Cálculo de Séries Numéricas

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2010−11 Ficha Prática 1 - Séries Numéricas AM2D
1. Calcule (em caso de convergência):
a.
+∞∑
n=1
1
3n
1
52n
1
7n+1
b.− 1
2
+
1
4
− 1
8
+
1
16
− . . .
c.
+∞∑
n=3
e−n−1 − e−n d.
+∞∑
n=1
3n − 5n
8n
e.
+∞∑
n=3
1
(n+ 3)(n+ 5)
f .
1
1 · 2 · 3
+
1
2 · 3 · 4
+
1
3 · 4 · 5
+ . . .
g.
+∞∑
n=1
√
k + 1−
√
k√
k2 + k
h.
1
1 · 3
+
1
3 · 5
+
1
5 · 7
+ . . .
2. Determine a natureza das seguintes séries.
No caso das séries de termos não positivos indique se a convergência é simples ou absoluta.
a.
∑ 1
1 + 3n
b.
∑
log
(
1 +
1
n2
)
c.
∑ n2
n2 + 3
d.
∑
sin2
(π
n
)
e.
∑ √n
2n+ 4
arcsin(1/n) f .
∑ 2011n
n!
g.
∑ 1− n2
n!
h.
∑ n
2n
i.
∑
cos(n)
(
1 +
1
2n
)−n2
j.
∑ 1
n
− e−n2
k.
∑(
1 +
3
n2
)n3
4−n
2
l.
∑ n√n
(n− 1)3 3
√
n4 + 1
m.
∑ (n− 1) 3√n5 + 2
(n3 − 4n+ 1)
√
n3 + 1
n.
∑ (−1)nnn
πnn!
o.
∑
(−1)n arctan
(
1
n
)
p.
∑
(−1)n 2n+ 1
(2n+ 1)2 + 1
3. Mostre que:
a. 2, (9) = 3.
b. 2, 43(9) = 2, 44.
4. Divergência da série harmónica
Neste exerćıcio, pretende-se provar a divergência da série harmónica
∑ 1
n
.
i. Utilizando as propriedades da função logaritmo, observe que a série de termo geral
an = log
(
n+ 1
n
)
é telescópica.
ii. Calcule SN =
N∑
n=1
an e deduza a natureza da série
∑
an.
iii. Calcule lim
n→∞
log
(
n+1
n
)
1
n
e conclua.
5. (Problema de exame, 2006/2007)
A. Pretende-se provar o seguinte resultado:
Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N duas sucessões de termos positivos tais que
∀n ∈ N, bn+1
bn
≤ an+1
an
. (1)
Então ∑
bn diverge ⇒
∑
an diverge .
Sejam pois duas sucessões (an)n∈N e (bn)n∈N que verificam (1).
i. Seja ωn =
bn
an
. Mostre que (ωn)n∈N é decrescente.
ii. Deduza da aĺınea anterior a existência de uma constante M ≥ 0 tal que
∀n ∈ N, ωn ≤M.
iii. Conclua.
B. Aplicação
Pretende-se determinar a natureza da série
∑
an, onde an =
2× 5× 8× · · · × (3n− 1)
3× 6× 9× · · · × (3n)
.
i. É posśıvel concluir pelo critério da razão?
ii. Escolhendo bn =
1
n
, conclua utilizando o resultado provado na parte A.
6. Seja (un)n∈N uma sucessão de termos positivos tal que
∑
un converge.
Mostre que a série de termo geral vn =
un
1 + un
converge.
Sugestão: calcule lim
n→+∞
vn
un
.
7. Considere as sucessões de termo geral un =
(−1)n
3n+ 1
e vn =
3
(6n+ 1)(6n+ 4)
.
i. Justifique que as séries
∑
un e
∑
vn são convergentes.
ii. Calcule para todo n ∈ N a quantidade u2n + u2n+1.
iii. Deduza que
+∞∑
n=0
un =
+∞∑
n=0
vn.
8.
i. Seja (un)n∈N uma sucessão de termos positivos. Mostre que∑
un converge ⇒
∑
u2n converge.
ii. A propriedade mantém-se válida se retirarmos a condição de positividade?
9. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao 3o critério de comparação para as
séries de termos positivos
∑
un e
∑
vn na situação
lim
n→+∞
un
vn
= +∞.
10. (Problema de exame, 2009/2010)
a. Mostre que para todo α, β ∈ R, αβ ≤ 1
2
(α2 + β2).
b. Aplicando a desigualdade anterior, mostre que dada uma sucessão (vn)n∈N de
termos positivos, ∑
vn converge ⇒
∑ 1
n
√
vn converge.
c. Aplicação: Utilizando o resultado da aĺınea b, justifique a convergência da série
∑√sin ( 1
n
)
− sin
(
1
n+1
)
n2
.