Limites - Stewart V1 - Exercícios Resolvidos

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1 
 
 
 
RESULTADOS IMPORTANTES: 
REGRAS DE FATORAÇÃO: 
Se 'x e ''x são as raízes da equação ( )( )2 20 ' ''ax bx c ax bx c a x x x x+ + =  + + = − − . 
( )( )2 2a b a b a b− = + − . 
( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + . 
( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + 
REGRAS DE RACIONALIZAÇÃO: 
( ) ( ) 2a b a b a b+ − = − . 
( )( )a b a b a b+ − = − . 
( ) ( ) 2a b a b a b+ − = − . 
 
11-32. Calcule o limite, se existir: 
11. 
2
2
6
lim
2x
x x
x→
+ −
− 
SOLUÇÃO: 
Como 2x = anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 2 para 
determinar o limite. 
As raízes da equação 2 6 0x x+ − = são ' 3x = − e '' 2x = então temos: 
( )( )2 6 3 2x x x x+ − = + − 
Portanto: 
( )( )
( )
2
2 2 2
3 26
lim lim lim 3 2 3 5
2 2x x x
x xx x
x
x x→ → →
+ −+ −
= = + = + =
− −
 
12. 
2
24
5 4
lim
3 4x
x x
x x→−
+ +
+ − 
SOLUÇÃO: 
Como 4x = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 4− 
para determinar o limite. 
As raízes da equação 2 5 4 0x x+ + = são ' 1x = − e '' 4x = − então temos: 
( )( )2 5 4 1 4x x x x+ + = + + 
2 
 
As raízes da equação 2 3 4 0x x+ − = são ' 1x = e '' 4x = − então pelo resultado acima 
temos: 
( )( )2 3 4 1 4x x x x+ − = − + 
Portanto: 
( )( )
( )( )
( )
( )
2
24 4 4
1 4 15 4 4 1 3 3
lim lim lim
3 4 1 4 1 4 1 5 5x x x
x x xx x
x x x x x→− →− →−
+ + ++ + − + −
= = = = =
+ − − + − − − −
 
13. 
2
2
6
lim
2x
x x
x→
− +
−
 
SOLUÇÃO: 
Como 2x = anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 2 para 
determinar o limite. 
As raízes da equação 2 6 0x x− + = não reais, então, não podemos fatorar o polinômio 
2 6x x− + . 
Quando o 2x −→ , o numerador é positivo, mas o denominador é negativo e próximo de 
zero, então 
2
2
6
lim
2x
x x
x→
− +
= −
−
 
Quando o 2x +→ , o numerador é positivo e o denominador também é positivo e 
próximo de zero, então 
2
2
6
lim
2x
x x
x→
− +
= 
−
 
Portanto: 
2
2
6
lim
2x
x x
x→
− +
−
não existe. 
Vejamos o gráfico da função 
2 6
( )
2
x x
f x
x
− +
=
−
 
 
A reta : 2r x = é uma assíntota vertical da função. 
14. 
2
21
4
lim
3 4x
x x
x x→−
−
− −
 
SOLUÇÃO: 
Como 1x = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 1− 
para determinar o limite. 
As raízes da equação 2 3 4 0x x− − = são ' 1x = − e '' 4x = então temos: 
( )( )2 3 4 1 4x x x x− − = + − 
Fatorando-se também o numerador temos que: 
3 
 
( )
( )( ) ( )
2
21 1 1
44
lim lim lim
3 4 1 4 1x x x
x xx x x
x x x x x→− →− →−
−−
= =
− − + − +
 
Quando o 1x −→− , o numerador é negativo, e o denominador também é negativo e 
próximo de zero, então 
( )2
lim
1x
x
x→
= 
+
 
Quando o 1x +→− , o numerador é negativo e o denominador é positivo e próximo de 
zero, então 
( )2
lim
1x
x
x→
= −
+
 
Portanto: 
( )2
lim
1x
x
x→ +
não existe e, consequentemente, 
2
21
4
lim
3 4x
x x
x x→−
−
− −
 também não existe. 
Vejamos o gráfico da função 
( )
( )
1
x
f x
x
=
+
. 
 
A reta : 1r x = − é uma assíntota vertical da função. 
15. 
2
23
9
lim
2 7 3x
t
t t→−
−
+ +
 
SOLUÇÃO: 
Como 3t = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir t por 3− para 
determinar o limite. 
As raízes da equação 22 7 3 0t t+ + = são ' 3t = − e 
1
''
2
t = − então temos: 
( )2
1
2 7 3 2 3
2
t t t t
 
+ + = + + 
 
 
Fatorando-se também o denominador: 
( )( )
( )
( )2
23 3 3
3 3 39 3 3 6 6
lim lim lim
1 1 12 7 3 6 1 5
2 3 2 2 3
2 2 2
x x x
t t tt
t t
t t t
→− →− →−
+ − −− − − −
= = = = =
+ + − +     
+ + + − +     
     
 
 
 
4 
 
16. 
2
21
2 3 1
lim
2 3x
x x
x x→−
+ +
− −
 
SOLUÇÃO: 
Como 1x = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 1− 
para determinar o limite. 
As raízes da equação 22 3 1 0x x+ + = são ' 1x = − e 
1
''
2
x = − então temos: 
( )2
1
2 3 1 2 1
2
x x x x
 
+ + = + + 
 
 
As raízes da equação 2 2 3 0x x− − = são ' 1x = − e '' 3x = então pelo resultado acima 
temos: 
( )( )2 2 3 1 3x x x x− − = + − 
Portanto: 
( )
( )( ) ( )
2
21 1 1
1 1 1
2 1 2 2 1
2 3 1 2 1 12 2 2
lim lim lim
2 3 1 3 3 1 3 4 4x x x
x x x
x x
x x x x x→− →− →−
     
+ + + − +     + + − +     
= = = = =
− − + − − − − −
 
17. 
( )
0
5 25
lim
h
h
h→
− + −
 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
5
0 0 0 0
5 5 5 55 25 10
lim lim lim lim 10 10
h h h h
h hh h h
h
h h h→ → → →
− + + − + −   − + − − +   
= = = − + = − 
18. 
( )
3
0
2 8
lim
h
h
h→
+ −
 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3
0 0 0
3
2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 4 2 2 82 8
lim lim lim
2 8
lim lim 4 4 2 8 lim 6 12 12
h h h
h h h
h h h h h hh
h h h
h
h h h h h
h
→ → →
→ → →
   + − + + + + + + + + −      
= =
+ −
= + + + + = + + =
 
19. 
32
2
lim
8x
x
x→−
+
+
 
SOLUÇÃO: 
( )( )3 222 2 2
2 2 1 1 1
lim lim lim
8 2 4 4 4 4 122 2 4x x x
x x
x x xx x x→− →− →−
+ +
= = = =
+ − + + ++ − +
 
20. 
4
31
1
lim
1t
t
t→
−
−
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
2 2 2 24
3 2 2 21 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 4
lim lim lim lim
1 1 1 1 31 1 1 1 1t t t t
t t t t t t tt
t t t t t t t t t→ → → →
− + − + + + + + +−
= = = = =
− + +− + + − + + + +
 
21. 
0
9 3
lim
h
h
h→
+ −
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )
( )( )
( )0 0 0
9 3 9 3 9 9 9 99 3
lim lim lim
9 3 9 3h h h
h h h hh
h h h h h→ → →
+ − + + + − + ++ −
= =
+ + + +
 
5 
 
( )
( )
( )
( )0 0 0
18 189 3 18
lim lim lim 3
69 3 9 3h h h
h h hh
h h h h→ → →
+ ++ −
= = = =
+ + + +
 
22. 
2
4 1 3
lim
2u
u
u→
+ −
−
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
4 1 3 4 1 3 4 1 9 4 1 94 1 3
lim lim lim
2 2 4 1 3 2 4 1 3
4 8 4 10 4 2 4 10 4 4 104 1 3
lim lim lim lim
2 2 4 1 3 2 4 1 3 4 1 3
4 8 104 1 3 4 18
lim 12
2 69 3
u u u
u u u u
u
u u u uu
u u u u u
u u u u uu
u u u u u u
u
u
→ → →
→ → → →
→
+ − + + + − + ++ −
= = =
− − + + − + +
− + − + ++ −
= = =
− − + + − + + + +
++ − 
= = =
− +
 
23. 
4
1 1
4lim
4x
x
x→−
+
+
 
SOLUÇÃO: 
Como 4x = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 4− 
para determinar o limite. 
 
4 4 4 4
1 1 4
4 1 1 14 4lim lim lim lim
4 4 4 4 4 16x x x x
x
xx x
x x x x x→− →− →− →−
+
+
+
= = = = −
+ + +
 
24. 
2
41
2 1
lim
1x
x x
x→−
+ +
−
 
SOLUÇÃO: 
Como 1x = − anula o denominador não podemos simplesmente substituir x por 1− 
para determinar o limite. 
As raízes da equação 2 2 1 0x x+ + = são ' '' 1x x= = − e então pelo resultado acima 
temos: 
( )
22 2 1 1x x x+ + = + 
Fatorando-se também o denominador: 
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2 22
4 2 2 21 1 1
2
4 21 1
1 12 1
lim lim lim
1 1 1 1 1 1
2 1 1 0
lim lim 0
1 2 21 1
x x x
x x
x xx x
x x x x x x
x x x
x x x
→− →− →−
→− →−
+ ++ +
= =
− − + − + +
+ + +
= = =
− −− +
 
25. 
0
1 1
lim
t
t t
t→
+ − −
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1 11 1
lim lim lim
1 1 1 1
1 1 2 2 2
lim lim lim 1
21 11 1
t t t
t t t
t t t t t tt t
t t t t t t t
t t t
t t tt t t
→ → →
→ → →
+ − − + + − + − −+ − −
= =
+ + − + + −
+ − −
= = = =
+ + −+ + −
 
6 
 
26. 
20
1 1
lim
t t t t→
 
− 
+ 
 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )20 0 0 0
20 0
1 1 1 1 1 1
lim lim lim lim
1 1 1
1 1 1
lim lim 1
1
t t t t
t t
t t
t t t t t t t t t t
t t t t
→ → → →
→ →
     + − 
− = − = =            + + + +       
   
− = =   
+ +   
 
27. 
216
4
lim
16x
x
x x→
−
−
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
216 16 16
216 16
4 4 164
lim lim lim
16 16 4 16 4
4 1 1 1
lim lim
16 16 8 1284
x x x
x x
x x xx
x x x x x x x x
x
x x x x
→ → →
→ →
− + −−
= =
− − + − +
−
= = =
− +
 
28. 
( )
1 1
0
3 3
lim
h
h
h
− −
→
+ −
 
SOLUÇÃO: 
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
0 0 0 0
1 1
0 0 0
3 31 1
3 3 3 3 333 3lim lim lim lim
3 3 1 1 1
lim lim lim
3 3 3 3 9
h h h h
h h h
h h
h h hh
h h h h
h h
h h h h
− −
→ → → →
− −
→ → →
− +
−+ − + ++= = =
   + −
=  = =      + +   
 
29. 
0
1 1
lim
1t tt t→
 
− 
+ 
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1 11 1
lim lim lim
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim
21 1 1 1 1 1 1
t t t
t t t
t t t
tt t t t t t t t
t
tt t t t t t t
→ → →
→ → →
   − + + + − +     − = =     + + + + + + + 
   
   
− −     − = = = −     + + + + + + + 
   
 
30. 
2
4
9 5
lim
4x
x
x→−
+ −
+
 
SOLUÇÃO: 
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 22
4 4 42 2
2 2
4 4 42 2
9 5 9 5 9 259 5
lim lim lim
4 4 9 5 4 9 5
4 49 5 16
lim lim lim
4 4 9 5 4 9 5
x x x
x x x
x x xx
x x x x x
x xx x
x x x x x
→− →− →−
→− →− →−
+ − + + + −+ −
= =
+ + + + + + +
+ −+ − −
= =
+ + + + + + +
 
7 
 
( )
( )
2
4 4 2
49 5 4 4 8 4
lim lim
4 10 525 59 5
x x
xx
x x
→− →−
−+ − − −
= = = − = −
+ ++ +
 
31. 
( )
3 3
0
lim
h
x h x
h→
+ −
 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
2 22 23 3
0 0 0
3 3
2 2 2
0 0
lim lim lim
lim lim 3
h h h
h h
x h x x h x x h x h x h x x h xx h x
h h h
x h x
x h x x h x x
h
→ → →
→ →
+ − + + + + + + + ++ −
= =
+ −
= + + + + =
 
32. 
( )
2 2
0
1 1
lim
h
xx h
h→
−
+
 
SOLUÇÃO: 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 22 2 2
0 0 0
2 2
2 2 4 32 20 0 0
2 21 1
lim lim lim
1 1
2 21 2 2
lim lim lim
h h h
h h h
x x xh h h x h
xx h x x h x x h
h h h
xx h h x h x h x
h h x xx x h x x h
→ → →
→ → →
− + + − +
−
+ + +
= =
−
   + − + − +
=  = = − = −   
   + +   
 
35. Use o Teorema do Confronto para mostrar que ( )2
0
lim cos 20 0
x
x x
→
= . Ilustre, fazendo os 
gráficos das funções 2( )f x x= − , 2( ) cos20g x x x= e 2( )h x x= na mesma tela. 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
0 0 0
1 cos 20 1 cos 20
lim lim 0 lim cos 20 0
x x x
x x x x x
x x x x
 

→ → →
−    −  
= − =  =
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
36. Use o Teorema do Confronto para mostrar que 3 2
0
lim 0
x
x x sen
x

→
 
+ = 
 
. Ilustre, fazendo 
os gráficos das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto) na mesma tela. 
SOLUÇÃO: 
( ) ( )
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
0 0 0
1 1
lim lim 0 lim 0
x x x
sen x x x x sen x x
x x
x x x x x x sen
x
 

→ → →
−    − +  +  +
− + = + =  + =