Radiciação e suas propriedades

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RADICIAÇÃO:
Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resultado dessa multiplicação.
A notação usada para as raízes é a seguinte:
 
· a → Radicando;
· n → índice;
· b → raiz;
· √ → Radical;
Explicação: 
Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja: 
Exemplos:
· A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
 
Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.
Quando o índice não aparece, dizemos que a raiz será uma raiz quadrada, logo o índice será 2, porém não aparece.
· A raiz quadrada de 16 é igual a 4, pois 42 = 16.
√16= 4, pois 42= 16
· A raiz quadrada de 25 é igual a 5, pois 52 = 25.
√25= 5, pois 52= 25
· A raiz quadrada de 4 é igual a 2, pois 22 = 4.
√4= 2, pois 22= 4
· A raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois 32 = 9.
√9= 3, pois 32= 9
· A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
√36= 6, pois 62= 36
· A raiz quadrada de 49 é igual a 7, pois 72 = 49.
√49= 7, pois 72= 49
· A raiz quadrada de 64 é igual a 8, pois 82 = 64.
√64= 8, pois 82= 64
· A raiz quadrada de 81 é igual a 9, pois 92 = 81.
√81= 9, pois 92= 81
· A raiz quadrada de 100 é igual a 10, pois 102 = 100.
√100= 10, pois 102= 100
· A raiz quadrada de 1 é igual a 1, pois 12 = 1.
√1= 1, pois 12= 1
O que são os números quadrados perfeitos?
A definição de um número quadrado perfeito pode ser entendida como: um número natural inteiro positivo cuja raiz quadrada é, também, um número natural inteiro positivo.
Assim temos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 =6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10...
A fórmula do quadrado perfeito é representada por: n × n = a ou n2 = a. Desse modo, n é um número natural e a é um número quadrado perfeito.
Mas como calcular a raiz de um número grande?
Vamos utilizar o método da decomposição em fatores primos (Fatoração).
Segue os passos para encontrar as raízes de qualquer número natural: 
Vamos utilizar o número √36 como exemplo. 
· 1° passo: Fatorar o radicando;
36|2
18|2
 9|3
 3|3
1|
· 2° passo: Reagrupe os fatores primos cujo os expoentes seja igual ao índice. 
Como o índice da raiz quadrada de 36 é 2, agrupamos os fatores primos de dois a dois. Veja: 
36|2
18|2
 9|3
 3|3
 1|/ 22. 32
· 3° passo: Reescreva o radicando, nesse caso o 36, como o produto da sua decomposição em fatores primos dentro do radical. Veja o exemplo abaixo:
22. 32
· 4° passo: Podemos agora simplificar os expoente com o índice da raiz. Veja:
22.32
O que fizemos foi simplificar o índice com o expoente, em outras palavras dividimos o índice e o expoente por 2.
· 5° passo: Realizamos agora o produto entre as bases, perceba que a raiz sumiu ao simplificamos, é como se o 2 e 3 pulasse para fora da raiz. Logo, 2.3=6.
36= 6.
Determine :
Seguindo o 1º passos, temos: 
 8|2
 4|2
 2|2
1|
Aplicando o 2º passo, temos: 
 8|2
 4|2
 2|2
 1|/ 23
Aplicando o 3º passo, temos: 
23
Aplicando o 4º passo, temos: 
23
Logo, = 2, pois 23= 2.2.2=8.
Determine :
Seguindo o 1º passos, temos: 
 8|2
 4|2
 2|2
1|
Aplicando o 2º passo, temos: 
 8|2
 4|2
 2|2
 1|/ 22.2
Aplicando o 3º passo, temos: 
22.2
Aplicando o 4º passo, temos:
22.2
 2 Esse 2 pula para fora da raiz, mas esse 2 ele fica na raiz. Sendo assim, temos: 
 2
Logo, = 2
Determine :
Seguindo o 1º passos, temos: 
1024|2
 512|2
 256|2
 128|2
 64|2
 32|2
 16|2
 8|2
 4|2
 2|2
 1|
Aplicando o 2º passo, temos: 
1024|2
 512|2
 256|2
 128|2
 64|2
 32|2
 16|2
 8|2
 4|2
 2|2
 1|/ 22.22.22.22.22
Aplicando o 3º passo, temos: 
22.22.22.22.22
Aplicando o 4º passo, temos:v
22.22.22.22.22
Aplicando o 5º passo, temos:
2.2.2.2.2= 32
Logo, = 32, pois 322= 32.32= 1024.
Determine 
Seguindo o 1º passos, temos: 
1024|2
 512|2
 256|2
 128|2
 64|2
 32|2
 16|2
 8|2
 4|2
 2|2
 1|
Aplicando o 2º passo, temos: 
1024|2
 512|2
 256|2
 128|2
 64|2
 32|2
 16|2
 8|2
 4|2
 2|2
 1|/ 210
Aplicando o 3º passo, temos: 
10
Aplicando o 4º passo, temos:
10
Logo, = 2, pois 210= 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2=1024
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO:
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.
Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice:
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos: 
Potência de expoente radical:
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz.
Exemplos: 
Produto de raízes de índices iguais:
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Exemplos: 
Quociente de raízes de índices iguais:
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Exemplos: 
a)
= 
b)
 
Potência de uma raiz:
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.
Exemplos: 
Raiz de outra raiz:
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Exemplos: 
Simplificação de raízes:
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Q. 1
(Enem-Adaptado) 
 A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.
A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real. 
K= A . m2
A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:
	Animal
	Homem
	Macaco
	Gato
	Boi
	Coelho
	Constante k
	110
	81
	100
	90
	100
Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 9 m2.
Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:
a) Homem. 
b) Macaco.
c) Gato.
d) Boi.
e) Coelho
Q. 2
(Vitor Alberto Rocha)
A idade de Ana é dada pela expressão . É CORRETO afirmar que a idade de Ana é de:
a) 9 anos
b) 2 anos
c) 48 anos
d) 36 anos
e) 4 anos
Q. 3
(Vitor Alberto Rocha)
Perguntado sobre a idade de seu filho, um pai respondeu: A idade do meu filho é dada pela expressão ... Qual a idade do filho? 
a) 65 anos.
b) 13 anos.
c) 10 anos.
d) 9 anos.
e) 7 anos.
Q. 4
(Vitor Alberto Rocha)
Um carteiro perguntou para João qual era o número da casa de Pedro, João disse que número da casa de Pedro é dada pela expressão ... Pode-se afirmar que o número da casa de Pedro é:
a) 12.
b) 6.
c) 7.
d) 5.
e) 8.
Q. 5
A solução de “a metade de 222 multiplicado por 82/3/41/2” será:
a) 212
b) 42
c) 211
d) 220
e) 222
Q.6
(Big advice-2017-prefeitura de Martinópolis-Sp)
A alternativa que representa a raiz quadrada do número 3375 é:
a) 15
b) 15
c) 40
d) 58
e) 58
Q. 7
(Shidias-2014-Ceasa-Campinas)
Resolva:
(++)-(++)
a) R=11
b) R=10
c) R=9
d) R=8
Q.8
(Fundatec-2019-Prefeitura de Vila Lângaro-Rs)
O valor numérico da expressão
+++
a) 12.b) 16.
c) 18.
d) 20.
e) 22.
Q. 9
(Copese-UFT-2013-Prefeitura de Palmas-To)
O valor numérico da expressão: 23+24- é:
a) 18.
b) 22.
c) 24.
d) 28
Q. 10
(Vunesp-2018-Prefeitura de Sertãozinho-Sp)Adaptado
O gráfico a seguir mostra as notas das duas provas obtidas em língua portuguesa e matemática, nesse bimestre.
Seus professores afirmaram que, nesse bimestre, a média de matemática e de língua portuguesa será a raiz quadrada do produto de Mat1 x Mat2 e raiz quadrada do produto de LP1 x LP2. Dessa forma, a média de matemática desse aluno será:
a) Maior em 5 pontos que a média de língua portuguesa.
b) Maior em 1 pontos que a média de língua portuguesa.
c) Será igual a média de língua portuguesa.
d) Maior em 2 pontos que a média de língua portuguesa.
e) Menor em 1 pontos que a média de língua portuguesa.
Q. 11
(Objetiva-2015-Prefeitura de Tramandaí-RS)
O número é igual a: 
a) 3
b) 9
c) 18
d) 27
Q. 12
(Prefeitura de Cipotânea-MG)
Calcule: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Q. 13
(FCC-2016-SEDU-ES)
Sendo A=, B= e C=, o valor da expressão numérica é igual a
a) 
b) 
c) 7
d) 2
e) 24,5
Q. 14
(IESES-2014-GasBrasiliano)
O valor de é igual a:
a) 5.
b) 4.
c) 18.
d) 9.
Q. 15
(CONSESP-2012-Prefeitura de Quedas do Iguaçu-PR)
Calcule :
a) 100.
b) 20.
c) 50.
d) 5
Q. 16
(CONSESP-2012-Prefeitura de Quedas do Iguaçu-PR)
Qual é o valor da expressão:
+6-12+5
a) 1.
b) 3.
c) 2.
d) 0.
Q. 17
(SHDIAS-2015-IMA)
Qual é o resultado de 
a) 2.
b) 7.
c) .
d) .
Q. 18
(CONSESP-2012-Prefeitura de Ibitinga-SP)
 Efetue a divisão 
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 2.
Q. 19
(CONSESP-2011-Prefeitura de Presidente Venceslau-SP)
A radiciação é a operação inversa da 
a) Multiplicação.
b) Adição.
c) Potenciação.
d) Divisão.
Q. 20
Mariana tinha 121 balas ela prometeu dar a raiz quadrada de suas balas a seu primo Igor. Depois de dar as balas para seu primo, deu 27 balas a sua irmã mais nova. Com quantas balas ficou Mariana?
a) Mariana ficou com 94 balas.
b) Mariana ficou com 84 balas.
c) Mariana ficou com 93 balas.
d) Mariana ficou com 110 balas.
e) Mariana ficou com 83 balas.
Q. 21
Qual é o resultado de 
a) 2.
b) 6.
c) .
d) .
Q. 22
(CONSESP-2012)
Calcule 7-
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 2.
e) 5.
Q. 23
(CONSESP-2012-Prefeitura de Monte Mor-SP)
Qual a raiz quadrada exata do número 4225?
a) 24.
b) 2.
c) 65.
d) 48.
Q. 24
(VUNESP-2017-Prefeitura de Marilia-SP)
Ao realizar um cálculo, um profissional, que estava sem acesso a uma calculadora, chegou ao seguinte resultado: x=1/2. Após realizar corretamente as operações, esse profissional identificou que o valor de x é
a) 2.
b) 6culo, um profissional, que estava sem acesso a uma calculadora, chegou ao seguinte resultado: x= 4.
c) 8888888.
d) 16.
e) 32
Q. 25
O valor exato da raiz cúbica de 1728 é: 
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 25.
Q. 26
(INATEl)
Sendo A= e B=, calcule o valor de .
a) 5.
b) 3.
c) 1.
d) 2.
e) 6.
Q. 27
(UEL)
Qual o valor de x, se x é igual a ?
a) 1.
b) -1.
c) 2.
d) -2.
e) 3.
Q. 28
No programa Microsoft Office Excel 2010 podemos resolver cálculos com operadores matemáticos que envolvem radiciação, logo, a fórmula que representa a solução para calcular a raiz cúbica de , é:
a) 125.1/3.
b) .
c) 1251/3.
d) 3.1/125.
e) 31/125.
Q. 29
Enem-2012
Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k⋅m2/3, em que k é uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
a) .
b) 4.
c) .
d) 8.
e) 64.
Q. 30
Qual é o resultado de 
e) 2.
f) 5.
g) .
h) .
Q. 31
Qual é o resultado de 
a) 4.
b) 12.
c) .
d) .
Q. 32
Qual é o resultado de 
a) 5.
b) 2.
c) .
d) .
Q. 33
Efetue a divisão 
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 2
GABARITO:
 
 CURSO DE MATEMÁTICA COM VITOR 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA COM VITOR 
Vitormatematica7@gmail.com
Vitormatematica7@gmail.com
77 99131-1388
vitormatematica
___________________CURSO DE MATEMÁTICA COM VITOR__________________
Vitor Alberto Rocha-matemática 
 
1 
 
Vitor Alberto Rocha-matemática 
 
1 
 
---------------------------------------------------------------------------------
 “ Vitória sem luta, é triunfo sem glória” – Provérbio chinês 
Vitor Alberto Rocha-Matemática 
25 
 
Q. 01: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 02: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 03: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 04: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 05: Alternativa correta Letra: “E”
Q. 06: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 07: Alternativa correta Letra: “D” 
Q. 08: Alternativa correta Letra: “C” 
Q. 09: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 10: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 11: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 12: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 13: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 14: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 15: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 16: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 17: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 18: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 19: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 20: Alternativa correta Letra: “E”
Q. 21: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 22: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 23: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 24: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 25: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 26: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 27: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 28: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 29: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 30: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 31: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 32: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 33: Alternativa correta Letra: “B”