zero, e cada vez mais 
próximos, podemos notar que a função se 
aproxima do número 1.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Se aproximando pela esquerda, ou seja, 
números um pouco menores que zero, e cada 
vez mais próximos, podemos notar que a 
função também se aproxima do número 1.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limites
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
cuja representação gráfica é:
Assim, concluímos que quando x tende para 0 pela 
direita e pela esquerda, a função f(x) tende para 1. 
Representamos a situação da seguinte forma:
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1
“Limite da função f com x tendendo a 0 é 1”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Definição: Considere uma função 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ → ℝ e 𝑎 um ponto de
acumulação de 𝑋. Dizemos que o limite de uma função 𝑓 quando 𝑥 tende
para 𝑎 é 𝐿 se para todo 𝜀 > 0 existe um número real 𝛿 > 0 tal que se 𝑥 ∈ 𝑋
e 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. E o limite de uma função 𝑓 quando 𝑥
tende de 𝑎 é 𝐿 é denotado da seguinte forma
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿. “Que o limite 
quando existente 
é único”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 +𝑀
O limite da soma ou subtração de duas funções, é igual 
a soma ou subtração do limite individual de cada função.
Exemplo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 + 5𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
5𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿
O limite de uma função multiplicada por uma constante, é igual 
ao limite da função multiplicada pela constante.
Exemplo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
5𝑥 = 5 ∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀
O limite da multiplicação de duas funções, é igual 
a multiplicação do limite individual de cada função.
Exemplo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 ∙ cos 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 ∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
cos 𝑥
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
O limite da divisão de duas funções, é igual
a divisão do limite individual de cada função.
Exemplo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑒𝑥
2
𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑒𝑥
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
❑ TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA
Teorema: Considere uma função 𝑓, 𝑔 e ℎ definidas num intervalo aberto 𝐼
contendo 𝑎, tal que
𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥
para todo 𝑥 ∈ 𝐼 (exceto talvez em 𝑎). Se
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)
então
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Agora a pergunta é:
“Como resolvemos o limite de uma função?”
De uma maneira direta, poderíamos aplicar a definição, porém, além de ser 
extenso, há situações muito complexas.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Testar o Ponto 
do Limite na 
Função
Solução
Impossibilidade 
Exemplo 5/0
Limites Laterais
Indeterminação 
Exemplo 0/0
Manipulações 
Matemáticas
Aplicação dos 
Limites 
Fundamentais
Em primeiro momento, tentamos substituir o valor do limite na 
função para encontrar a resposta.
Uma das três situação irá acontecer
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Testar o Ponto 
do Limite na 
Função
Solução
Impossibilidade 
Exemplo 5/0
Limites Laterais
Indeterminação 
Exemplo 0/0
Manipulações 
Matemáticas
Aplicação dos 
Limites 
Fundamentais
Ou encontramos a solução, ou uma impossibilidade, ou uma 
indeterminação.
Em limites, a indeterminação é 
um situação em que a solução 
não é clara no momento da 
simples substituição, porém, 
pode existir uma solução.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Testar o Ponto 
do Limite na 
Função
Solução
Impossibilidade 
Exemplo 5/0
Limites Laterais
Indeterminação 
Exemplo 0/0
Manipulações 
Matemáticas
Aplicação dos 
Limites 
Fundamentais
Ou encontramos a solução, ou uma impossibilidade, ou uma 
indeterminação.
Para o caso da impossibilidade ou indeterminação, segue a 
orientação do que devemos fazer
Segue os sete casos de 
indeterminações:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Testar o Ponto 
do Limite na 
Função
Solução
Impossibilidade 
Exemplo 5/0
Limites Laterais
Indeterminação 
Exemplo 0/0
Manipulações 
Matemáticas
Aplicação dos 
Limites 
Fundamentais
Limites laterais, manipulações 
matemáticas e limites 
fundamentas, serão abordadas 
no próximo tópico.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 + 4𝑥
Resolução:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 + 4𝑥 = 22 + 4 ∙ 2 = 4 + 8 = 12
Logo, o limite da função para 𝑥 tendendo a 2 é 12.
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❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2𝑥 − 4
Resolução:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2𝑥 − 4 = 2 ∙ −1 − 4 = −2 − 4 = −6
Logo, o limite da função para 𝑥 tendendo a −1 é −6.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2𝑥 − 2
1 − 𝑥
Resolução:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2𝑥 − 2
1 − 𝑥
=
2 ∙ 1 − 2
1 − 1
=
0
0
Logo, uma indeterminação. 
(veremos posteriormente como resolver).
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2 − 2
𝑥 − 1
Resolução:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2 − 2
𝑥 − 1
=
12 − 2
1 − 1
=
−1
0
Logo, uma impossibilidade matemática.
(veremos posteriormente como resolver).
Unidade 1: Limite e Continuidadede uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
❑ INDETERMINAÇÃO
Até agora, calculamos limites do quociente entre duas funções aplicando o 
ponto do limite diretamente. 
Mas existem situações em que você encontre situação do tipo:
0
0
𝑜𝑢
∞
∞
Neste caso, o que fazer? 
Neste tópico é visto artifícios algébricos de como sair destas 
indeterminações.
Ao todo são sete os símbolos de indeterminação
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
❑ INDETERMINAÇÃO
Quando tratamos de polinômios, um bom artifício é a fatoração. Veja um 
exemplo:
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏
Aplicação
𝑥2 − 9 = 𝑥2 − 32 = 𝑥 − 3 𝑥 + 3
Uma importante estratégia é utilizar da decomposição de um polinômio, 
pelo método de Briot-Ruffini, já que uma das raízes do polinômio é 
conhecida na indeterminação do tipo 0/0.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 1 – Conceito e propriedade de limite
❑ INDETERMINAÇÃO
Situações que envolvam raízes, há um artifício de multiplicar o numerador e 
denominador pelo conjugado da parte que contém a raiz.
Exemplo:
𝑥 − 4
seu conjugado será
𝑥 + 4
Isso possibilita modificar a estrutura da função, possibilitando eliminar a 
indeterminação.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❑ LIMITES LATERAIS
Ao considerarmos o cálculo do 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , estamos interessados no 
comportamento da função nos valores próximos de 𝑎. 
Vimos no tópico anterior que para calcular o limite é preciso analisar o 
comportamento da função por valores menores do que 𝑎 e por valores 
maiores do que 𝑎, isto é, nos valores de 𝑥 pertencentes a um intervalo aberto 
contendo 𝑎, porém diferentes de 𝑎. 
Ainda, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que 𝑎.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❑ LIMITES LATERAIS
O intuito deste tema, é estudar o 
comportamento da função pela 
esquerda (um pouco menor 
denotado por 𝑎−) e pela direita (um 
pouco maior denotado por 𝑎+) no 
ponto em questão.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❑ LIMITES NO INFINITO
São limites em o ponto de análise é o infinito.
Em geral, o símbolo (infinito) ∞ não representa nenhum número real e não 
pode ser empregado na aritmética na maneira usual.
Por isso, precisamos definir um teorema para nos dar suporte, podendo 
assim, resolver alguns casos de limites.
Teorema 6 Se 𝑛 é um número natural positivo, então:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1
𝑥𝑛
= 0
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
1
𝑥𝑛
= 0
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❑ LIMITES INFINITOS
São limites em que o resultado é o infinito, ou seja, o comportamento da 
função nas proximidades de um ponto, tenda ao infinito.
Isso acontece normalmente, nos pontos de descontinuidade das funções, 
onde a função não está definida.
A estratégia é utilizar dos limites laterais para a resolução.
Teorema 7 Se 𝑛 é um número natural, então:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
1
𝑥𝑛
= ቊ
+∞ se 𝑛 é par
−∞ se 𝑛 é impar
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖ Tópico 2 – Análise de limites de funções
❑ LIMITES FUNDAMENTAIS
São teoremas que facilitam o cálculo de alguns casos particulares de limites.
Proposição 8: Primeiro limite fundamental do cálculo
lim
𝑛→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
Proposição 9: Segundo limite fundamental
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑥
= 𝑒
Proposição 10: Se 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, então:
lim
𝑛→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= ln 𝑎
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Intuitivamente, gostaríamos de dizer que uma função definida num intervalo 
é contínua quando seu gráfico é constituído por um traço, isto é, quando seu 
gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel. 
Essa ideia intuitiva, apesar de não ser precisa, poderá ser útil em muitas 
situações.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Definição: Dizemos que uma função é dita contínua no ponto p se as três 
condições a seguir forem satisfeitas:
i) ∃ 𝑓 𝑝
ii) lim
𝑥→𝑝−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑝+
𝑓 𝑥
iii) lim
𝑥→𝑝
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑝
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo:
Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para 𝑥 = 1.
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥, se 𝑥 < 1
𝑥2 + 2𝑥 − 1, se 𝑥 = 1
2𝑥 , se 𝑥 > 1
Primeiro item 
i) ∃ 𝑓 1
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1
𝑓 1 = 12 + 2 ∙ 1 − 1
𝑓 1 = 2
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo:
Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para 𝑥 = 1.
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥, se 𝑥 < 1
𝑥2 + 2𝑥 − 1, se 𝑥 = 1
2𝑥 , se 𝑥 > 1
ii) lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1−
2𝑥 = 2
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
2𝑥 = 2
Sendo assim, lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥
O que implica lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Exemplo:
Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para 𝑥 = 1.
𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥, se 𝑥 < 1
𝑥2 + 2𝑥 − 1, se 𝑥 = 1
2𝑥 , se 𝑥 > 1
iii) lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 𝑓 1
Como
𝑓 1 = 2 e lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2
Logo, a função é contínua em 𝑥 = 1.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Teorema: (TVI) Se uma função 𝑓 é contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], com
𝑓 𝑎 ≠ 𝑓 𝑏 , então para todo 𝑘 entre 𝑓 𝑎 e 𝑓 𝑏 , existe pelo menos
um 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Geometricamente, o Teorema do 
Valor Intermediário diz que 
qualquer reta horizontal y = k 
interceptando o eixo y entre os 
números f(a) e f(b) interceptara a 
curva y = f(x) pelo menos uma vez 
no intervalo [a,b].
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
❖Tópico 3 – Continuidade de funções
❑ BOLZANO OU TEOREMA DO ANULAMENTO
Teorema: Se uma função 𝑓 é
contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], com
𝑓 𝑎 e 𝑓 𝑏 de sinais contrários,
então existirá pelo menos um, 𝑐 ∈
(𝑎, 𝑏), tal que 𝑓(𝑐) = 0.
Bons estudos!
“