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5 Estudo de Funções: continuidade e diferenciabilidade
1. Mostre que a equação x3 − 4x2 + 1 = 0 tem, pelo menos, uma solução no intervalo [0, 2].
2. Considere a função, real de variável real, definida por
f(x) =
ex
ex − 2
(a) Calcule o domínio de f.
(b) Estude a continuidade de f.
(c) f é limitada? Justifique.
(d) Mostre que f(0).f(1) < 0.
(e) Podemos afirmar que a função f tem um zero no intervalo ]0, 1[? Justifique.
3. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =

x2 − 1
x2 − 9
, se x ≥ −2
ex + 1 , se x < −2
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f ′.
(d) Estude o sinal da função derivada f ′.
(e) Determine a equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
x = −3.
(f) Determine a função segunda derivada f ′′.
(g) Estude o sinal da função segunda derivada f ′′.
4. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) = ln(−x2 + 3x + 4)
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função.
(b) Determine a função derivada f ′.
(c) Estude o sinal da função derivada f ′.
(d) Determine a função segunda derivada f ′′.
(e) Estude o sinal da função segunda derivada f ′′.
5. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =

ln(x− 1) se x > 1
1− x2
2x2 − 1
, se x ≤ 1
1
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f ′.
(d) Estude o sinal da função derivada f ′.
(e) Determine a função segunda derivada f ′′.
(f) Estude o sinal da função segunda derivada f ′′.
6. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) = ln(ln2(x)− 1)
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine a função derivada f ′.
(c) Estude o sinal da função f ′.
7. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =

1
x4 − x2
, se x > −1
ex , se x ≤ −1
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude f quanto à continuidade.
(c) Mostre que a equação f(x)− 1
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= 0 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo ]2, 3[.
(d) Determine a função derivada f ′.
(e) Estude o sinal da função f ′.
8. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) = ln
(
1
x2
− 1
)
(a) Determine o domínio da função.
(b) Designando por A o domínio da função, determine: int(A), fr(A), ext(A), A′ e Ā.
(c) Determine a função derivada f ′.
(d) Estude o sinal da função f ′.
9. Dado k ∈ R, considere a função f real de variável real definida por
f(x) =
 arctg(sen(x)) , se x ≥ 0e−x + k , se x < 0
2
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine a constante k de forma que a função seja contínua no ponto x = 0.
(c) Considerando k = 0, determine a função derivada f ′. Estude o sinal da função f ′.
10. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =
 arcsen(x) se x ≥ 0e|x+3| , se x < 0
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f ′.
(d) Estude o sinal da função derivada f ′.
Na resolução do exercício pode usar, sem demonstrar, que lim
y→0
ey − 1
y
= 1.
11. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =
 xex , se x ≤ 0xln4(x) , se x > 0
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Mostre que a equação f(x) = 2 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo ]1, e[.
(d) Determine a função derivada f ′.
(e) Estude o sinal da função derivada f ′.
(f) Determine a função segunda derivada f ′′.
(g) Estude o sinal da função f ′′.
Na resolução do exercício pode usar, sem demonstrar, que lim
y→+∞
ey
yp
= +∞, p ∈ R.
12. Mostre que a equação
3x3 = 2− x
tem uma, e uma só, raiz em R.
13. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =
x
2
ln(x)
Prove, usando o teorema de Lagrange, a seguinte desigualdade:
x
2
ln(x) <
x2 − 1
2
, ∀x > 1.
3
14. Mostre que:
x
1 + x2
< arctg(x) < x, ∀x > 0.
15. Sejam f e g duas funções de classe C1 em R tais que f(x) = (x2 − 1)g(x). Prove que
∃c ∈ ]− 1, 1[ : f ′(c) = 0.
16. Seja h : R → R uma função de classe C2, com h′(0) = 1, e g : R → R a função definida
por
g(x) = h(ln(x2 + 1)).
Mostre que g′(0) = 0 e g′′(0) = 2.
17. Considere a função
f(x) = (x− 1)ln(x)− x.
Prove, por indução, que
f (n)(x) = (−1)n
(
(n− 2)!
xn−1
+
(n− 1)!
xn
)
, ∀n ∈ N \ {1}.
18. Considere a função
f(x) = sen2(x).
Prove, por indução, que
f (n)(x) = −(2)n−1cos
(
2x +
nπ
2
)
, ∀x ∈ R,∀n ∈ N.
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