desigualdades e inequações

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Desigualdades 
Uma desigualdade é uma relação entre duas quantidades ou expressões, o que indica que eles têm valor 
diferente. Isto é, ao contrário do que acontece em uma igualdade. 
Na desigualdade, os termos são relacionados por um símbolo de "maior que" (>) ou "menor que" (<). Há também 
outros derivados destes dois. Se qualquer um desses símbolos é acompanhado por uma linha horizontal abaixo 
significa "maior ou igual a" (

) ou "menor ou igual a" (

), respectivamente. Um exemplo de desigualdade 
é: 2 x + 7 <19 que é lido como "2 x + 7 é menor que 19". 
 
Propriedades das desigualdades: 
I- Uma desigualdade não se altera quando somamos ou subtraímos um mesmo número a ambos de seus membros. 
II- Uma desigualdade não se altera quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo 
número positivo. 
III- Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um 
mesmo número negativo. 
 
Intervalos 
 Intervalo limitado 
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais à a e menores ou iguais à b. 
 
Intervalo: [a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b. 
 
Intervalo: ]a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b} 
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais à a e menores do que b. 
 
Intervalo: [a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b} 
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e menores ou iguais à b. 
 
Intervalo: ]a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b} 
 Intervalos ilimitados 
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores ou iguais à b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b] 
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b} 
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores que b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b} 
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou iguais à a. 
 
Intervalo: [a,+∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a} 
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a. 
 
Intervalo: ]a, +∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x>a} 
Reta numérica: Números reais. 
 
Intervalo: ] ∞- ,+∞ [ 
Conjunto: R 
Inequação 
Uma inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas. 
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes 
formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
Exemplos: 
-2x + 7 > 0 
x - 10 ≤ 0 
2x + 5 ≤ 0 
12 - x < 0 
Resolução de uma inequação do 1º grau 
A resolução é feita da mesma forma como resolvemos uma equação do 1º grau. A única diferença é quando 
necessitamos multiplicá-la ou dividi-la por um número negativo. Neste caso, utilizamos a 3ª propriedade acima. 
Exemplos: 
2x + 6 > 2 4x – 5 > 3 + 2x 2x + 3 < 5x + 6 9x + 4 – 3x ≤ 5 + x 
2x > 2 – 6 4x – 2x > 3 + 5 2x – 5x < 6 – 3 6x – x ≤ 5 – 4 
2x > – 4 2x > 8 – 3x <3 .( –1) 5x ≤ 1 
x > –4/2 x > 8/2 3x > –3 x ≤ 1/5 
x > –2 x > 4 x > –3/3 
 x > –1 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o 
seguinte procedimento: 
1. Iguala-se a expressão ax + b à zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme o caso. 
Exemplo 1: 
-2x + 7 > 0 
-2x + 7 = 0 
x = 7/2 
 
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes 
formas: 
ax² + bx + c > 0; 
ax² + bx + c < 0; 
ax² + bx + c ≥ 0; 
ax² + bx + c ≤ 0. 
Para resolvermos uma inequação do 2º grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação. 
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero; 
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x. 
)..4( 2 cab 
 e depois 







 

a
b
x
.2
 
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades: 
a > 0 a < 0 
 
Exemplos: 
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
 
Solução: ∈ 
 
 
 
 
Resolva a inequação –2x² – x + 1 ≤ 0 
Solução: 
–2x² – x + 1=0 
x’=-1 
x”=1/2 
 
1/{  xRxS
e 
}2/1x
 
 
Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0. 
 
 S = ∈ 
 
 
 
Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0. 
 S = ∈ 
 
 Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0. 
Solução: 
-x² + 4 = 0. 
x² - 4 = 0. 
x1 = 2 
x2 = -2 
 
Inequação Modular 
No estudo do número modular, o módulo consiste no valor absoluto de um número (x) e é indicado com | x |, o 
número real não negativo que satisfaz: 
 
 
 
Contudo, iremos estudar desigualdades envolvendo números modulares, consistindo, então, nas inequações 
modulares. 
Vejamos, de maneira geral, tal situação para um valor k (real positivo). 
 
 
 
Conhecendo essa propriedade, somos capazes de solucionar as inequações modulares. 
Outras Propriedades 
Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas propriedades: 
 
  xxMy
y
x
y
x
M
xxMyxxyM
xxMxxM



2
22
603
0052
41
22
22
10
9
8
7
yxyxM
axaxM
yxouyxyxM
axouaxaxM




 
 
Exemplo 1) Resolva a inequação |x – 3|< 6. 
Pela propriedade, temos que: 
 
 
Exemplo 2) Resolva a inequação: |3x – 3| ≥ 2x + 2. 
Precisamos determinar os valores do módulo, com isso, temos: 
 
 
Sendo assim, teremos duas possibilidades para a inequação. Portanto, deveremos analisar duas inequações. 
1ª possibilidade: 
 
 
Fazendo a intersecção das inequações (3) e (4), obtemos o seguinte conjunto solução: 
 
2ª possibilidade: 
 
 
Fazendo a intersecção das inequações (5) e (6), obtemos o seguinte conjunto solução: 
 
 
Portanto, a solução é dada pela união das duas soluções obtidas: 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Nesse caso, devemos procurar os valores de x que satisfaçam a duas desigualdades: 
 
 
e 
 
Assim, precisamos resolvê-las e, para descobrir os valores de x, verificando as duas ao mesmo tempo, faremos a 
intersecção das soluções: