Números, Desigualdades e Valores Absolutos

Prévia do material em texto

NÚMEROS, DESIGUALDADES E VALORES ABSOLUTOS1 
 
1. Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto. 
 
(𝑎) |5 − 23| = |−18| = −(−18) = 18 
(𝑏) |5| − |−23| = 5 − [−(−23)] = 5 − 23 = −18 
(𝑐)| −𝜋| = −(−𝜋) = 𝜋 
(𝑑) |𝜋 − 2| = 𝜋 − 2 
(𝑒) √5 − 5 = − √5 − 5 = 5 − √5 
(𝑓) |−2| − |−3| = |−(−2) − [−(−3)]| = |2 − 3| = |−1| = −(−1)
= 1 
(𝑔) |𝑥 − 2| 𝑠𝑒 𝑥 < 2 = −(𝑥 − 2) = 2 − 𝑥 
(ℎ) |𝑥 − 2| 𝑠𝑒 𝑥 > 2 = 𝑥 − 2 
(𝑖)|𝑥 + 1| =
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1
−(𝑥 + 1), 𝑠𝑒 𝑥 < −1
 
𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 
(𝑗) |2𝑥 − 1| =
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0,5
−(2𝑥 − 1) = 1 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0,5
 
2𝑥 − 1 = 0 ⇒ 2𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 2 = 0,5 
(𝑘) |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1, pois ∀𝑥(𝑥 > 0) 
(𝑙) |1 − 2𝑥 | =
1 − 2𝑥 , 𝑠𝑒 − √2 2 ≤ 𝑥 ≤
√2
2
−(1 − 2𝑥 ) = 2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < − √2 2 𝑜𝑢 𝑥 >
√2
2
 
1 − 2𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 =
1
2
⇒ 𝑥 = ±
1
2
= ±
√1
√2
= ±
1
√2
= ±
√2
2
≈ ±0,71 
𝑥 = −1 ⇒ 1 − 2 × (−1) = 1 − 2 × 1 = 1 − 2 = −1 
 
1 Extraído do Apêndice A, página A8 
𝑥 = 0 ⇒ 1 − 2 × 0 = 1 − 2 × 0 = 1 − 0 = 1 
𝑥 = 1 ⇒ 1 − 2 × 1 = 1 − 2 × 1 = 1 − 2 = −1 
 
 
2. Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto 
solução na reta real. 
 
(𝑎) 2𝑥 + 7 > 3 ⇒ 2𝑥 > 3 − 7 ⇒ 2𝑥 > −4 ⇒ 𝑥 > −4 2 ⇒ 𝑥 > −2 ⇒
𝑆 = (−2, ∞) 
(𝑏) 3𝑥 − 11 < 4 ⇒ 3𝑥 < 4 + 11 ⇒ 3𝑥 < 15 ⇒ 𝑥 < 15 3 ⇒ 𝑥 < 5 ⇒ 𝑆
= (−∞, 5) 
 
(𝑐) 1 − 𝑥 ≤ 2 ⇒ 1 − 2 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥 ≥ 1 − 2 ⇒ 𝑥 ≥ −1 ⇒ 𝑆 = [−1, ∞) 
 
(𝑑) 4 − 3𝑥 ≥ 6 ⇒ 4 − 6 ≥ 3𝑥 ⇒ 3𝑥 ≤ −2 ⇒ 𝑥 ≤ − 2 3 = −0, 6 ⇒ 𝑆
= (−∞, −0, 6] 
 
(𝑒) 2𝑥 + 1 < 5𝑥 − 8 ⇒ 5𝑥 − 8 > 2𝑥 + 1 ⇒ 5𝑥 − 2𝑥 > 1 + 8 ⇒ 3𝑥 > 9
⇒ 𝑥 > 3 
𝑆 = (3, ∞) 
(𝑓) 1 + 5𝑥 > 5 − 3𝑥 ⇒ 5𝑥 + 3𝑥 > 5 − 1 ⇒ 8𝑥 > 4 ⇒ 𝑥 > 1 2 ⇒ 𝑆
= (0,5, ∞) 
 
 
(𝑔) − 1 < 2𝑥 − 5 < 7 ⇒ −1 + 5 < 2𝑥 < 7 + 5 ⇒ 4 < 2𝑥 < 12 ⇒ 2 < 𝑥
< 6 ⇒ 𝑆 = (2, 6) 
 
(ℎ) 1 < 3𝑥 + 4 ≤ 16 ⇒ 1 − 4 < 3𝑥 ≤ 16 − 4 ⇒ −3 < 3𝑥 ≤ 12 ⇒ −1
< 𝑥 ≤ 4 
𝑆 = (−1, 4] 
(𝑖) 0 ≤ 1 − 𝑥 < 1 ⇒ 0 − 1 ≤ −𝑥 < 1 − 1 ⇒ −1 ≤ −𝑥 < 0 ⇒ 1 ≥ 𝑥 > 0
⇒ 𝑆 = (0, 1] 
 
(𝑗) − 5 ≤ 3 − 2𝑥 ≤ 9 ⇒ −5 − 3 ≤ −2𝑥 ≤ 9 − 3 ⇒ −8 ≤ −2𝑥 ≤ 6 ⇒ 8
≥ 2𝑥 ≥ 6 ⇒ 
4 ≥ 𝑥 ≥ −3 ⇒ 𝑆 = [−3, 4] 
(𝑘) 4𝑥 < 2𝑥 + 1 ≤ 3𝑥 + 2 
4𝑥 < 2𝑥 + 1 ⇒ 4𝑥 − 2𝑥 < 1 ⇒ 2𝑥 < 1 ⇒ 𝑥 < 1 2 
2𝑥 + 1 ≤ 3𝑥 + 2 ⇒ 3𝑥 + 2 ≥ 2𝑥 + 1 ⇒ 3𝑥 − 2𝑥 ≥ 1 − 2 ⇒ 𝑥 ≥ −1 
𝑆 = [−1, 1 2) 
(𝑙) 2𝑥 − 3 < 𝑥 + 4 < 3𝑥 − 2 
2𝑥 − 3 < 𝑥 + 4 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 < 4 + 3 ⇒ 𝑥 < 7 
𝑥 + 4 < 3𝑥 − 2 ⇒ 3𝑥 − 2 > 𝑥 + 4 ⇒ 3𝑥 − 𝑥 > 4 + 2 ⇒ 2𝑥 > 6 ⇒ 𝑥
> 3 
𝑆 = (3, 7) 
(𝑚) (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) > 0 
𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 
𝑥 = 0,5 ⇒ (0,5 − 1)(0,5 − 2) = (−0,5)(−1,5) = 0,75 
𝑥 = 1,5 ⇒ (1,5 − 1)(1,5 − 2) = 0,5(−0,5) = −0,25 
𝑥 = 3 ⇒ (3 − 1)(3 − 2) = 2 × 1 = 2 
𝑆 = (−∞, 1) ∪ (2, ∞) 
 
(𝑛) (2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) ≤ 0 
2𝑥 + 3 = 0 ⇒ 2𝑥 = −3 ⇒ 𝑥 = − 3 2 ⇒ 𝑥 = −1,5 𝑒 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 
𝑥 = −2 ⇒ [2 × (−2) + 3][(−2) − 1] = (−4 + 3)(−2 − 1) = (−1)(−3)
= 3 
𝑥 = −1,25 ⇒ [2 × (−1,25) + 3][−1,25 − 1] = (−2,5 + 3)(−2,25)
= 0,5(−2,25) = −1,125 
𝑥 = 2 ⇒ (2 × 2 + 3)(2 − 1) = (4 + 3) × 1 = 7 
𝑆 = [−1,5; 1] 
(𝑜) 2𝑥 + 𝑥 ≤ 1 ⇒ 2𝑥 + 𝑥 − 1 ≤ 0 
∆= 1 − 4 × 2 × (−1) = 1 + 8 = 9 ⇒ 𝑥 =
−1 ± √9
2 × 2
=
−1 ± 3
4
 
𝑥 =
−1 + 3
4
=
2
4
=
1
2
 𝑒 𝑥 =
−1 − 3
4
=
−4
4
= −1 
𝑥 = −2 ⇒ 2(−2) + (−2) = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6 > 1 
𝑥 = 0 ⇒ 2 × 0 + 0 = 2 × 0 = 0 < 1 
𝑥 = 1 ⇒ 2 × 1 + 1 = 2 × 1 + 1 = 2 + 1 = 3 > 1 
𝑆 = −1, 1 2 
(𝑝) 𝑥 < 2𝑥 + 8 ⇒ 𝑥 − 2𝑥 − 8 < 0 
∆= (−2) − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36 ⇒ 𝑥 =
−(−2) ± √36
2 × 1
=
2 ± 6
2
 
𝑥 =
2 + 6
2
=
8
2
= 4 𝑒 𝑥 =
2 − 6
2
=
−4
2
= −2 
𝑥 = −3 ⇒ (−3) − 2 × (−3) − 8 = 9 + 6 − 8 = 1 + 6 = 7 
𝑥 = 0 ⇒ 0 − 2 × 0 − 8 = 0 − 0 − 8 = −8 
𝑥 = 5 ⇒ 5 − 2 × 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 15 − 8 = 7 
𝑆 = (−2, 4) 
(𝑞) 𝑥 + 𝑥 + 1 > 0 ⇒ ∆= 1 − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
= −
1
2 × 1
= −
1
2
 𝑒 𝑦 = −
∆
4𝑎
= −
−3
4 × 1
=
3
4
 
∀𝑥(𝑥 + 𝑥 + 1 > 0) ⇒ 𝑆 = (−∞, ∞) 
 
(𝑟) 𝑥 + 𝑥 > 1 ⇒ 𝑥 + 𝑥 − 1 > 0 ⇒ ∆= 1 − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4
= 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2 × 1
≈
−1 ± 2,24
2
⇒ 𝑥 ≈
1,24
2
≈ 0,62 𝑒 𝑥 ≈
−3,24
2
= −1,62 
𝑥 = −2 ⇒ (−2) + (−2) − 1 = 4 − 2 − 1 = 4 − 3 = 1 
𝑥 = 0 ⇒ 0 + 0 − 1 = −1 𝑒 𝑥 = 1 ⇒ 1 + 1 − 1 = 1 + 0 = 1 
𝑆 = −∞,
√
∪
√
, ∞ 
 
(𝑠) 𝑥 < 3 ⇒ 𝑥 − 3 < 0 ⇒ ∆= 0 − 4 × 1 × (−3) = 0 + 12 = 12 
𝑥 =
−0 ± √12
2 × 1
= ±
2√3
2
= ±√3 ≈ ±1,73 
𝑥 = −2 ⇒ (−2) − 3 = 4 − 3 = 1 𝑒 𝑥 = 0 ⇒ 0 − 3 = −3 
𝑥 = 2 ⇒ 2 − 3 = 4 − 3 = 1, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆 = −√3, √3 
 
(𝑡) 𝑥 ≥ 5 ⇒ 𝑥 − 5 ≥ 0 ⇒ ∆= 0 − 4 × 1 × (−5) = 0 + 20 = 20 
𝑥 =
−0 ± √20
2 × 1
= ±
2√5
2
= ±√5 ≈ ±2,24 
𝑥 = −3 ⇒ (−3) − 5 = 9 − 5 = 4 𝑒 𝑥 = 0 ⇒ 0 − 5 = 0 − 5 = −5 
𝑥 = 6 ⇒ 6 − 5 = 36 − 5 = 31, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆 = −∞, −√5 ∪ [√5, ∞) 
 
(𝑢) 𝑥 − 𝑥 ≤ 0 ⇒ 𝑥 (𝑥 − 1) ≤ 0 
∀𝑥(𝑥 ) ≥ 0 𝑒 𝑥 − 1 ≤ 0 ⇒ 𝑥 ≤ 1 
𝑆 = (−∞, 1] 
(𝑤) (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ≥ 0 
𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1, 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = −3 
𝑥 = −4 ⇒ (−4 + 1)(−4 − 2)(−4 + 3) = (−3)(−6)(−1) = −18 
𝑥 = −2 ⇒ (−2 + 1)(−2 − 2)(−2 + 3) = (−1)(−4) × 1 = 4 
𝑥 = 0 ⇒ (0 + 1)(0 − 2)(0 + 3) = 1 × (−2) × 3 = −6 
𝑥 = 3 ⇒ (3 + 1)(3 − 2)(3 + 3) = 4 × 1 × 6 = 24 
𝑆 = [−3, −1] ∪ [2, ∞) 
(𝑥) 𝑥 > 𝑥 ⇒ 𝑥 − 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 1) > 0 ⇒ 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) > 0 
𝑥 ≠ 0, 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1 
𝑥 = 0,5 ⇒ 0,5(0,5 + 1)(0,5 − 1) = 0,5 × 1,5 × (−0,5) = 0,75 × (−0,5)
= −0,375 
𝑆 = (−1, 0) ∪ (1, ∞) 
(𝑦) 𝑥 + 3𝑥 < 4𝑥 ⇒ 𝑥 − 4𝑥 + 3𝑥 < 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 4𝑥 + 3) < 0 
𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 − 4𝑥 + 3 < 0 ⇒ ∆= (−4) − 4 × 1 × 3 = 16 − 12 = 4 
𝑥 =
−(−4) ± √4
2 × 1
=
4 ± 2
2
⇒ 𝑥 =
4 + 2
2
=
6
2
= 3 𝑒 𝑥 =
4 − 2
2
=
2
2
= 1 
𝑥 = −1 ⇒ (−1) − 4(−1) + 3(−1) = 1 − 4 − 3 = 1 − 7 = −6 
𝑥 = 0,5 ⇒ 0,5 − 4 × 0,5 + 3 × 0,5 = 0,125 − 4 × 0,25 + 1,5
= 1,625 − 1 = 0,625 
𝑥 = 2 ⇒ 2 − 4 × 2 + 3 × 2 = 8 − 4 × 4 + 3 × 2 = 8 − 16 + 6
= 14 − 16 = −2 
𝑥 = 4 ⇒ 4 − 4 × 4 + 3 × 4 = 4 − 4 + 12 = 0 + 12 = 12 
𝑆 = (−∞, 0) ∪ (1, 3) 
(𝑧) 
1
𝑥
< 4 ⇒ 1 < 4𝑥 ⇒ 4𝑥 > 1 ⇒ 𝑥 >
1
4
⇒ 𝑥 > 0,25 
𝑥 = −1 ⇒
1
−1
= −1 < 4 𝑒 𝑥 = 0,1 ⇒
1
0,1
= 10 
𝑆 = (−∞, 0) ∪ 1 4 , ∞ 
(𝑎𝑎) − 3 <
1
𝑥
≤ 1 ⇒ 𝑥 ≠ 0 
−3 <
1
𝑥
⇒ −3𝑥 < 1 ⇒ 𝑥 < −
1
3
 𝑒 
1
𝑥
≤ 1 ⇒ 1 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥 ≥ 1 
𝑆 = −∞, − ∪ [1, ∞) 
 
3. A relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit é dada por 𝐶 = (𝐹 − 32), 
onde 𝐶 é a temperatura em graus Celsius e 𝐹 é a temperatura em graus 
Fahrenheit. Qual é o intervalo sobre a escala Celsius correspondente à 
temperatura no intervalo 50 ≤ 𝐹 ≤ 95? 
𝐹 = 50 ⇒ 𝐶 =
5
9
(50 − 32) =
5
9
× 18 = 5 ×
18
9
= 5 × 2 = 10 
𝐹 = 95 ⇒ 𝐶 =
5
9
(95 − 32) =
5
9
× 63 = 5 ×
63
9
= 5 × 7 = 35 
50 ≤ 𝐹 ≤ 95 ⇔ 10 ≤ 𝐶 ≤ 35 
 
4. Use a relação entre 𝐶 e 𝐹 dada no exercício 3 para determinar o intervalo 
na escala Fahrenheit correspondente à temperatura no intervalo 20 ≤ 𝐶 ≤
30. 
𝐶 = (𝐹 − 32) ⇒ 9𝐶 = 5(𝐹 − 32) = 5𝐹 − 160 ⇒ 5𝐹 = 9𝐶 + 160 ⇒ 
𝐹 =
9
5
𝐶 +
160
5
=
9
5
𝐶 + 32 
𝐶 = 20 ⇒ 𝐹 =
9
5
× 20 + 32 = 9 ×
20
5
+ 32 = 9 × 4 + 32 
𝐹 = 36 + 32 = 68 
𝐶 = 30 ⇒ 𝐹 =
9
5
× 30 + 32 = 9 ×
30
5
+ 32 = 9 × 6 + 32 
𝐶 = 54 + 32 = 86 
20 ≤ 𝐶 ≤ 30 ⇔ 68 ≤ 𝐹 ≤ 86 
 
5. À medida que sobe, o ar seco se expande e, ao fazer isso, se resfria a uma 
taxa de cerca de 1 º𝐶 para cada 100 𝑚 de subida, até cerca de 12 𝑘𝑚. 
 
(𝑎) Se a temperatura do solo for de 20 º𝐶, escreva uma fórmula para a 
temperatura a uma altura ℎ. 
1 𝑘𝑚
𝑥
=
1000 𝑚
100 𝑚
⇒ 1000𝑥 = 100 𝑘𝑚 ⇒ 𝑥 =
100 𝑘𝑚
1000
= 0,1 𝑘𝑚 
Assumindo que a temperatura 𝜃 varia em função da altura ℎ, temos que a 
taxa de variação é dada por: 
∆𝜃
Δℎ
= −
1º𝐶
100𝑚
= −
1º𝐶
0,1𝑘𝑚
= −10 º𝐶/𝑘𝑚 
Sabendo que a temperatura ao nível do solo (ℎ = 0) é 𝜃(0) = 20, temos 
que: 
∆𝜃 = −10Δℎ ⇒ 𝜃(ℎ) − 𝜃(0) = −10(ℎ − 0) ⇒ 𝜃(ℎ)
= −10ℎ − (−10) × 0 + 𝜃(0) 
𝜃(ℎ) = 20 − 10ℎ, 0 ≤ ℎ ≤ 12 
(𝑏) Que variação de temperatura você pode esperar se um avião decola e 
atinge uma altura máxima de 5 𝑘𝑚? 
𝜃(ℎ) = 20 − 10ℎ ⇒ 𝜃(5) = 20 − 10 × 5 = 20 − 50 = −30 º𝐶 
−30 ≤ 𝜃 ≤ 20 ⇒ ∆𝜃 = 𝜃(5) − 𝜃(0) = −30 − 20 = −50 º𝐶 
 
6. Se uma bola for atirada para cima do topo de um edifício com 30 𝑚 de 
altura comvelocidade inicial de 10 𝑚 𝑠⁄ , então a altura ℎ acima do solo 𝑡 
segundos mais tarde será ℎ = 30 + 10𝑡 − 5𝑡 . Durante que intervalo de 
tempo a bola estará no mínimo a 15 𝑚 acima do solo? 
30 + 10𝑡 − 5𝑡 ≥ 15 ⇒ 6 + 2𝑡 − 𝑡 − 3 ≥ 0 ⇒ −𝑡 + 2𝑡 + 3 ≥ 0 
∆= 2 − 4 × (−1) × 3 = 4 + 12 = 16 ⇒ 𝑡 =
−2 ± √16
2 × (−1)
=
−2 ± 4
−2
 
𝑡 =
−2 + 4
−2
=
2
−2
= −1 𝑒 𝑡 =
−2 − 4
−2
=
−6
−2
= 3 
𝑡 = 2 ⇒ −2 + 2 × 2 + 3 = −4 + 4 + 3 = 0 + 3 = 3 
𝑡 = 4 ⇒ −4 + 2 × 4 + 3 = −16 + 8 + 3 = 11 − 16 = −5 
Intervalo de tempo: 𝑡 ≤ 3 
 
7. Resolva a equação para 𝑥. 
 
(𝑎) |2𝑥| = 3 
(𝑖) 2𝑥 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 2⁄ 
(𝑖𝑖) 2𝑥 < 0 ⇒ −2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = − 3 2⁄ 
𝑆 = {− 3 2⁄ , 3 2⁄ } 
(𝑏) |3𝑥 + 5| = 1 
(𝑖) 3𝑥 + 5 ≥ 0 ⇒ 3𝑥 + 5 = 1 ⇒ 3𝑥 = 1 − 5 = −4 ⇒ 𝑥 = − 4 3⁄ 
(𝑖𝑖) 3𝑥 + 5 < 0 ⇒ −(3𝑥 + 5) = 1 ⇒ 3𝑥 + 5 = −1 ⇒ 3𝑥 = −1 − 5
⇒ 3𝑥 = −6 ⇒ 𝑥 = −2 
𝑆 = {−2, − 4 3⁄ } 
(𝑐) |𝑥 + 3| = |2𝑥 + 1| 
𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = −3 𝑒 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 2𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = − 1 2⁄ 
(𝑖) 𝑥 + 3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −3 𝑒 2𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ − 1 2⁄ 
𝑥 + 3 = 2𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 = 3 − 1 ⇒ 𝑥 = 2 
(𝑖𝑖) 𝑥 + 3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −3 𝑒 2𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < − 1 2⁄ 
𝑥 + 3 = −(2𝑥 + 1) ⇒ 𝑥 + 3 = −2𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 + 2𝑥 = −1 − 3 ⇒ 3𝑥
= −4 ⇒ 𝑥 = − 4 3⁄ 
(𝑖𝑖𝑖) 𝑥 + 3 < 0 ⇒ 𝑥 < −3 𝑒 2𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ − 1 2⁄ 
−(𝑥 + 3) = 2𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 + 1 = −𝑥 − 3 ⇒ 2𝑥 + 𝑥 = −3 − 1 ⇒ 3𝑥
= −4 ⇒ 𝑥 = − 4 3⁄ 
(𝑖𝑣) 𝑥 + 3 < 0 ⇒ 𝑥 < −3 𝑒 2𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < − 1 2⁄ 
−(𝑥 + 3) = −(2𝑥 + 1) ⇒ 𝑥 + 3 = 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 2 
Os casos (𝑖𝑖𝑖) e (𝑖𝑣) são impossíveis, o que faz 𝑆 = {− 4 3⁄ , 2} 
(𝑑) 
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 3 
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
≠ 0 ⇒ 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 1 
(𝑖) 
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 3 ⇒ 2𝑥 − 1 = 3(𝑥 + 1) ⇒ 2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 3 ⇒ 3𝑥 − 2𝑥
= −1 − 3 ⇒ 𝑥 = −4 
(𝑖𝑖) −
2𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 3 ⇒ −(2𝑥 − 1) = 3(𝑥 + 1) ⇒ −2𝑥 + 1 = 3𝑥 + 3
⇒ 3𝑥 + 2𝑥 = 1 − 3 ⇒ 
5𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = − 2 5⁄ 
𝑆 = {−4, − 2 5⁄ } 
 
8. Resolva a inequação. 
 
(𝑎) |𝑥| < 3 ⇒
𝑥 < 3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0
−𝑥 < 3 ⇒ 𝑥 > −3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
⇒ 𝑆 = (−3, 3) 
(𝑏) |𝑥| ≥ 3 ⇒
𝑥 ≥ 3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0
−𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝑥 ≤ −3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
⇒ 𝑆
= (−∞, −3] ∪ [3, ∞) 
(𝑐) |𝑥 − 4| < 1 ⇒ 𝑆 = (3, 5) 
(𝑖) 𝑥 − 4 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 4 
𝑥 − 4 < 1 ⇒ 𝑥 < 1 + 4 ⇒ 𝑥 < 5 
(𝑖𝑖) 𝑥 − 4 < 0 ⇒ 𝑥 < 4 
−(𝑥 − 4) < 1 ⇒ −𝑥 + 4 < 1 ⇒ 4 − 1 < 𝑥 ⇒ 𝑥 > 3 
(𝑑) |𝑥 − 6| < 0,1 
(𝑖) 𝑥 − 6 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 6 
𝑥 − 6 < 0,1 ⇒ 𝑥 < 0,1 + 6 ⇒ 𝑥 < 6,1 
(𝑖𝑖) 𝑥 − 6 < 0 ⇒ 𝑥 < 6 
−(𝑥 − 6) < 0,1 ⇒ −𝑥 + 6 < 0,1 ⇒ 6 − 0,1 < 𝑥 ⇒ 𝑥 > 5,9 
𝑆 = (5,9; 6,1) 
(𝑒) |𝑥 + 5| ≥ 2 
(𝑖) 𝑥 + 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −5 
𝑥 + 5 ≥ 2 ⇒ 𝑥 ≥ 2 − 5 ⇒ 𝑥 ≥ −3 
(𝑖𝑖) 𝑥 + 5 < 0 ⇒ 𝑥 < −5 
−(𝑥 + 5) ≥ 2 ⇒ −𝑥 − 5 ≥ 2 ⇒ −5 − 2 ≥ 𝑥 ⇒ 𝑥 ≤ −7 
𝑆 = (−∞, −7] ∪ [−3, ∞) 
(𝑓) |𝑥 + 1| ≥ 3 
(𝑖) 𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −1 
𝑥 + 1 ≥ 3 ⇒ 𝑥 ≥ 3 − 1 ⇒ 𝑥 ≥ 2 
(𝑖𝑖) 𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < −1 
−(𝑥 + 1) ≥ 3 ⇒ −𝑥 − 1 ≥ 3 ⇒ −1 − 3 ≥ 𝑥 ⇒ 𝑥 ≤ −4 
𝑆 = (−∞, −4] ∪ [2, ∞) 
(𝑔)| 2𝑥 − 3| ≤ 0,4 
(𝑖) 2𝑥 − 3 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝑥 ≥ 3 2⁄ 
2𝑥 − 3 ≤ 0,4 ⇒ 2𝑥 ≤ 0,4 + 3 ⇒ 2𝑥 ≤ 3,4 ⇒ 𝑥 ≤ 1,7 
(𝑖𝑖) 2𝑥 − 3 < 0 ⇒ 2𝑥 < 3 ⇒ 𝑥 < 3 2⁄ 
−(2𝑥 − 3) ≤ 0,4 ⇒ 2𝑥 − 3 ≥ −0,4 ⇒ 2𝑥 ≥ −0,4 + 3 ⇒ 2𝑥 ≥ 2,6 ⇒ 𝑥
≥ 1,3 
𝑆 = [1,3; 1,7] 
(ℎ) |5𝑥 − 2| < 6 
(𝑖) 5𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 5𝑥 ≥ 2 ⇒ 𝑥 ≥ 2 5⁄ 
5𝑥 − 2 < 6 ⇒ 5𝑥 < 6 + 2 ⇒ 5𝑥 < 8 ⇒ 𝑥 < 8 5⁄ 
(𝑖𝑖) 5𝑥 − 2 < 0 ⇒ 5𝑥 < 2 ⇒ 𝑥 < 2 5⁄ 
−(5𝑥 − 2) < 6 ⇒ −5𝑥 + 2 < 6 ⇒ 2 − 6 < 5𝑥 ⇒ 𝑥 > − 4 5⁄ 
𝑆 = −
4
5
,
8
5
 
(𝑖) 1 ≤ |𝑥| ≤ 4 
(𝑖) 𝑥 ≥ 0 ⇒ 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 
(𝑖𝑖) 𝑥 < 0 ⇒ 1 ≤ −𝑥 ≤ 4 ⇒ −4 ≤ 𝑥 ≤ −1 
𝑆 = [−4, −1] ∪ [1, 4] 
(𝑗) 0 < |𝑥 − 5| < 1 2⁄ 
(𝑖) 𝑥 − 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 5 
0 < 𝑥 − 5 < 1 2⁄ ⇒ 5 < 𝑥 < 11 2⁄ 
(𝑖𝑖) 𝑥 − 5 < 0 ⇒ 𝑥 < 5 
0 < −(𝑥 − 5) < 1 2⁄ ⇒ 0 < −𝑥 + 5 < 1 2⁄ ⇒ −5 < −𝑥 < − 9 2⁄ 
5 > 𝑥 > 9 2⁄ ⇒ 9 2⁄ < 𝑥 < 5 
𝑆 = (9 2⁄ , 11 2⁄ ) 
 
9. Isole 𝑥, supondo que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sejam constantes positivas. 
 
(𝑎) 𝑎(𝑏𝑥 − 𝑐) ≥ 𝑏𝑐 ⇒ 𝑎𝑏𝑥 − 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 ⇒ 𝑎𝑏𝑥 ≥ 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ⇒ 𝑥
≥
(𝑎 + 𝑏)𝑐
𝑎𝑏
 
(𝑏) 𝑎 ≤ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 2𝑎 ⇒ 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏𝑥 < 2𝑎 − 𝑐 ⇒
𝑎 − 𝑐
𝑏
≤ 𝑥 <
2𝑎 − 𝑐
𝑏
 
 
10. Isole 𝑥, supondo que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sejam constantes negativas. 
 
(𝑎) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑐 − 𝑏 ⇒ 𝑥 >
𝑐 − 𝑏
𝑎
 
(𝑏) 
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐
≤ 𝑏 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑏𝑐 ⇒ 𝑎𝑥 ≥ 𝑏𝑐 − 𝑏 ⇒ 𝑥 ≤
𝑏(𝑐 − 1)
𝑎
 
 
11. Suponha que |𝑥 − 2| < 0,01 e |𝑦 − 3| < 0,04. Use a Desigualdade 
Triangular para mostrar que |(𝑥 + 𝑦) − 5| < 0,05. 
|(𝑥 + 𝑦) − 5| = |(𝑥 − 2) + (𝑦 − 3)| 
Seja 𝑎 = 𝑥 − 2 e 𝑏 = 𝑦 − 3, |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| implica que: 
|(𝑥 − 2) + (𝑦 − 3)| ≤ |𝑥 − 2| + |𝑦 − 3| 
Ao somar |𝑥 − 2| < 0,01 e |𝑦 − 3| < 0,04, temos: 
|𝑥 − 2| + |𝑦 − 3| < 0,01 + 0,04 = 0,05 
Logo, |(𝑥 + 𝑦) − 5| < 0,05. 
 
12. Mostre que se |𝑥 + 3| < 1 2⁄ , então |4𝑥 + 13| < 3. 
Resolvendo |𝑥 + 3| < 1 2⁄ : 
(𝑖) 𝑥 + 3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −3 
𝑥 + 3 < 1 2⁄ ⇒ 𝑥 < 1 2⁄ − 3 ⇒ 𝑥 < − 5 2⁄ 
(𝑖𝑖) 𝑥 + 3 < 0 ⇒ 𝑥 < −3 
−(𝑥 + 3) < 1 2⁄ ⇒ −𝑥 − 3 < 1 2⁄ ⇒ −3 − 1 2⁄ < 𝑥 ⇒ 𝑥 > − 7 2⁄ 
𝑆 = (− 7 2⁄ , − 5 2⁄ ) 
Resolvendo |4𝑥 + 13| < 3: 
(𝑖) 4𝑥 + 13 ≥ 0 ⇒ 4𝑥 ≥ −13 ⇒ 𝑥 ≥ − 13 4⁄ 
4𝑥 + 13 < 3 ⇒ 4𝑥 < 3 − 13 ⇒ 4𝑥 < −10 ⇒ 𝑥 < − 5 2⁄ 
(𝑖𝑖) 4𝑥 + 13 < 0 ⇒ 4𝑥 < −13 ⇒ 𝑥 < − 13 4⁄ 
−(4𝑥 + 13) < 3 ⇒ −4𝑥 − 13 < 3 ⇒ −13 − 3 < 4𝑥 ⇒ 4𝑥 > −16 ⇒ 𝑥
> −4 
𝑆 = (−4, − 5 2⁄ ) 
Como 𝑆 está contido em 𝑆 , ou seja, 𝑆 ⊂ 𝑆 , todos os valores de 𝑥 que 
tornam |𝑥 + 3| < 1 2⁄ verdadeira também tornam |4𝑥 + 13| < 3 
verdadeira. Portanto, conclui-se que: 
|𝑥 + 3| < 1 2⁄ ⇒ |4𝑥 + 13| < 3. 
 
13. Mostre que se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 < < 𝑏.b 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 2𝑎 − 𝑎 < 𝑏 ⇒ 2𝑎 < 𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑎 <
𝑎 + 𝑏
2
 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 < 2𝑏 − 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑏 < 2𝑏 ⇒
𝑎 + 𝑏
2
< 𝑏 
Logo, 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 < < 𝑏. 
 
14. Use a Regra (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 > 0) ⇒ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 para comprovar a Regra 0 <
𝑎 < 𝑏 ⇒ 1 𝑎⁄ > 1 𝑏⁄ . 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 ×
1
𝑎
×
1
𝑏
< 𝑏 ×
1
𝑎
×
1
𝑏
⇒
1
𝑏
<
1
𝑎
⇒
1
𝑎
>
1
𝑏
 
 
15. Demonstre que |𝑎𝑏| = |𝑎| × |𝑏|. 
Assumindo 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0, 𝑎𝑏 > 0: 
|𝑎𝑏| = 𝑎𝑏 = |𝑎||𝑏| 
Assumindo 𝑎 > 0 e 𝑏 < 0, 𝑎𝑏 < 0: 
|𝑎𝑏| = −𝑎𝑏 = 𝑎 × (−𝑏) = |𝑎||𝑏| 
Assumindo 𝑎 < 0 e 𝑏 > 0, 𝑎𝑏 < 0: 
|𝑎𝑏| = −𝑎𝑏 = (−𝑎) × 𝑏 = |𝑎||𝑏| 
Assumindo 𝑎 < 0 e 𝑏 < 0, 𝑎𝑏 > 0: 
|𝑎𝑏| = 𝑎𝑏 = (−𝑎) × (−𝑏) = |𝑎||𝑏| 
 
16. Demonstre que =
| |
| |
. 
Assumindo 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0, > 0: 
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
=
|𝑎|
|𝑏|
 
Assumindo 𝑎 > 0 e 𝑏 < 0, < 0: 
𝑎
𝑏
= −
𝑎
𝑏
=
𝑎
−𝑏
=
|𝑎|
|𝑏|
 
Assumindo 𝑎 < 0 e 𝑏 > 0, < 0: 
𝑎
𝑏
= −
𝑎
𝑏
=
−𝑎
𝑏
=
|𝑎|
|𝑏|
 
Assumindo 𝑎 < 0 e 𝑏 < 0, > 0: 
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
=
−𝑎
−𝑏
=
|𝑎|
|𝑏|
 
 
17. Demonstre que se 0 < 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 < 𝑏 . 
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑎 < 𝑎𝑏 𝑒 𝑎𝑏 < 𝑏 ⇒ 𝑎 < 𝑏 
 
18. Demonstre que |𝑥 − 𝑦| ≥ |𝑥| − |𝑦|. [Dica: Use a Desigualdade 
Triangular com 𝑎 = 𝑥 − 𝑦 e 𝑏 = 𝑦.] 
|(𝑥 − 𝑦) + 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦| ⇒ |𝑥| − |𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| ⇒ |𝑥 − 𝑦|
≥ |𝑥| − |𝑦| 
 
19. Mostre que a soma, a diferença e o produto dos números racionais são 
números racionais. 
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 números inteiros. Define-se 𝑥 = 𝑎 𝑏⁄ e 𝑦 = 𝑐 𝑑⁄ . 
𝑥 + 𝑦 =
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑑
+
𝑏𝑐
𝑏𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
𝑥 − 𝑦 =
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑑
−
𝑏𝑐
𝑏𝑑
=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
𝑥 × 𝑦 =
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
Um número racional é um número que pode ser escrito como a razão de 
dois inteiros. Se 𝑥 e 𝑦 são racionais, pode-se dizer que 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 e 𝑥 × 𝑦 
também o são. 
 
20. A soma de dois números irracionais é sempre irracional? 
Não. Um exemplo pode ser oferecido como contraprova: 
√2 + −√2 = √2 − √2 = 0 ∈ ℚ 
 
21. O produto de dois números irracionais é sempre irracional? 
Não. Um exemplo pode ser oferecido como contraprova: 
√2 × √2 = √2 × 2 = √4 = ±2 ∈ ℚ 
 
REFERÊNCIAS: 
 
STEWART, James. Cálculo. Tradução: EZ2 Translate. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013. v. 1.