Diagrama de Bode

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
Unidade Leopoldina 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
 
 
 
 
FILTRO DIGITAL MÉDIA MÓVEL 
 DIAGRAMA DE BODE 
CTR04 – Laboratório de Controle Automático II 
 
 
 
FELIPE MOURA RIBEIRO 
JULIANA DA SILVA LEITE 
MARCELLA DUQUE CARVALHO ANDRADE 
 
 
Professor Accacio Ferreira dos Santos 
 
 
 
Leopoldina, MG, Brasil 
Junho de 2022 
1 
1 Introdução Teórica 
Neste trabalho serão contempladas duas práticas ministradas na disciplina de Laboratório de 
Controle II (CTR04) do curso de Engenharia de Controle e Automação. A primeira prática trata-se 
do uso de filtros de média móvel com a finalidade de minimizar os efeitos de ruídos gerados durante 
o controle da planta e na segunda prática será abordado o diagrama de Bode tal como sua 
funcionalidade e como esboçar com o auxílio do software Matlab. 
Filtro média móvel é um filtro de dados que é empregado para reduzir os efeitos de distúrbios 
através de filtragem de dados. O funcionamento deste tipo de filtro baseia-se na média dos dados 
obtidos eliminando o dado mais antigo e adicionando um novo dado como é mostrado na fórmula e 
no diagrama da Figura 1 a seguir. 
 
 
Figura 1 – Filtro média móvel 
 
Nota-se que o diagrama acima é recursivo o que permite o uso desta técnica para filtragem de 
dados em programas com iterações como será abordado por este trabalho. 
Os Diagramas de Bode é um diagrama desenvolvido por Hendrik Wade Bode em meados de 
1930. São gráficos do ganho (módulo) em função da frequência e da fase do ganho em função da 
frequência de um circuito e é feito através da função transferência G(jω). A Figura 2 mostra um 
exemplo de diagramas de Bode que contemplam a fase e o módulo em uma escala logarítmica de um 
sistema [1]. 
2 
 
Figura 2 – Diagrama de Bode 
 
2 Filtro Digital Média Móvel 
2.1 Metodologia 
A prática foi realizada com o mesmo sistema de controle de nível aplicado nas práticas 
anteriores, constituído por sensor ultrassônico, fonte 12V, um arduíno UNO, um tanque cilíndrico, 
um tanque cúbico, mangueira, dreno e bomba d’água. 
Utilizou-se o software Arduino IDE para programação do controlador com base no código 
aplicado nas práticas anteriores, implementando o filtro média móvel para medição de 3, 5 e 10 
amostras, em que os valores medidos eram “armazenados” para cálculo da média em cada varredura 
de leitura, como mostra o fragmento do código na Figura 3. 
3 
 
Figura 3 – Algoritmo 
 
2.2 Resultados 
Os resultados obtidos com a utilização do filtro média móvel são apresentados na Figura 4. 
Em azul ciano verifica-se que o sistema sem filtro apresenta muitos ruídos e que no período de 60s 
não estava totalmente estável. Com a aplicação do filtro média móvel quanto maior o número de 
amostras, menos ruidoso era o sinal de saída. Como resultado o incremento do nível de água é lento 
e possui maior estabilidade. Esse comportamento é justificado pela redução do erro a partir da 
“memória dos dados” no cálculo da média da leitura obtida pelo sensor. 
Com o auxílio da ferramenta “Ident” obteve-se o modelo do sistema com o filtro média móvel 
de 3, 5 e 10 amostras considerando 3 pólos reais sem amortecimento, ilustrados nas Figura 5, Figura 
6 e Figura 7 e com as respectivas funções de transferência abaixo. 
𝐺(𝑠) =
98,03
2,17e05𝑠3 + 2,48e05𝑠2 + 7,089e04𝑠 + 1
 [M3] 
𝐺(𝑠) =
1,53
78,91𝑠3 + 97,34𝑠2 + 18,84𝑠 + 1
 [M5] 
𝐺(𝑠) =
14,31
525,7𝑠3 + 458,6𝑠2 + 102,3𝑠 + 1
 [M10] 
4 
 
Figura 4 – Resultados da planta com e sem filtro 
 
O sistema com filtro média móvel de 3 amostras apresentou “best fits” de 89,79. 
 
Figura 5 – Sistema filtro com 3 amostras 
 
Já o sistema com filtro de 5 amostras teve “best fits” de 87,65. 
5 
 
Figura 6 – Sistema filtro com 5 amostras 
 
Por fim, o sistema com filtro de 10 amostras alcançou “best fits” de 95,12. 
 
Figura 7 – Sistema filtro com 10 amostras 
 
A identificação do sistema correspondeu à expectativa de melhor desempenho com o filtro 
média móvel de 10 amostras. Com a aplicação do filtro de 3 e 5 amostras não houve diferença 
expressiva nos resultados, o que pode justificar “best fits” ligeiramente superior ao modelo de 3 
amostras. 
 
6 
3 Diagrama de Bode 
3.1 Metodologia 
Na prática 5 foi realizado o esboço dos Diagramas de Bode dos modelos do sistema físico 
obtidos anteriormente na prática 4. Utilizando a estimação da função “Ident” para cada um dos 
sistemas, obteve-se a função de transferência para aplicação da função “bode” e geração dos 
diagramas de resposta em frequência. 
3.2 Resultados 
Os diagramas de bode para cada um dos sistemas são apresentados a seguir. 
 
Figura 8 – Bode sistema com filtro 3 amostras (M3) 
 
7 
 
Figura 9 – Bode sistema com filtro 5 amostras (M5) 
 
 
Figura 10 – Bode sistema com filtro 10 amostras (M10) 
 
Foram inseridas marcações no diagrama nos pontos que a magnitude é 0db e a fase é 180 
8 
graus para avaliar a estabilidade do sistema. A diferença entre esses pontos no gráfico de magnitude 
e fase expressam a margem de ganho e a margem de fase respectivamente. Outra forma de obter esses 
valores é através da função “margin” do Matlab, que já traça os limites citados e calcula os valores 
apresentados nas Figura 11, Figura 12 e Figura 13. 
 
 
Figura 11 – Gm, Pm - 3 amostras 
 
Para o sistema com média móvel de 3 amostras obteve-se Gm de 58,3dB e Pm de 90,3°, que 
significa que o sistema pode ter o ganho aumentado em 58,3db para atingir o limiar de estabilidade. 
Já o sistema com 5 amostras tem margem de ganho de 23,3dB e o sistema com média móvel de 10 
amostras 15,8dB. 
9 
 
 
Figura 12 – Gm, Pm - 5 amostras 
 
 
Figura 13 – Gm, Pm - 10 amostras 
 
10 
Com o auxílio do Matlab foi verificado o erro em regime para os três sistemas submetidos a 
uma entrada degrau, como mostra a Figura 14. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 14 – Erro em regime entrada degrau (a) 3 amostras, (b) 5 amostras e (c) 10 amostras 
 
11 
O sistema com filtro média móvel de 3 amostras teve erro em regime de 0,012, o sistema M5 
erro de 0,005 e o sistema M10 erro em regime de 0,064. Verifica-se que com a entrada degrau o 
sistema é estável e o erro é pequeno, inferior a 10%. O tempo de estabilização foi de 3000s para M3, 
50s para M5 e 40s para M10. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 15 – Erro em regime entrada rampa (a) 3 amostras, (b) 5 amostras e (c) 10 amostras 
12 
O sistema foi submetido a uma entrada em rampa, conforme Figura 15, e os modelos M3, M5 
e M10 não estabilizaram apresentando erro em regime que tende ao infinito. 
Através do método do Lugar das Raízes esboçado no Matlab pela função “rlocus”, foram 
obtidos os resultados exibidos na Figura 16. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 16 – Estabilidade via lugar das raízes 
 
Os valores encontrados para o limite de estabilidade do sistema foram adequados à margem 
13 
de ganho verificada no diagrama de bode e validados através da equação 10GM/20. O sistema é estável 
para valores de K menores aos estimados no gráfico do Lugar das Raízes. Para [M3] K < 811, [M5] 
K< 14,4 e [M10] K < 6,02. 
4 Conclusões 
As duas práticas realizadas proporcionaram o entendimento da dinâmica do sistema em 
condições teóricas apresentadas. A aplicação do filtro média móvel melhora os resultados quanto 
maior o número de amostras utilizado. A análise de estabilidade do sistema via Resposta em 
Frequência e Lugar das Raízes são equivalentes e validadas através da relação da margem de ganho 
em dB e o ganho (K). Foi emocionante fazer as contas e encontrar resultados correspondentes nos 
dois métodos, e essa visualização tornou mais tangível a teoria apresentada em sala de aula. 
 
Referências Bibliográficas 
 
[1] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, São Paulo: Pearson, 2010. 
[2] N. S. Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, Rio de Janeiro: LTC, 2012.