ListaExercicios-1-Analise-Graduacao-v4

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Primeira lista de Exerćıcios - versão 4
Análise Matemática
5952022
Supremo e Ínfimo
1. Sejam X,Y ⊂ R dois conjuntos limitados, definimos o conjunto
X + Y = {x+ y : x ∈ X, y ∈ Y }.
Prove que sup(X + Y ) = supX + supY e inf(X + Y ) = inf X + inf Y .
2. Sejam X,Y ⊂ R tais que x ≤ y para todo x ∈ X e para todo y ∈ Y .
[a)] Prove que supX ≤ inf Y .
[b)] Prove que supX = inf Y se, e somente se, para todo ε > 0, existem x ∈ X
e y ∈ Y tais que y − x < ε.
Sequências
1. Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N sequências de números reais. Se (xn)n∈N e (yn)n∈N são
monótonas e limitadas, então (xn)n∈N + (yn)n∈N é convergente ? Justifique.
2. Se xn −→ a, yn −→ b e |xn − yn| ≥ ε para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ ε.
Noções topológicas em R
1. Seja X ⊂ R. Prove que:
[a)] X ′ é um conjunto fechado
[b)] Dado a ∈ X ′ prove que existe uma sequência monótona (xn)n∈N em X tal
que xn → a.
2. Prove que se X ⊂ R é compacto então os seguintes conjuntos também são:
[a)] S = {x+ y : x, y ∈ X},
[b)] P = {xy : x, y ∈ X}.
3. [(a)] Seja (Fλ)λ∈L uma famı́lia qualquer de conjuntos fechados. Mostre
que F = ∩λ∈LFλ é um conjunto fechado.
[(b)] Sejam F1, F2, ..., Fn conjuntos fechados de R. Mostre que F1 ∪F2 ∪
... ∪ Fn é um conjunto fechado.
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Limites
1. Sejam f : X −→ R e a ∈ X ′. O limx→a f(x) existe se, e somente se, dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que x, y ∈ X com 0 < |x − a| < δ e 0 < |y − a| < δ, então
|f(x)− f(y)| < ε.
2. Sejam f, g : R −→ R definidas por f(x) = 0 se x é irracional e f(x) = x se x ∈ Q;
g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0. Mostre que limx→0 f(x) = 0 e limy→0 g(y) = 0,
porém não existe limx→0 g(f(x)).
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