Grandes Estruturas - Apostila V

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Grandes Estruturas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Dimensionamento e Detalhamento 
das Armaduras do Tabuleiro
 
 
• Exercitar o dimensionamento de armaduras;
• Apresentar o uso das tabelas de Rüsch;
• Apresentar a determinação dos esforços e envoltórias;
• Apresentar o dimensionamento e detalhamento das armaduras.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Uso das Tabelas de Rüsch;
• Determinação dos Esforços e Envoltórias;
• Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras.
Orientações de estudo
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formação acadêmica e atuação profissional, siga 
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da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
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No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
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pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
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para estudar.
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hidratado.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Introdução
As estruturas podem ser classificadas conforme a relação entre suas dimensões. 
Nessa classificação estrutural, as placas são definidas como sendo estruturas sólidas 
que são limitadas por duas superfícies simétricas em relação a uma superfície média 
plana, em que a distância entre essas duas superfícies, denominada espessura, é carac-
terizada por ter uma dimensão bem menor que as dimensões das superfícies limítrofes. 
As placas são elementos de superfície que pertencem à família das lâminas planas 
e são denominadas lajes quando são constituídas de material litoide, isto é, que têm 
aparência ou constituição de rocha.
Com relação às propriedades do material constituinte, as placas podem ser classi- 
ficadas em (Figura 1):
• Anisótropa: Apresentam propriedades diferentes em qualquer direção;
• Ortótropa: As propriedades são diferentes em direções ortogonais;
• Isótropa: Possuem as mesmas propriedades em qualquer direção.
Anisótropa Isótropa
Ortótropa
Classi�cação das
placas conforme o
material constituinte
Figura 1 – Classificação das placas conforme o material constituinte
Com relação à esbeltez (relação espessura/dimensão do menor lado = h/a), as 
placas podem ser classificadas em (Figura 2):
• Placas muito delgadas: h/a <1/150;
• Placas delgadas: 1/150 <h/a <1/10;
• Placas espessas: h/a >1/10.
Classi�cação das
placas conforme
sua esbeltez
Placas muito delgadasPlacas delgadas
Placas espessas
Figura 2 – Classificação das placas conforme sua esbeltez
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O cálculo dos esforços nas pontes e viadutos em laje pode ser feito por métodos 
elásticos ou pelo método de ruptura (Figura 3).
Métodos elásticos
Método de ruptura
Métodos de cálculo
dos esforçios em 
pontes de laje
Figura 3
Os Métodos Elásticos para o cálculo de esforços em pontes e viadutos são baseados
na Teoria das Placas de Kirchoff-Love, levando em conta a forma de distribuição das 
cargas do tráfego em retângulos ou em superfície (Figura 4).
Figura 4 – Distribuição das cargas do tráfego – Teoria das Placas Kirchoff -Love
O método de ruptura para o cálculo de esforços em pontes e viadutos é baseado 
na Teoria das Charneiras Plásticas, na qual é analisada a configuração de ruptura 
mais desfavorável.
A dificuldade do cálculo é identificar a posição das cargas que produzem as solici-
tações mais desfavoráveis na estrutura da ponte ou do viaduto. 
É possível utilizar soluções, como lajes sujeitas a cargas aplicadas em zonas retan-
gulares, usando a superposição de efeitos para diversas soluções (Figura 5).
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Figura 5 – Lajes com cargas aplicadas em zonas retangulares
Esse tipo de cálculo estrutural é demorado e trabalhoso. Por isso, foram desenvol-
vidos outros procedimentos para facilitar uma sistematização do processo de encon-
trar a posição mais desfavorável do trem-tipo, dentre os quais, pode-se citar o das 
superfícies de influência e o de Rüsch.
Uso das Tabelas de Rüsch
A maioria das estruturas é analisada com base nos seus comportamentos elásticos, 
mesmo nos casos em que ele apresenta algumas limitações de aplicação. 
O cálculo elástico das estruturas não permite que seja feita a determinação precisa 
da carga de ruína. Nessa condição, os materiais podem estar comportando-se plas-
ticamente e, dessa maneira, a estrutura não mais apresenta o comportamento linear 
previsto no cálculo elástico. 
Nesse modelo de cálculo estrutural, a Teoria Elástica levaria a soluções que não 
são econômicas, pois além de não corresponder a suas bases teóricas, não seria 
obtida a distribuição real de momentos na estrutura.
O cálculo estrutural com base na Teoria da Elasticidade descreve adequadamente 
o comportamento da estrutura em serviço, sendo apropriado para a análise das 
deformações e das fissuras, mas o cálculo elástico não permite a obtenção analítica 
da carga última.
Os métodos de cálculo elástico e o plástico são muito importantes e se completam 
no cálculo estrutural, servindo cada um deles a objetivos diferentes.
A Teoria das Charneiras Plásticas foi desenvolvida por Ingerslev em 1921 (Aage 
Ingerslev – Engenheiro Civil dinamarquês). Contudo, essa Teoria somente foi ade-
quadamente desenvolvida de forma analítica após ensaios realizados em 1941. 
As lajes são elementos estruturais bidimensionais ou de superfície. Nos casos 
comuns, o cálculo das suas solicitações, geralmente, é feito com base na Teoria Clássica 
de Placas, supondo que são compostas de material elástico e isotrópico.
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Para o cálculo de placas elásticas, existem diversas tabelas como, por exemplo, 
as Tabelas de Marcus e as Tabelas de Czerny, que são utilizadas no caso de carrega-
mento distribuído na superfície das lajes, principalmente, para as lajes de edificações. 
No caso das pontes e viadutos, as cargas móveis das rodas dos veículos mais pe-
sados atuam de forma concentrada e provocam solicitações que são preponderantes 
em relação às outras cargas atuantes. Para o cálculo de pontes e viadutos, na prática, 
é usual o emprego de outras Tabelas. 
As Tabelas mais conhecidas para o cálculo das lajes de pontes e viadutos foram 
desenvolvidas por H. Rüsch (Hubert Rüsch, Engenheiro Civil austríaco, 1904-1979). 
Ele desenvolveu suas Tabelas de Cálculo de lajes para o trem-tipo da norma alemã 
DIN-1072 (Pontes rodoviárias e passarelas; carregamentos – Road and foot bridges; 
design loads). 
Essas Tabelas são, geralmente,utilizadas no cálculo de lajes de pontes no Brasil 
porque a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) adotou em suas normas 
de cargas rodoviárias carregamentos com a mesma geometria das cargas de cálculo 
das normas alemãs.
A principal dificuldade no cálculo das lajes de pontes e viadutos é encontrar as 
posições da carga móvel que provocam os esforços mais desfavoráveis. 
Essas solicitações mais desfavoráveis podem ser determinadas com auxílio das 
Superfícies de Influência (SI). As Superfícies de Influência (SI) representam uma 
extensão do conceito de Linhas de Influência (LI) do espaço unidimensional para o 
espaço bidimensional das lajes.
O procedimento das Superfícies de Influência (SI) para as lajes é semelhante ao 
das Linhas de Influência (LI) nas estruturas de barras.
Para dimensionar qualquer tipo de estrutura, é necessário calcular os esforços 
internos e avaliar, para cada seção transversal, a situação mais desfavorável, isto é, a 
posição e o valor da ação atuante que irá provocar os esforços máximos e mínimos. 
No caso das pontes e dos viadutos, devido à ação das cargas móveis, ocorre grande 
variabilidade dos esforços internos, que são gerados pelas movimentações das cargas. 
Assim, em pontes e viadutos, além da intensidade das cargas móveis, deve-se veri-
ficar a posição em que se encontram, porque produzem valores máximos e mínimos 
dos esforços internos na seção transversal da estrutura.
Para a determinação dos efeitos e dos esforços das cargas móveis e acidentais em 
pontes e viadutos, devem ser consideradas várias combinações de ações, em todas as 
posições possíveis, para, posteriormente, calcular os esforços solicitantes em todas 
as seções da estrutura. 
Com isso, seria possível determinar os valores extremos atuantes, máximos e 
mínimos, dos esforços internos solicitantes na estrutura das pontes e dos viadutos 
(envoltória de esforços). 
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Esse trabalho é complexo e demorado. Por isso, é importante a utilização das Linhas 
de Influência (LI), que são muito úteis no cálculo desses esforços em pontes e viadutos.
Com a utilização das Linhas de Influência (LI) de um elemento estrutural, é possível 
determinar a reação de apoio, força cortante e momento fletor em uma determinada 
seção. Com essa análise, é possível considerar de maneira rápida os locais em que a 
carga móvel gera as solicitações máximas e mínimas.
A Superfície de Influência (SI) de um efeito elástico (E) (força cortante, momento 
fletor etc.) em uma determinada posição (S) da laje, representa o valor desse efeito 
elástico, naquele ponto (S) que é causado por uma carga concentrada unitária 
(P = 1) atuante em outro ponto (A) qualquer da laje. 
A Figura 6 apresenta a perspectiva da Superfície de Influência (SI) de um momento 
Mxm no centro de uma laje retangular, simplesmente apoiada em seu contorno. 
Figura 6 – Superfície de Influência (SI) de Mxm – Perspectiva 
A Figura 7 apresenta a planta baixa da Superfície de Influência (SI) de um momento 
Mxm no centro de uma laje retangular, simplesmente apoiada em seu contorno. 
Figura 7 – Superfície de Influência (SI) de Mxm – Planta Baixa
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A. Pucher (Adolf Pucher, Engenheiro Civil austríaco – 1902-1968) realizou vários 
trabalhos teóricos para o cálculo de Superfícies de Influência (SI), que são muito 
utilizados no cálculo de pontes e viadutos.
Os gráficos das curvas de nível representados nas Figuras 6 e 7 buscam obter, em 
um determinado local, o efeito considerado na análise. 
As ordenadas do gráfico da Superfície de Influência (SI), acima do plano de refe-
rência utilizado, crescem indefinidamente. Isso é uma consequência da solução obti-
da pela Teoria Elástica das Placas, que apresenta divergência no ponto de aplicação 
de cargas concentradas, que constituem locais de singularidade das soluções obtidas. 
Para melhor descrever o comportamento da Superfície de Influência (SI) nas ime-
diações das singularidades, Pucher utilizou uma expressão resolvente para o deslo-
camento da placa do tipo apresentado na Expressão (1).
 W (u, v, x, y) = W0(u, v, x, y) + W1(u, v, x, y) (1)
Onde: 
• u, v: Coordenadas do ponto no qual é procurado o efeito (momento, força cortante);
• x, y: Coordenadas dos pontos correntes da placa, em que se aplicam os carregamentos. 
A parcela W0 (u, v, x, y) é a parte singular da solução, e a parcela W1 (u, v, x, y) 
representa a parte regular da solução, destinada a atender às demais condições de 
cada problema. 
Esse processo é muito usado quando a geometria do veículo-tipo é bem diferente 
daquela existente nas normas alemãs e brasileiras.
O cálculo das solicitações nas lajes usando as Superfícies de Influência (SI) é 
um procedimento considerado simples e geral, porém sua aplicação envolve um 
significativo trabalho de cálculo, porque para uma mesma laje, deve ser verifi-
cadas as solicitações mais desfavoráveis em vários pontos, para dimensioná-la de 
maneira adequada.
As cargas devidas ao tráfego dos veículos nas pontes e nos viadutos são fixadas 
por Normas Técnicas. Por isso é possível, por meio de trabalho sistemático, a partir 
das Superfícies de Influência (SI), gerar e tabelar resultados numéricos para os tipos 
de lajes mais frequentemente utilizadas nos tabuleiros de pontes e viadutos.
No caso das lajes de pontes e de viadutos, Rüsch transformou as Superfícies de 
Influência (SI) em tabelas muito práticas, tendo como base o trem-tipo da norma 
alemã DIN-1072. 
Com a utilização das Tabelas de Rüsch, é possível a determinação das solicitações 
nas lajes que apresentam condições de contorno do tipo livres apoiados e engastados.
Para a utilização das Tabelas de Rüsch, no caso de lajes retangulares, utiliza-se o 
Livro 1 (Rechtwinklige) e, para lajes esconsas, o Livro 2 (Schiefwinklige).
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Rüsch apresenta, também, os diagramas de cobrimento de momentos fletores em 
toda a superfície da laje, a partir de valores máximos calculados no centro e nos bordos.
Para que fosse possível a utilização das Tabelas de Rüsch no cálculo das lajes de 
pontes e de viadutos no Brasil, as Normas Técnicas brasileiras de cargas adotaram 
veículos-tipo com dimensões e distribuição de carga nas rodas e em volta delas, 
iguais aos usados pela norma alemã.
Para uso das Tabelas, deve-se, inicialmente, definir as condições de apoio e a relação 
entre os lados da placa, assim como a direção do tráfego.
O mecanismo de aplicação das Tabelas de Rüsch permite acrescentar indicações 
sobre a influência de uma carga linear nos bordos não apoiados de placas com dois 
apoios, seja por meio de uma força cortante, ou de um momento fletor aplicado.
A partir das limitações encontradas nos cálculos utilizando as Tabelas de Rüsch, 
surgiu a necessidade de métodos mais elaborados e que representassem melhor 
o comportamento real das estruturas, sendo um deles o Método dos Elementos 
Finitos (MEF).
O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em discretizar os tabuleiros de 
pontes e viadutos por meio de elementos de barras, com os mesmos graus de liber-
dade das grelhas, e elementos de placa e chapa. 
O MEF é uma ferramenta de cálculo estrutural mais versátil para a modelagem 
matemática de estruturas. 
Determinação dos Esforços e Envoltórias
Para realizar o dimensionamento de uma estrutura, é necessário conhecer os 
esforços máximos e mínimos que ela será submetida, quando atuarem os diversos 
carregamentos possíveis, durante a sua vida útil. 
No caso de estruturas como pontes e viadutos, que são submetidos à ação de car-
gas móveis, existe um diagrama denominado envoltória de esforços, que determina 
os valores limites, máximo ou mínimo, para as seções transversais dessas estruturas 
com cargas móveis.
A Norma Técnica ABNT NBR 8681:2004 – Ações e segurança nas estruturas 
– Procedimento, as ações atuantes nas estruturas, que são as causas que pro- 
vocam esforços ou deformações,podem ser classificadas segundo sua variabilidade 
no tempo em três categorias:
• Ações permanentes;
• Ações variáveis;
• Ações excepcionais.
As pontes e viadutos, rodoviários e ferroviários, ou pórticos industriais que 
suportam pontes rolantes para transporte de cargas, são também, sujeitas a cargas 
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móveis, que são ações variáveis previstas na norma técnica ABNT NBR 8681:2004 
– Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Os esforços internos nestes 
tipos de estrutura não variam apenas com a intensidade das cargas aplicadas, mas 
também com a posição de atuação das mesmas. 
O projeto de um elemento estrutural sujeito a ações de cargas móveis, como uma 
viga de ponte, envolve a determinação das posições das cargas móveis que pro-
duzem valores extremos dos esforços nas seções do elemento analisado. 
No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posição de atuação de cargas 
acidentais de ocupação também influencia na determinação dos esforços de dimen-
sionamento. Por exemplo, o momento fletor máximo em uma determinada seção 
de uma viga contínua com vários vãos não é determinado pelo posicionamento da 
carga acidental de ocupação em todos os vãos. 
Os valores limites dos esforços em uma determinada seção são obtidos a partir de 
posições selecionadas para a atuação da carga acidental.
Para cada seção a ser dimensionada e para cada esforço, deve-se determinar 
as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os valores extremos 
(máximos e mínimos) de um determinado esforço, com o auxílio da técnica das Linhas
de Influência (LI).
As envoltórias limites de um determinado esforço em uma estrutura descrevem, 
para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores máximos e mínimos 
desse esforço em cada uma das seções da estrutura, de forma análoga a que descreve 
o diagrama de esforços para um carregamento fixo. 
O objetivo da análise estrutural em situações que ocorrem cargas móveis ou aci-
dentais é a determinação de envoltórias de máximos e mínimos de esforços (reações, 
forças cortantes, momentos fletores etc.), para que seja possível realizar adequada-
mente o dimensionamento das peças estruturais.
As envoltórias dos esforços são, em geral, obtidas por interpolação de valores
máximos e mínimos, respectivamente, de esforços calculados em determinado 
número de seções transversais ao longo da estrutura.
Exemplo de Cálculo de Envoltória de Esforços Solicitantes
• Determinar a envoltória de esforços de força cortante e momento fletor para a viga 
biapoiada com balanços em ambas as extremidades, em que atuam, simultanea-
mente, a carga permanente e a carga móvel (Figura 8). 
Na Figura 8, também, estão indicadas as seções adotadas para o cálculo dos 
valores limites das envoltórias. 
Observação: Devido à assimetria da estrutura em relação à seção (D), a obtenção dos 
valores limites será demonstrada apenas para as seções (A), (B), (C) e (D), visto que a 
envoltória da força cortante será antissimétrica e a de momento fletor será simétrica.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Figura 8 – Viga e carregamento do exemplo
Solução
Carga Permanente
O diagrama da força cortante e do momento fletor para a carga permanente estão 
apresentados na Figura 9;
Figura 9 – Diagrama de força cortante e de momento fletor – Carga permanente
Carga Móvel – Força Cortante
Cálculo das forças cortantes máximas e mínimas devido à carga móvel para cada 
seção transversal adotada da estrutura é feito com o posicionamento do trem-tipo 
nas posições mais desfavoráveis. 
O posicionamento do trem-tipo é feito com o auxílio da Linha de Influência (LI) 
para determinar os valores limites em cada seção.
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A Figura 10 apresenta a Linha de Influência (LI) da força cortante para a seção (A).
Figura 10 – Força cortante mínima e máxima – Seção (A)
• VA mínima = [20 × (–1,00)] = –20,00 kN;
• VA máxima = 0 → não atua a carga móvel.
A Figura 11 apresenta a Linha de Influência (LI) da força cortante para a seção 
(B) pelo lado esquerdo.
Figura 11 – Força cortante mínima e máxima – Seção (B) pelo lado esquerdo
• VBesquerda mínima = [20 × (–1,00) + 15 × (–1,00) + (10 × 3) × (–1,00)] = –65,00 kN;
• VBesquerda máxima = 0 → não atua a carga móvel.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
A Figura 12 apresenta a Linha de Influência (LI) da força cortante para a seção 
(B) pelo lado direito.
Figura 12 – Força cortante mínima e máxima – Seção (B) pelo lado direito
• VBdireita mínima = [20 × (–0,25) + (10 × 3/2) × (–0,25)] = –8,75 kN;
• VBdireita máxima = [20 × (1,00) + 15 × (0,75) + (10 × 12/2) × (1,00) + (10 × 3/2) 
× (0,25)] = 95,00 kN.
A Figura 13 apresenta a Linha de Influência (LI) da força cortante para a seção (C).
Figura 13 – Força cortante mínima e máxima – Seção (C)
• VC mínima = [20 × (–0,25) + (10 × 3/2) × (–0,25) + (10 × 3/2) × (–0,25)] = 
–12,50 kN;
• VC máxima = [20 × (0,75) + 15 × (0,50) + (10 × 9/2) × (0,75) + (10 × 3/2) × 
(0,25)] = 60,00 kN.
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A Figura 14 apresenta a Linha de Influência (LI) da força cortante para a seção (D).
Figura 14 – Força cortante mínima e máxima – Seção (D)
• VD mínima = [20 × (–0,50) + 15 × (–0,25) + (10 × 6/2) × (–0,50) + (10 × 3/2) 
× (–0,25)] = –32,50 kN;
• VD máxima = [20 × (0,50) + 15 × (0,25) + (10 × 6/2) × (0,50) + (10 × 3/2) × 
(0,25)] = 32,50 kN.
A Tabela 1 apresenta os resultados da força cortante máxima e mínima nas 
seções da estrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final das envoltó-
rias de força cortante.
Tabela 1 – Envoltória da Força Cortante (kN)
Seção
Carga 
Permanente
Carga Móvel Envoltórias
Mínimo Máximo Mínimo Máximo
A 0 − 20,00 0 − 20,00 0
Besq − 60 − 65, 00 0 − 125,00 − 60,00
Bdir + 120 − 8,75 + 95,00 + 111,25 + 215,00
C + 60 − 12,50 + 60,00 + 47,50 + 120,00
D 0 − 32,50 + 32,50 − 32,50 + 32,50
E − 60 − 60,00 + 12,50 − 120,00 − 47,50
Fesq − 120 − 95,00 + 8,75 − 215,00 − 111,25
Fdir + 60 0 + 65,00 + 60,00 + 125,00
G 0 0 + 20,00 0 + 20,00
Carga Móvel – Momento Fletor
Cálculo do momento fletor máximos e mínimos devidos à carga móvel para cada 
seção transversal adotada da estrutura. É feito com o posicionamento do trem-tipo 
nas posições mais desfavoráveis.
O posicionamento do trem-tipo é feito com o auxílio da Linha de Influência (LI), 
para determinar os valores limites em cada seção.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
A Figura 15 apresenta a Linha de Influência (LI) do momento fletor para a seção (A):
Figura 15 – Momento fletor mínimo e máximo – Seção (A)
• MfA mínimo = 0 → não atua a carga móvel;
• MfA máximo = 0 → não atua a carga móvel.
A Figura 16 apresenta a Linha de Influência (LI) do momento fletor para a seção (B):
Figura 16 – Momento fletor mínimo e máximo – Seção (B)
• MfB mínimo = [20 × (–3,00) + (10 × 3/2) × (–3,00)] = –105,00 kNm;
• MfB máximo = 0 → Não atua a carga móvel.
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A Figura 17 apresenta a Linha de Influência (LI) do momento fletor para a seção (C):
Figura 17 – Momento fl etor mínimo e máximo – Seção (C)
• MfC mínimo = [20 × (–2,25) + (10 × 3/2) × (–2,25) + (10 × 3/2) × (–0,75)] = 
–90,00 kNm;
• MfC máximo = [20 × (2,25) + 15 × (1,50) + (10 × 9/2) × (2,25) + (10 × 3/2) × 
(2,25)] = 202,50 kNm.
A Figura 18 apresenta a Linha de Influência (LI) do momento fletor para a seção (D):
Figura 18 – Momento fl etor mínimo e máximo – Seção (D)
• MfD mínimo = [20 × (–1,50) + (10 × 3/2) × (–1,50) + (10 × 3/2) × (–1,50)] = 
–75,00 kNm;
• MfD máximo = [20 × (3,00) + 15 × (1,50) + (10 × 6/2) × (3,00) + (10 × 6/2) × 
(3,00)] = 262,50 kNm.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
A Tabela 2 apresenta os resultados do momento fletor máximo e mínimo nas 
seções da estrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final das envoltórias 
de momento fletor.
Tabela 2 – Envoltória do Momento Fletor (kNm)
Seção
Carga 
Permanente
Carga Móvel Envoltórias
Mínimo Máximo Mínimo Máximo
A 0 0 0 00
B – 90 – 105,00 0 – 195,00 – 90,00
C + 180 – 90,00 + 202,50 + 90,00 + 382,50
D + 270 – 75,00 + 262,50 + 195,00 + 532,50
E + 180 – 90,00 +202,50 + 90,00 + 382,50
F – 90 – 105, 00 0 – 195,00 – 90,00
G 0 0 0 0 0
Conforme visto, para determinar os valores limites de esforços em uma seção 
transversal qualquer de estruturas sujeitas a cargas móveis, é necessário conhecer as 
posições de atuação do trem-tipo, que causam os esforços limites. 
Para casos mais simples de trem-tipo e Linhas de Influência (LI), como apresen-
tado no exemplo anterior, é praticamente intuitiva a determinação dessas posições 
limites. Porém, para casos mais complexos, torna-se impossível essa determinação 
por simples observação.
O problema da determinação das posições limites é um problema de otimização, 
em que o objetivo é minimizar e maximizar os valores dos esforços nas seções trans-
versais dos elementos estruturais, em função da posição de atuação do trem-tipo. 
Entretanto, não existe uma função matemática que descreva a envoltória de 
esforços de uma estrutura, o que torna impossível o uso da maioria dos métodos 
clássicos de otimização para resolver esse tipo de problema, vez que muitos deles 
utilizam ajustes para a simplificação do cálculo estrutural.
Dimensionamento e 
Detalhamento das Armaduras
O dimensionamento e o detalhamento das armaduras de pontes e viadutos devem 
seguir as prescrições da Norma Técnica brasileira ABNT NBR 6128:2014 – Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento.
Os aços devem ter coeficiente de ponderação de resistência γ = 1,15 e o concreto 
γ = 1,4. As ações devem ser ponderadas por coeficientes de ponderação próprio.
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As estruturas sujeitas à flexão devem ser subarmadas e, para isso, devem trabalhar 
nos domínios 2 ou 3.
A altura útil (d) é a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada, 
e a face comprimida da seção depende, principalmente, do cobrimento da armadura 
(Figura 19):
Figura 19 – Altura útil de vigas
Para a armadura longitudinal em uma única camada, a relação entre a altura total 
(h) e a altura útil (d) é dada pela expressão 2:
( )2
2
L
th d C
φφ= + + + 
 (2)
Onde:
• h: Altura da viga;
• d: Altura útil;
• C: Cobrimento;
• ϕt: Diâmetro da armadura transversal (estribos);
• ϕL: Diâmetro da armadura longitudinal (armadura de flexão).
O cobrimento (C) das armaduras depende da classe de agressividade do meio, que 
é indicada na Norma Técnica brasileira ABNT NBR 6128:2014 – Projeto de estrutu-
ras de concreto – Procedimento.
Afastamentos entre as Barras da Armadura Longitudinal
Os afastamentos horizontais (ah) e verticais (av) entre as barras que compõem a 
armadura longitudinal são vistos na Figura 20.
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Figura 20 – Afastamentos entre as barras da armadura longitudinal
Os afastamentos horizontais (ah) entre as barras que compõem a armadura longi-
tudinal são apresentados na Expressão 3:
 
( )
,
20
( ) 3
1,2
h
máx agregado
mm
a diâmetro da barra longitudinal
d
φ
 →
 ≥ → 
 → × 

 (3)
Os afastamentos verticais (av) entre as barras que compõem a armadura longitu-
dinal são apresentados na Expressão 4:
 
( )
,
20
( ) 4
0,5
v
máx agregado
mm
a diâmetro da barra longitudinal
d
φ
 →
 ≥ → 
 → × 

 (4)
O agregado graúdo (brita) tem seus diâmetros apresentados na Tabela 3:
Tabela 3 – Diâmetros dos agregados graúdos
Tipo de Brita Diâmetro – d (mm)
Brita 0 4,8 a 9,5
Brita 1 9,5 a 19
Brita 2 19 a 25
Brita 3 25 a 38
Armadura de Pele
A armadura de pele é uma armadura longitudinal posicionada na face das vigas, 
que tem como função aumentar a durabilidade das vigas de concreto armado, por 
meio do controle da fissuração por retração e do controle da abertura das fissuras da 
alma (Figura 21).
Devem ser utilizadas armaduras de pele nas vigas com a condição da expressão 5:
 ( )60 5h cm≥  (5)
24
25
A armadura de pele também não é necessária nas vigas de concreto armado que 
tenham uma armadura superior a 5 cm2/m por face.
A armadura de pele deve ser posicionada conforme a Figura 21:
Figura 21 – Posicionamento da armadura de pele
O afastamento entre as barras da armadura de pele é apresentado na Expressão 6:
( ),
20
6
3
15
máx agregado
L
mm
d
e
φ
→ 
 
 ≥ → 
 
→ ×  

 (6)
A área da armadura de pele é dada pela Expressão 7:
( ),,
0,10
7100
0,001
c alma
s pele
A
A
bh
 → ≥  
 → × 

 (7)
Armadura de Suspensão
A armadura de suspensão é uma armadura longitudinal posicionada nas proxi-
midades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou ele-
mentos discretos que nela se apoiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem 
nela pendurados.
A armadura de suspensão deve ser preferencialmente constituída de estribos, na 
altura completa da viga, concentrados na sua extremidade.
Para execução das armaduras é necessário elaborar as Plantas de Armadura, que 
informam todas as barras de aço que são utilizadas para compor as vigas (Figura 22).
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Figura 22 – Planta de Armaduras de Vigas
Cada barra longitudinal apresenta sua própria quantidade, número, bitola e com-
primento. Os estribos apresentam a sua quantidade, número, bitola, espaçamento e 
comprimento de cada um.
Na planta de armadura deve haver uma Tabela Resumo que indica, para cada tipo 
de aço utilizado na obra, o número da barra, a bitola, a quantidade, o comprimento 
unitário e o comprimento total para cada tipo de barra. 
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Leitura
NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimentos
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
NBR 6120: Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para 
o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980.
NBR 6123: Forças Devidas ao Vento em Edificações
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6123: Forças 
devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1988.
Análise Estrutural
KASSIMALI, A. Análise estrutural. São Paulo: Cengage Learning, 2016. (e-book)
Propriedades do Concreto
NEVILLE, A. M. Propriedades do concreto. 5.ed. Porto Alegre Bookman, 
2016. (e-book)
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UNIDADE Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras do Tabuleiro
Referências
NEVILLE, A. M. Tecnologia do concreto. 2.ed. Porto Alegre: Bookman. 2013. (e-book)
PORTO, T. B.; FERNANDES, D. S. G. Curso básico de concreto armado: 
conforme NBR 6118/2014. São Paulo: Oficina de Textos, 2015.
RECENA, F. P. Retração do concreto. Dados eletrônicos. Porto Alegre: 
EDIPUCRS, 2014.
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