ENSINO DE SÉRIE COM APLICAÇÃO NA SÉRIE DE FOURIER

Prévia do material em texto

ENSINO DE SÉRIE COM APLICAÇÃO NA SÉRIE DE FOURIER
ENSINO DE SÉRIE COM APLICAÇÃO NA SÉRIE DE FOURIER
Resumo
A Série de Fourier possui um vasto campo de aplicações em diferentes áreas do conhecimento, como nas Engenharias, na Física e na Matemática. Além dessa importância na área científica clássica, a Série de Fourier também auxiliou no desenvolvimento da música. Matematicamente podemos “manipular” uma nota musical através do desenvolvimento de uma Série de Fourier. Assim, este estudo abrange uma aplicação da Série de Fourier envolvendo ondas sonoras e, aproveitando a similaridade com o tema, também aborda a relação Música e Matemática, uma vez que a música pode ser vista como uma série de fenômenos ondulatórios. 
Os conceitos que embasam o estudo estão compilados a partir do estudo teórico. Através destes propomos uma aplicação prática: captar uma onda sonora de um instrumento musical e realizar seu desenvolvimento em Série de Fourier, encontrando assim a análise e síntese do som emitido. A partir desta experiência e embasados pelo conhecimento teórico, pelas relações matemáticas que regem o comportamento da escala musical contemporânea e pelas características físicas das ondas sonoras, foi proposta uma alteração na construção da Viola Brasileira (Viola Caipira), instrumento acústico tipicamente brasileiro, visando melhorar o desempenho sonoro deste. 
O som capturado para o estudo e desenvolvimento da situação prática (Aplicação) da Série de Fourier também foi extraído a partir da excitação de uma corda da Viola Brasileira e os resultados confirmaram a aplicabilidade da Série de Fourier na análise e síntese do som. O trabalho propiciou ao autor desenvolver uma nova proposta na construção de instrumentos musicais com caixa acústica, baseado nos resultados obtidos matematicamente. 
ENSINO DE SÉRIE COM APLICAÇÃO NA SÉRIE DE FOURIER
Séries Matemáticas
A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.
O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Física VI, 239 b 9 se consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.
O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante ) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.
No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de . Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.
Série de Fourier
No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.
A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.
Atualmente, diante da competitividade entre as empresas, está se tornando cada vez mais comum o uso da modelagem matemática para aperfeiçoar processos e resolver problemas. A empresa ou administrador que ignora essa realidade pode acabar não sendo competitivo ou ter dificuldades no mercado. 
A matemática tem este papel de aperfeiçoar processos desde os primeiros tempos. Apesar de muitas vezes o estudo matemático aparecer descaracterizado, a matemática surgiu e desenvolveu-se para solucionar problemas. 
É com este intuito que nos dedicamos aqui ao estudo da Série de Fourier. No entanto, o que é uma Série de Fourier? Qual é a sua importância? 
Basicamente, a Série de Fourier é uma expressão matemática para descrever fenômenos ondulatórios. Trata-se de um assunto fascinante que passou despercebido por grandes matemáticos, até que Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), com sua astúcia, conseguisse descrever uma função mais ou menos complicada em uma forma “simples” de visualizar e manipular. Também podemos destacar que a Série de Fourier vai além do que outras séries ou métodos são capazes. Figueredo (1977, p. 1) responde a pergunta do por que estudar Séries de Fourier da seguinte maneira:”[...] Estudaremos o problema da condução do calor numa barra. Na tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática que aprendemos nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de Equações diferenciais, e chegaremos à conclusão que ela é insuficiente [...] a resolução desse problema requer algo a mais, e esse algo a mais é a série de Fourier”. 
Segundo o site www.seara.ufc.br, “Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação devesse se dar por ondas de calor”. No entanto, a dimensão do resultado encontrado por Fourier em sua Série vai muito além disso. 
A demonstração da solução desse problema físico delimitou novas fronteiras na matemática e, como se isso já não fosse o bastante, ajudou a responder outras questões físicas envolvendo ondas. Entre outras curiosidades, de acordo com Abdounur (2006, p. 267), “a Série de Fourier respondeu com firmeza uma dúvida levantada por Pitágoras no século VI a.C”, a respeito do estudo feito por este famoso matemático que envolvia a relação entre música e matemática. Dessa forma, como podemos observar, a descoberta feita por Fourier é de grande relevância para o nosso dia-a-dia. Seja para aplicar o conhecimento para a resolução de um problema ou para aguçar ou despertar o interesse e a curiosidade neste ramo da matemática. 
O estudo da Série de Fourier, por si só já é envolvente. No entanto, buscamos aproximar a Matemática envolvida com um tema interessante e cativante para muitos, que é a Música, respondendo questões como: Como fazer uma aplicação da Série de Fourier envolvendo ondas sonoras? Quais as relações matemáticas que regem a frequência das notas musicais? 
Se olharmos a música matematicamente, veremos uma série de fenômenos ondulatórios e uma “dança de logaritmos”. Música é essencialmente Matemática! Assim, o objetivo que orientou nosso estudo foi aplicar a série de Fourier a uma onda sonora. Fazendo isso, buscamos sempre explicitar as relações existentes entre música e matemática. 
Definição de Séries Matemáticas:
Em matemática, o importância de série, ou ainda, série infinita, surgiu da experimento de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos. Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:
Nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
Não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
Algumas séries possuem soma infinita.
Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgirno século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos  da seguinte forma: 
Define-se a soma  de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:
Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:
Esta definição nos permite escrever:
 para todo 
A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação. É claro que:
Tipos Importantes de Séries:
Série geométrica
A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
É fácil ver que se  então esta série é convergente e sua soma é dada por:
ou, como é mais usual:
Série harmônica
A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:
Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:
E substitua nas somas parciais:
Simplificando os termos repetidos temos:
Série alternada
Chama-se série alternada toda a série da forma:
Um exemplo de Série Alternada é:
Que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.
Série telescópica
Chame-se série telescópica toda série cujos termos  possam ser escritos como:
, onde  é outra progressão numérica. Um exemplo de série telescópica é:
Observe que aqui
É fácil ver que: e, portanto:  é convergente se e somente se existe o limite 
Definição Série de Fourier:
Jean Baptiste Joseph Fourier chegou até suas séries trigonométricas quando em por volta de 1807 estudava a propagação de calor em corpos sólidos. No entanto, somente em 1822 ele publicou sua Théorie analytique de la chaleur, que significa Teoria Analítica do Calor. Desenvolvendo seu estudo, Fourier obteve um resultado que passou despercebido por gênios de sua época como Bernoulli e Euler. 
Apesar de carente no rigor formal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. Vejamos um exemplo de função que pode ser descrita como uma Série de Fourier: (esta função também é conhecida como onda quadrada).
A Série de Fourier encontrada a partir desta função é
A próxima figura, criada usando o software MatLab, representa a expansão da Série de Fourier da expressão (1) para os primeiros 5 termos:
Percebe-se da Figura acima que a aproximação aumenta conforme aumenta número de termos da Série. Assim, através do que a Série de Fourier nos permite, podemos decompor uma onda sonora complexa isolando seus harmônicos ou sons fundamentais.
Metodologia e Recursos
A Aula será com o conteúdo histórico, definições e aplicação, com duração prevista de 50 minutos, com a utilização da lousa e do multimídia para a utilização do software Matlab para termos uma melhor visualização dos gráficos obtidos.
Para desenvolver este estudo, utilizamos a seguinte metodologia: realizamos uma pesquisa de cunho bibliográfica acerca da teoria abarcada na Série de Fourier, bem como no aprendizado dos conceitos musicais. 
Partindo deste estudo bibliográfico propomos uma aplicação da Série de Fourier “colhendo” uma onda sonora de um instrumento musical tipicamente brasileiro, conhecido como Viola Caipira ou, também, Viola Brasileira. Por fim, aproveitando o conhecimento teórico adquirido e conhecendo a estrutura do instrumento em estudo propomos pequenas alterações neste, tendo como pilar de sustentação da proposta as relações entre Música e Matemática.
Aplicação
Análise e síntese do som 
A onda escolhida para análise foi extraída a partir da execução da nota “Mi” na Viola Caipira. Fizemos a análise de somente uma corda. Porém, essa corda foi cuidadosamente escolhida, pois essa frequência é a mesma para 3 cordas do instrumento, ou seja, 30% do som emitido pela viola. 
Através de um programa de computador, Sony Sound Forge 9.0, sintetizamos a onda sonora de forma linear para podermos visualizá-la. A Figura abaixo mostra o espectro obtido com a captação do som.
Note que a onda tem uma forma bastante complexa. Assim a dedução da função que gera essa onda torna-se muito difícil. Dessa maneira, sendo nosso trabalho apenas “propositivo”, isolamos o primeiro, segundo e terceiro harmônicos da onda através da técnica dos harmônicos, obtendo a onda explícita na Figura abaixo. 
Assim, utilizando o software MatLab, conseguimos aproximar a onda através do Polinômio A Série de Fourier encontrada a partir do polinômio p(x) é:
A Figura abaixo representa a Série de Fourier f(x) (linha mais espessa) e o gráfico do polinômio p(x).
Analisando a Figura acima, que representa a Série de Fourier, inferimos que ela descreve com precisão satisfatória, a onda captada do instrumento.
Referências
ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: o pensamento analógico na construção de significados. 4. ed. São Paulo: Escrituras, 2006. 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
ARAÚJO, Alceu Maynard de. História da Viola Caipira [200-]. Transcrito da Revista 
Sertaneja 1958. Disponível em: http://www.abcmusical.com.br/viola.html. Acesso em: 25 jun. 2010.
As séries de Fourier: Como representar qualquer função matemática – Universidade Federal do Ceára - Disponível em: www.seara.ufc.br. Acesso em: 22 jan. 2010
AVILA, Geraldo. As Séries Infinias. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
- 3O. SBM. São Paulo. 1996. 
EDWARDS JÚNIOR, C. H; PENNEY, David E. Equações Diferenciais e lementares: com Problemas de Contorno. 3. ed. Rio de Janeiro: PHB,1995. 
ESCOLA SECUNDÁRIA GARCIA DE ORTA. Matemática e a Música- [200-]. Disponível em: http://www.musicaeadoracao.com.br/tecnicos/matematica/matema tica musica/index. htm. Acesso em: 05 jun. 2010. 
FIGUEREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1977.
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2002. 
Presidente Prudente, 2013
Página 12
Página 13