Relatório - Projeto 1 - Root Locus

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
JOAO PAULO APARECIDO PAPAIT 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
MATHEUS HENRIQUE FOLSTER DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR DIGITAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
JOAO PAULO APARECIDO PAPAIT 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
MATHEUS HENRIQUE FOLSTER DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR DIGITAL 
 
 
 
Relatório apresentado à disciplina Controle 
Digital, do curso de Engenharia da 
Computação da Universidade Tecnológica 
Federal do Paraná – UTFPR, como 
composição parcial da nota semestral da 
disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Quando se trata de sistemas de controle em todos os âmbitos, a aplicação de 
seus conceitos possibilita que diversos tipos de processos possam ser otimizados, 
proporcionando um melhor desempenho em diversas áreas. 
Com o decorrer dos anos, tudo foi se desenvolvendo para se adequar as 
necessidades encontradas e poder exercer um certo domínio, principalmente, sobre 
os meios de produção. Com o grande aumento da população houve a crescente 
demanda de mercadorias, não só do ramo alimentício, mas também de todas as áreas 
que traz conforto e utilidades às pessoas. Dessa forma o processo de manufatura não 
era mais o suficiente, o que fez com que surgissem as primeiras máquinas totalmente 
automatizadas por volta de 1950. 
Após a Segunda Guerra Mundial, houve o crescente desenvolvimento da 
tecnologia, o que possibilitou o desenvolvimento de sistemas capazes de controlar as 
máquinas a ponto de produzirem em grande escala, com boa qualidade e com 
redução de custos. Tais sistemas foram chamados de Sistemas de Controle, que 
através de códigos programáveis, executam os comandos necessários para um 
melhor rendimento nos processos de produção e automação. 
Para que esses processos possam ocorrer de maneira correta e sem 
apresentar problemas, técnicas para o desenvolvimento de controladores foram 
desenvolvidas buscando sempre um melhor desempenho e estabilidade de um 
sistema. 
Uma dessas técnicas se constitui como o root- locus, também denominado de 
lugar geométrico das raízes, ao qual trata de uma forma gráfica de se visualizar como 
os polos do sistema de malha fechada variam quando se alteram ou variam os 
parâmetros atribuídos ao sistema. 
Atualmente, com o auxílio de ferramentas computacionais fica muito mais fácil 
realizar o método, tendo em vista que visualizações gráficas são feitas com melhor 
exatidão por softwares, nas quais possibilitam que um projetista consiga definir 
adequadamente a estrutura de um controlador para determinados parâmetros pré-
estabelecidos de projetos. 
O presente relatório possui o intuito de realizar análises e implementações 
práticas da aplicação das técnicas de projeto para controladores através do root-locus, 
 
 
utilizando como bases de apoio para a realização da técnica o uso dos softwares 
computacionais MATLAB e SIMULINK. 
Serão apresentados dados e perspectivas de como o controlador irá 
operar, mostrando seus pontos de operação, estabilidade, ganho, desempenho em 
regime estacionário, resposta impulsiva e entrada degrau do sistema de malha aberta 
e para malha fechada, a comparação entre o sistema de saída digital projetado com 
um sinal real continuo e por fim o comportamento do sistema quando atinge a 
instabilidade. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
O presente capítulo possui o intuito de realizar a apresentação, dados, 
equacionamentos e análises referentes a proposta do relatório realizado, assim como 
o estudo acima da resposta ao degrau e ao impulso da função transferência contínua 
proposta, além da aplicação do root-locus de ambas. 
Em seguida realizar a modelagem do controlador digital do sistema a ser 
simulado, assim como os cálculos referentes aos parâmetros de performance 
propostos juntamente com a definição da área de operação do sistema no root-locus 
conforme os parâmetros encontrados. 
 
2.1 Função de transferência contínua 
 
Através do sistema proposto é possível realizar análises em relação a seu 
comportamento com diferentes entradas, sendo realimentado ou não, e por fim 
através do seu root-locus. 
Primeiramente, segue abaixo a função transferência contínua do sistema 
utilizado e em seguida a função em malha fechada: 
 
𝐺(𝑠) =
1
𝑠+0,4
 (1) 
 
𝐺(𝑠) =
1
𝑠+1,4
 (2) 
 
Em sequência será apresentado a resposta do sistema ao degrau e ao 
impulso, juntamente com a função transferência em malha aberta e fechada, e por fim 
a demonstração do root-locus. 
 
2.1.1 Resposta do sistema 
 
A análise da resposta do sistema foi realizada de duas maneiras, 
primeiramente para a entrada degrau em relação a função transferência de malha 
aberta e fechada, e em seguida para a entrada impulsiva. 
Segue abaixo o roteiro implementado no MATLAB: 
 
 
Figura 1 – Roteiro no MALTAB 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Através do roteiro implementado, segue abaixo a resposta ao degrau: 
 
Figura 2 – Resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Através do roteiro implementado, segue abaixo a resposta ao impulso: 
 
Figura 3 – Resposta ao impulso 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Como pode ser visualizado tanto pela Figura 2, representando a resposta 
ao degrau, quanto para a Figura 3, resposta ao impulso, nota-se que os dois sistemas 
 
 
de malha fechada atingem o valor de regime permanente e o tempo de subida de 
forma muito mais rápida do que a de malha aberta 
Após apurado essas informações, foi possível identificar a causa de 
acontecer isso. Sistemas de malha aberta e fechada se diferenciam pelo fato de a 
malha aberta não depender do ato controlado para gerar sua saída, diferente do 
sistema de malha fechada. 
Com isso o sistema de malha fechada recebe mais informações do 
controlador, proporcionando que quando o mesmo inicie o processo na configuração 
dos parâmetros que foi aplicado, por meio das informações que o próprio sistema o 
transmite consegue atingir o dado ponto de estabilidade de maneira muito mais rápida 
que um sistema de malha aberta, como pode ser visualizado nas imagens abaixo. 
 
2.1.2 Root Locus 
 
Por fim, foram traçados os root-locus para ambas as funções de 
transferências utilizadas, ou seja, para a original (malha aberta) e para a função 
transferência de malha fechada. 
Primeiramente, segue abaixo o roteiro implementado no MATLAB para a 
implementação do root-locus: 
 
Figura 4 – Roteiro para a simulação do root-locus 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Implementado o código, foram obtidos os seguintes gráficos do root-locus: 
 
 
 
 
Figura 4 – Simulação do root-locus 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
2.2 Controlador digital 
 
Quando há a necessidade de desenvolver um controlador digital para 
realizar a operação de um sistema contínuo há a possibilidade de calcular o 
equivalente do sistema contínuo no domínio de Z, fazendo com que o controlador 
digital enxergue uma função digital do sistema. 
De forma equivalente pode ser utilizado conversores A/D e D/A, fazendo 
com que o controlador digital seja convertido para um sinal analógico, alimentando o 
sistema de controle contínuo (D/A). 
Em seguida, com o sinal contínuo do sistema geral há a possibilidade de 
utiliza-lo como realimentação para o controlador, fazendo novamente outra conversão, 
porém agora A/D, voltando então para um sinal digital para compará-lo com um sinal 
digital de referência, geralmente a entrada do circuito, por exemplo o sinal degrau e 
impulso. 
Portanto há uma certa simplificação em desenvolver o cálculo para o 
controle digital do sistema contínuo, a qual é expressa pela equação 3. 
 
𝐻(𝑧)= (1 − 𝑧−1) ∙ 𝒵 {[ℒ−1 (
𝐺(𝑠)
𝑠
)|
𝑡=𝐾𝑇
]} (3) 
 
 
 
Onde G(s) é a planta do sistema de primeira ordem proposta, apresentado 
na equação 1. Logo, substituindo o valor do sistema na equação, há o seguinte 
resultado: 
𝐻(𝑧) = (
𝑧−1
𝑧
) ∙ 𝒵 {[ℒ−1 (
1
𝑠∙(𝑠+0,4
)|
𝑡=𝐾𝑇
]} (4) 
 
Fazendo a transformada inversa de Laplace, obtêm-se: 
 
𝐻(𝑧) = (
𝑧−1
𝑧
) ∙ 𝒵{[2,5 − 2,5𝑒−0,4𝑡]|𝑡=𝐾𝑇} (5) 
 
Dando prosseguimento, realizando a transformada 𝒵 do termo: 
 
𝐻(𝑧) = (
𝑧−1
𝑧
) ∙ [
(2,5−2,5𝑒−0,4𝐾𝑇)∙𝑧
(𝑧−1)∙(𝑧−𝑒−0,4𝐾𝑇)
] (6) 
Cortando os termos idênticos do numerador em relação ao denominador, e 
substituindo os valores de K=1 e T=0,1, foi obtido o seguinte equacionamento e 
resultado: 
 
𝐻(𝑧) =
2,5−2,5𝑒−0,4𝐾𝑇
𝑧−𝑒−0,4𝐾𝑇
 |
𝐾=1 𝑒 𝑇=0,1
 (7) 
 
𝐻(𝑧) =
0,09802640212
𝑧−0,9607894392
 (8) 
 
Portanto, a equação 8 descreve a função transferência contínua 
discretizada, podendo assim realizar o controle digital sem que haja a necessidade de 
implementar conversores no sistema, colocando assim todos os parâmetros da malha 
no domínio de 𝒵. 
Uma forma simplificada de comprovar os cálculos realizados e o valor da 
função transferência da equação 8 é utilizando a função “c2d” no MATLAB, obtendo a 
seguinte comprovação do resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Validação dos valores da função de transferência discreta 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
2.3 Análise dos parâmetros de projeto 
 
Analisar os parâmetros de projeto é de grande importância quando há a 
necessidade de realizar determinada função sobre pontos e características 
relacionadas aos pontos de operação do sistema. 
Na projeção de controladores, sejam digitais ou analógicos, há três 
parâmetros básicos de controle a qual através deles consegue-se criar uma vasta 
gama de pontos operativos dentro da estabilidade ou realizar o controle para 
parâmetros específicos, garantindo precisão, otimização e confiabilidade no processo. 
Os parâmetros são a porcentagem de overshoot, o tempo de subida e o 
tempo de estabelecimento em regime do sistema. 
Primeiramente, a porcentagem de overshoot, também denominada como 
sobressinal máximo percentual, diz respeito ao valor que a variável de processo 
ultrapassa o valor final, ou seja, a grosso modo é o valor percentual máximo de pico 
da curva de resposta. 
A porcentagem de overshoot é um dos indicativos da estabilidade relativa 
do sistema, uma vez que, quanto maior seu valor menor será a estabilidade relativa, 
e com isso mais próximo o sistema estará da instabilidade. 
Para o cálculo deste parâmetro é utilizada a equação 9, a qual relaciona o 
percentual ao fator de amortecimento “𝝴”. 
 
𝑀𝑠𝑠% ≤ 100 ∙ 𝑒
−
𝜀∙𝜋
√1−𝜀2 (9) 
 
Para o presente relatório foi proposto o valor do percentual de overshoot 
sendo menor ou igual a 15%. Portanto, isolando o fator de amortecimento da equação 
 
 
9, com isso, afim de encontrar seu valor há a possibilidade do cálculo através da 
equação 10. 
 
𝜀 ≥ √
𝑙𝑛(
𝑀𝑠𝑠%
100
)
𝜋2+𝑙𝑛(
𝑀𝑠𝑠%
100
)
 (10) 
 
Substituindo o valor em percentual do overshoot, é desenvolvido o 
equacionamento abaixo: 
 
𝜀 ≥ √
𝑙𝑛(
15
100
)
𝜋2+𝑙𝑛(
15
100
)
 (11) 
 
𝜀 ≥ 0,5169308662 (12) 
 
Juntamente ao percentual de overshoot, há o tempo de subida do sistema, 
a qual é o tempo necessário para que a forma de onda varie de 10% a 90% do seu 
valor de regime. Com isso, através da equação 13 há a possibilidade de encontrar o 
valor do tempo de subida em relação a uma constante de aproximação e a frequência 
natural “𝜔𝑛”, que por sua vez é a frequência de oscilação do sistema sem 
amortecimento. 
 
𝑡𝑠 ≤
2,4
𝜔𝑛
 (13) 
 
Para o presente projeto foi dado o valor do tempo de subida sendo menor 
ou igual a 0,4 segundos, e com isso, isolando a frequência natural há a possibilidade 
de encontrá-la através do desenvolvimento abaixo: 
 
𝜔𝑛 ≤
2,4
0,4
 (14) 
 
𝜔𝑛 ≤ 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (15) 
 
Por fim, o último parâmetro de projeto é o tempo de estabelecimento, 
também denominado como tempo de acomodação, diz respeito ao tempo necessário 
 
 
para que as oscilações do transitório do sistema permaneça dentro de uma faixa 
percentual (geralmente 1% ou 2%) em torno do seu valor em regime permanente. 
O tempo de estabelecimento relaciona uma constante de aproximação 
juntamente ao produto entre a frequência natural e o fator de amortecimento, como 
segue a equação 16. 
 
𝑡𝑒 ≤
4,6
𝜀∙𝜔𝑛
 (16) 
 
Para o projeto foi pré-definido o tempo de estabelecimento sendo menor ou 
igual a 0,8 segundos, possibilitando assim encontrar o produto entre a frequência 
natural e o fator de amortecimento, que é de grande importância juntamente aos 
demais para o projeto de determinado sistema e controlador. 
Pode-se visualizar o desenvolvimento abaixo: 
 
𝜀 ∙ 𝜔𝑛 ≤
4,6
0,8
 (17) 
 
𝜀 ∙ 𝜔𝑛 ≤ 5,75 (18) 
 
Com a obtenção dos três parâmetros é possível realizar a projeção do 
controlador digital necessário para o sistema proposto no presente projeto. 
 
 
 
2.3.1 Região de operação do root-locus 
 
Devido a combinação da função transferência do controlador digital 
desenvolvido com os parâmetros de projeto calculados é possível traçar o root-locus 
do sistema, podendo avaliar assim o caminho percorrido pelo polo do sistema em 
relação a variação dos parâmetros calculados. 
A construção do root-locus relaciona como a estabilidade do sistema 
juntamente com a resposta transitória relacionam-se com a localização das raízes da 
equação característica. Com isso torna o seu uso indispensável para análise de 
estabilidade e projeto de sistemas de controle. 
Para a função transferência do controlador digital calculado foi obtido o 
seguinte root-locus no plano Z: 
 
 
Figura 6 – Root locus do controlador digital 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Percebe-se que no plano Z, diferentemente do plano S a qual a estabilidade 
é caracterizada conforme a posição dos polos entre o eixo positivo e negativo do root 
-locus, no plano Z a instabilidade caracteriza-se pela posição de um ou mais polos 
fora do circuito unitário. 
Com isso, pode-se concluir que para os valores a esquerda fora do plano 
Z, para os valores de ganho nesses pontos, causam instabilidade no sistema, sendo 
os demais valores traçados pelo root-locus no eixo real dentro do círculo garantirem a 
estabilidade do sistema. 
No root-locus no plano Z há os valores, representados por linhas no plano, 
que relacionam os parâmetros da frequência natural (bordas do círculo unitário) com 
o fator de amortecimento (demais valores verticais dentro do circuito unitário). 
Portanto, através dos valores de 𝜀 ≥ 0,5169308662 e 𝜔𝑛 ≤ 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠, é possível 
traçar a região de operação do controlador digital calculado. 
Para encontrar a região de operação deve-se atentar aos sinais aos quais 
os parâmetros possuem em relação aos valores encontrados, ou seja, para o fator de 
amortecimento a área estará limitada para valores acima ou iguais a 
aproximadamente 0,51 enquanto para a frequência natural para valores menores ou 
igual a 6 rad/s. Podendo realizar, de forma aproximada, a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Região de operação do controlador digital 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Através da Figura 7 é possível verificar que a área de operação (amarela) 
é encontrada realizando a intersecção das áreas do fator de amortecimento (verde) 
com o da frequência natural (vermelho), fazendo com que qualquer valor de ganho (K) 
presente no root-locus do controlador dentro do intervalo de operação atue de acordo 
com os parâmetros de performance ditos previamente pela proposta do relatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 DESENVOLVIMENTOO presente capítulo possui o intuito de apresentar os resultados elaborados 
a partir da proposta do relatório, afim de apresentar a metodologia utilizada para a 
definição do valor do controlador proporcional “K”, através de funções no MATLAB e 
simulações dos diagramas de blocos para a entrada degrau e impulso, validando 
assim os parâmetros de performance propostos juntamente com o a região de 
operação do root-locus simulado. 
Primeiramente, o objetivo central do trabalho é em busca da definição do 
ganho K do sistema, e isso é possível após os cálculos dos parâmetros de projeto e 
da realização do root-locus do sistema. 
Uma vez que o root-locus está traçado juntamente com a área de operação 
do sistema para atingir os parâmetros pré-definidos, pode-se utilizar a função “rltool” 
no MATLAB com o intuito de gerar uma interface gráfica dinâmica que consegue variar 
o valor da posição ganho K encontrada no root-locus e verificar a saída obtida pelo 
sistema, e com isso definir determinado valor para utilizar nas simulações dos 
diagramas de bloco realizados no SIMULINK. 
Utilizando a função “rlocus” novamente, foi encontrado o valor de K que 
pertence a região de operação determinada. 
 
Figura 8 – Ganho definido na região de operação 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
Para um ganho de valor igual a 4 para 𝜔𝑛 = 5,65 que é menor que o valor 
de 6 calculado anteriormente, a posição do polo é de 0,568, logo, aplicando a função 
“rltool” na posição aproximadamente de 0,568 foi simulado a seguinte interface: 
 
Figura 9 – Interface da função “rltool” no MATLAB 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Para aproximadamente a posição raiz sendo 0,566 a resposta ao degrau 
pode ser observada na Figura 9, com isso sendo possível simular os resultados 
através dos diagramas de blocos pelo SIMULINK, e verificar a equivalência do sistema 
simulado. 
Foram desenvolvidos no SIMULINK a comparação entre o sistema digital 
projetado juntamente com a do sistema real contínuo, afim de verificar a equivalência 
entre as duas saídas. 
Vale ressaltar que para ambas as entradas, as simulações de saídas de 
diferenciem pelo fato de uma ser uma função contínua discretizada na sua forma 
íntegra e a outra é realizada a partir de amostragens provindas da conversão D/A, que 
transforma amplitudes digitais em uma função contínua alimentando a planta do 
projeto, e um conversor A/D fazendo assim com que na realimentação seja 
comparado o valor de saída em seu valor digital com a entrada digital. 
Primeiramente, segue abaixo o diagrama de blocos em malha fechada da 
resposta ao degrau do sistema digital desenvolvido em relação ao do sistema real 
contínuo: 
 
 
 
Figura 10 – Diagrama de blocos em malha fechada com resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Em seguida, segue abaixo o diagrama de blocos em malha fechada da 
resposta impulsiva do sistema digital desenvolvido em relação ao do sistema real 
contínuo: 
 
 
Figura 11 – Diagrama de blocos em malha fechada com resposta ao impulso 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
Como observado na Figura 10 e Figura 11 o sistema superior relaciona a 
função transferência digital a qual o resultado pôde ser observado pela equação 8, 
enquanto na inferior é utilizada a função contínua expressa através da equação 1. 
Observa que para ambas a entradas, o controlador K possui o valor de 4, 
agindo como um controlador proporcional, possibilitando que o sistema atue sobre os 
parâmetros de projeto. Porém enquanto que para a malha superior o sistema já ter 
sido discretizado e o controlador enxerga-lo como um sistema digital, não há a 
necessidade do uso de conversores. 
Porém, em contrapartida para a malha inferior há primeiramente o uso do 
“Zero-Order Hold” que faz a função do conversor D/A do sistema, e em seguida a 
utilização de um bloco de multiplicação entre a saída contínua com um trem de pulsos, 
fazendo que através de um período de amostragem, a cada nível alto do impulso o 
sistema faça a amostragem do sinal contínuo de saída, e então atue como um 
conversor A/D. 
Com isso, para ambos os diagramas devido a entrada degrau e impulsiva 
as saídas foram interligadas a um “Bus Creator”, possibilitando que sejam simuladas 
de forma conjunta pelo “Scope”. 
Primeiramente, pode-se observar a simulação das duas malhas de controle 
em resposta ao degrau na figura abaixo: 
 
Figura 12 – Simulação da comparação entre as malhas em resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Na qual a função em vermelha é referente a saída da função de 
transferência digital, e em azul a função contínua. 
 
 
Em seguida pode-se observar a simulação referente as duas malhas de 
controle em resposta ao impulso. 
 
Figura 13 – Simulação da comparação entre as malhas em resposta impulsiva 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
Na qual a função em vermelha é referente a saída da função de 
transferência digital, e em azul a função contínua. 
Vale ressaltar que, para fins de simulação o impulso possui um tempo em 
alto de 1 segundo, logo, deve-se analisar a resposta ao impulso a partir deste 
momento, onde o sistema começa a diminuir a sua amplitude. Ademais ambos os 
comportamentos das funções em relação as suas entradas foram equivalentes a 
aquelas simuladas de malha fechada no início no relatório, na Figura 2 e Figura 3, 
validando assim a forma de onda de saída do sistema realizado. 
Com isto, pode ser apresentado os diagramas de blocos de malha fechada 
simulados e em seguida desenvolvido a simulação das saídas referentes a resposta 
ao degrau e ao impulso de forma a comparar visivelmente a diferença entre a entrada 
através da função de transferência digital em relação a função contínua. 
Dando prosseguimento há também a possibilidade de realizar as 
simulações acima do circuito em malha aberta, ou seja, não há a realimentação da 
saída do sistema, fazendo assim que a precisão, por não ter a comparação do sinal 
de saída com a entrada de referência, seja inferior ao de malha fechada. 
 
 
Ademais, para o sistema de malha aberta do sistema contínuo não haverá 
a necessidade do conversor A/D, uma vez que a saída não será comparada com a 
entrada, como o da malha fechada. 
Segue abaixo o diagrama de blocos em malha aberta em resposta ao 
impulso do sistema digital desenvolvido em relação ao do sistema real contínuo: 
 
Figura 14 – Diagrama de blocos em malha aberta em resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Pode-se observar a simulação das duas malhas de controle em resposta 
ao degrau na figura abaixo: 
 
Figura 15 – Simulação entre os sistemas de malhas aberta em resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Na qual a função em vermelha é referente a saída da função de 
transferência digital, e em azul a função contínua, ambas em malha aberta. 
 
 
Em seguida, segue abaixo o diagrama de blocos em malha aberta da 
resposta impulsiva do sistema digital desenvolvido em relação ao do sistema real 
contínuo: 
 
Figura 16 – Diagrama de blocos em malha aberta em resposta ao impulso 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Pode-se observar a simulação das duas malhas de controle em resposta 
ao impulso na figura abaixo: 
 
Figura 17 – Simulação entre os sistemas de malhas aberta em resposta ao impulso 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Na qual a função em vermelha é referente a saída da função de 
transferência digital em malha aberta, e em azul a função contínua. 
Portanto, através dos presentes dados é possível realizar as considerações 
finais do relatório, englobando de forma geral o desempenho do sistema nas 
configurações simuladas. 
 
 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Realizando a conclusão do relatório há alguns parâmetros a serem 
analisados. 
Primeiramente a validação da modelagem do sistema digital desenvolvido 
em relação aos parâmetros de projetos propostos para o trabalho. 
Em seguida acomparação entre as configurações entre malha aberta e 
fechada em relação ao desempenho do sistema. 
 Por fim uma análise do sistema fora da área de estabilidade adquirida pelo 
root-locus, apresentando a importância de se trabalhar com o sistema de forma 
estável. 
Com base nas simulações adquiridas no relatório, e tomando como base a 
Figura 12, a qual apresenta s simulação de ambas as malhas em resposta ao degrau, 
é possível realizar a validação dos parâmetros de performance propostos, com isso 
apresentando as respectivas análises dos valores obtidos. 
Na Figura 12 é possível verificar o tempo de subida, o máximo sobressinal 
e o tempo de estabelecimento do sistema. Segue abaixo uma nova simulação com os 
valores dos eixos para melhorar a visualização: 
 
Figura 18 – Simulação em pontos da comparação entre as malhas em resposta ao degrau 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
Na Figura 18 o tempo de subida está apresentado pelo cursor 1, enquanto 
para o tempo de estabelecimento é pelo cursor 2. Ademais, a porcentagem de 
overshoot é nula, pois para a função transferência na área de operação dada não há 
o máximo sobressinal. 
O tempo de subida, como expresso no decorrer do relatório, é composto 
pela variação de 10% a 90% do valor do regime permanente. Sendo o valor de regime 
em aproximadamente 9.091 (obtido pela simulação) o tempo de subida compreende 
os valores dentro do seguinte intervalo ∆𝑇, sendo possível verificar que foi inferior a 
0,4 segundos, valor proposto pelo relatório. 
 
Figura 19 – Valores referentes a análise do tempo de subida do sistema 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
O tempo de estabelecimento compreende, como apresentado ao decorrer 
do trabalho, ao tempo do sistema para chegar a uma variação de 1% a 2% do valor 
total em regime. O valor encontrado foi inferior ao proposto pelo parâmetro para ser 
menor que 0,8 segundos. 
 
Figura 20 – Valores referentes a análise do tempo de estabelecimento do sistema 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Realizado a análise acima dos parâmetros de projeto propostos, há a 
possibilidade de acima das simulações realizar a comparação entre o sistema em 
malha aberta e em malha fechada para ambas as respostas, ou seja, para a entrada 
degrau e impulso. 
 
 
Comparando as respostas entre malha aberta e malha fecha pode-se notar 
a diferenciação da configuração realizada. Uma vez que, em malha fechada ao 
realimentar o sistema o erro de regime permanente do sistema diminui, assim como o 
tempo de subida que acontece de maneira mais rápida, fazendo assim com que o 
sistema seja muito mais preciso, otimizado e garanta a resposta de maneira mais hábil 
dada a entrada do sistema. 
Além de aumentar a precisão e rejeitar o efeito de perturbações externas, 
a simulação em malha fechada melhora a dinâmica do sistema, podendo assim 
estabilizar o sistema que atua na região de instabilidade em malha aberta, o que no 
âmbito de sistemas de controle é de grande importância para o desenvolvimento de 
processos. 
Ainda falando sobre a região de estabilidade, através do root-locus (Figura 
6) do sistema digital, e como citado no decorrer do trabalho, quanto mais longe do 
polo a raiz está, maior será o percentual de overshoot, o que ao ultrapassar a região 
do circulo unitário (plano Z) causa a instabilidade do sistema, ou seja, através da 
simulação foi possível verificar que para valores de ganhos acima de uma faixa entre 
19 e 20 o sistema começa a entrar em instabilidade, sendo assim fugindo dos 
parâmetros de configuração do sistema de controle. 
 
Figura 21 – Simulação da função “rltool” para operação fora do root-locus 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
Fato que pode ser comparado a simulação do SIMULINK, onde ao 
aumentarmos o valor de K para valores acima do limite apresentado pelo root-locus, 
o sistema se torna instável. 
 
Figura 22 – Simulação da instabilidade para um valor acima dos encontrados no root-locus 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Logo, através do presente relatório juntamente com as análises pertinentes 
para todo o seu desenvolvimento foram essenciais para apresentar a importância do 
planejamento de projetos de sistemas de controle, onde, muitas vezes em sistemas 
reais dos quais são mais perceptíveis a falhas e fatores externos, torna-se 
indispensável a garantia da estabilização do sistema, uma vez que, garantirá melhor 
otimização, confiabilidade, resposta e agilidade do processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
OGATA, Katsuhiko et al. Modern control engineering. Upper Saddle River, NJ: 
Prentice hall, 2010. 
 
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno; 8ª. Ed, LTC, Rio de 
Janeiro, 2001. 
ASSUNÇÃO, Edvaldo. Controle linear: Controle discreto. São Paulo. Universidade 
Estadual Paulista, 2020.