prova1gabarito (1)

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Itajubá
Campus Itabira
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
GABARITO DA 1a AVALIAÇÃO - MATi03
06/09/2017
Questão 1: Teste cada uma das seguintes séries quanto a convergência ou divergência.
(a)
∞∑
n=1
3n+1
5n
.
Escreva-a como
∞∑
n=1
3n+1
5n
= 3
∞∑
n=1
(
3
5
)n
,
que é uma série geométrica com termo inicial igual a 35 e razão
3
5 , que, em módulo, é menor que um, e
portanto converge.
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 4
.
Esta é uma série alternada; então é suficiente que o termo
n2
n3 + 4
seja descrescente, positivo para todo
n e que limn→∞
n2
n3 + 4
= 0. Pelo teste da série alternada, ela é convergente.
(c)
∞∑
n=1
(2n + 1)n
n2n
.
Pode-se aplicar o teste da Raiz. Pelo teste da Raiz:
lim
n→∞
| n
√
an| = lim
n→∞
(
(2n + 1)n
n2n
) 1
n
= lim
n→∞
(2n + 1)
n2
= 0 < 1
donde conclui-se que a série converge. É posśıvel fazer pelo teste da Razão com um pouco mais de
trabalho.
Questão 2: Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências abaixo.
∞∑
n=1
(−1)n+1n
2xn
2n
.
RESOLUÇÃO: Esta é uma série de potências com centro em a = 0. Aplicando o teste da Razão, obtemos:
lim
n→∞
∣∣∣∣(−1)n+1 (n + 1)2xn+12n+1 · 2n(−1)n+1n2xn
∣∣∣∣ = limn→∞ (n + 1)2n2 2n2n+1 |x| =
=
|x|
2
lim
n→∞
(n + 1)2
n2
=
|x|
2
.
Se queremos que o teste garanta que esta série convirja, isto só pode acontecer se o limite acima for menor
que 1. Mas para que isto aconteça, devemos ter
|x|
2
< 1, ou seja, |x| < 2, e portanto −2 < x < 2. Daqui já
conclui-se que o Raio de convergência pedido é R = 2. O que acontece nos pontos x onde |x| = 2? O teste da
razão é inconclusivo neste caso. Para isto, x pode valer 2 ou -2.
Se x = 2, a série torna-se
∞∑
n=1
(−1)n+1n
2.2n
2n
=
∞∑
n=1
(−1)n+1n2,
que é divergente (limite do termo geral não é zero).
Se x = −2, a série torna-se
∞∑
n=1
(−1)n+1n
2.(−2)n
2n
=
∞∑
n=1
(−1)n+1n
2.(−1)n.2n
2n
=
∞∑
n=1
(−1)2n+1n2
1
que também diverge, pelo mesmo motivo acima. Portanto, o intervalo de convergência é (−2, 2).
Questão 3: Encontre uma representação em séries de potências para a função f(x) =
x
3− x2
e determine
o intervalo de convergência desta.
RESOLUÇÃO: Sabendo que
1
1− x
=
∞∑
n=1
xn sempre que |x| < 1, então
x
3− x2
=
x
3
.
1
1− x
2
3
.
Chamando y =
x2
3
, então
x
3
.
1
1− x
2
3
=
x
3
1
1− y
=
∗
x
3
∞∑
n=1
yn =
x
3
∞∑
n=1
(x2)n
3n
=
∞∑
n=1
x2n+1
3n+1
.
Esta substituição com asteristo * só pode ser feita se |y| < 1, isto é,
∣∣∣∣x23
∣∣∣∣ < 1. Mas isto significa que
|x2| < 3 ⇐⇒ |x| <
√
3 ⇐⇒ −
√
3 < x <
√
3.
Portanto, concluimos que podemos representar f(x) =
x
3− x2
pela série de potências
∞∑
n=1
x2n+1
3n+1
desde que
−
√
3 < x <
√
3.
Questão 4: Considere as seguintes afirmativas:
• Se
∞∑
n=1
|an| converge, então
∞∑
n=1
an também converge.
• Uma p-série é divergente sempre que p for menor ou igual a um.
• Se
∞∑
n=1
bn é uma série que converge para um número M 6= 0, então lim
n→∞
bn = M .
• Uma série geométrica com razão r = 1 é convergente.
RESOLUÇÃO:
• VERDADEIRO: estas séries são chamadas absolutamente convergentes.
• VERDADEIRO: quando p = 1, a p-série é a série harmônica e diverge. Os demais casos são consequência
do teste da integral, conforme visto em sala de aula.
• FALSO: Se uma série
∞∑
n=1
bn converge, então limn→∞ bn = 0.
• FALSO: Uma série geométrica de razão 1 será da forma
∞∑
n=1
a.(1)n−1 =
∞∑
n=1
a. O termo inicial a, por
definição, é diferente de zero, e portanto o limite do termo geral é igual a a, diferente de zero, logo, a
série não converge.
2