RELATORIO - PÊNDULO FISICO

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Universidade Federal do Oeste da Bahia – UFOB
Centro Multidisciplinar de Luís Eduardo Magalhães - CMLEM
Relatórios de Física Geral e Experimental II
PÊNDULO FÍSICO
Autor(es): Beatriz Paiva, Francisca Fernanda, Mateus Felipetto e Vitória P. da Silva
Curso: Engenharia de Biotecnologia
Data: 13 de abril de 2022
Pêndulos simples e compostos tem sido estudados desde Galileu e explicam diversos fenômenos como 
movimento harmônico ou movimentos de rotação da terra, uma parte importante para a compreensão dos 
fenômenos de periodicidade é o momento de inércia, o objetivo desse trabalho foi estudar essas características e 
entender um pouco sobre as relações de pêndulos físicos e simples.
1. Introdução
O pêndulo físico consiste em um corpo com massa 
distribuída com um ponto fixo a um eixo, permitindo que o 
objeto oscile livremente quando a barra é movida para uma 
posição com uma inclinação específica.
Para investigar o movimento oscilatório de objetos 
complexos que podem ser colocados para oscilar em torno 
de um eixo, como o caso do pêndulo físico, que pode ser 
pensado como um objeto muito complexo, mas que tem um 
momento conhecido de inércia em relação a este eixo que 
passa pela parte superior. Conhecendo o momento da inércia 
e a distância entre o centro de massa e a oscilação do eixo, é 
possível calcular o período de oscilação deste pêndulo 
físico.
Para calcular o momento de inércia de um corpo em 
relação a um eixo arbitrariamente escolhido, deve-se aplicar 
a teoria dos eixos paralelos, segundo o qual o momento de 
inércia de um corpo em relação a qualquer eixo é igual ao 
momento de inércia em relação ao eixo paralelo que passa 
pelo centro de massa somado ao produto da massa do corpo 
pela distância entre os eixos ao quadrado.
Com o momento de inércia conhecido, é possível 
obter qualquer período de oscilação de um pêndulo físico, 
assim:
2. Modelo Teórico
2.1 Corpos Rígidos
O pêndulo físico é um corpo pendurado oscilando 
em um eixo fixo que não passa pelo centro de massa e o 
corpo não pode ser aproximado como um ponto de massa.
Para um corpo rígido centrado em um ponto O a 
uma distância d do centro de massa a força gravitacional 
proporciona um torque em relação a um eixo através de , e o 
módulo deste torque é (1.1).
Usando a segunda Lei de Newton para corpos 
rígidos sob um torque resultante temos que , onde I é o 
momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa 
através de e  é a aceleração angular.
O torque é dado por , onde F é a força 
gravitacional que realiza torque e r é a distância d entre o 
centro de massa do objeto e o eixo de rotação. A aceleração 
angular é então podemos escrever a equação como:
(1.2)
O torque em relação a tende a diminuir , isso 
justifica o sinal negativo. Admitindo que é pequeno a 
aproximação é verdadeira, e que a frequência angular de 
oscilação é a equação se reduz para:
(1.3)
Escrevendo o período em termos de w temos:
 (1.4)
O período do pêndulo simples pode ser igualado a 
expressão (1.4);
 (1.5)
Dessa forma é possível obter o comprimento do pêndulo 
simples em relação ao pêndulo físico:
(1.6)
2.2 Momento de inercia de corpos rígidos
O momento de inércia depende da forma como a 
massa do corpo está distribuída em relação ao eixo de 
rotação. Para uma barra de comprimento a e largura b 
desprezível o momento de inércia é dado por:
(1.7)
Sabendo que o centro de gravidade está localizado 
a uma distância h=a/2 podemos encontrar o centro de 
oscilação utilizando a equação (1.6).
(1.8)
O momento de inércia para o pêndulo físico em 
formato de placa circular é dado por:
 (1.9)
Com o centro de gravidade G localizado a uma 
distância h=R, o centro de oscilação é:
(1.10)
2.3 Teorema dos Eixos Paralelos
O teorema dos eixos paralelos é um modo prático 
de calcular o momento de inércia de um corpo. Conhecendo 
o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo 
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paralelo ao eixo desejado, passando pelo centro de massa o 
problema fica mais fácil. Sendo h a distância perpendicular 
do centro do eixo dado em relação ao eixo que passa pelo 
centro de massa, e M a massa em relação a um eixo dado. O 
momento de inércia pode ser calculado por:
(1.11)
3. Experimento
1. O sistema de pêndulo permitia a acoplagem de 
diferentes corpos, foram escolhidos 3 objetos para 
as oscilações, sendo eles a barra fina, o disco 
circular e o pêndulo simples. 
2. Foi acrescentado ao sistema a barra fina na altura 
do ponto P, mediu-se um ângulo menor que 10 ° 
uma vez que a equação proposta contém um 
arredondamento de .
3. Com auxílio do Multicronômetro, sucedeu-se a 
medição para realizar 5 oscilações completas, o 
experimento foi realizado 10 vezes.
4. Em seguida, o comprimento da barra fina foi 
alterado para o ponto O utilizando uma amplitude 
similar.
5. O experimento foi repetido conforme descrito com 
o ponto P.
6. Assim que as medidas do período de oscilação 
eram obtidas para dois pontos diferentes do objeto, 
o corpo foi alterado para disco circular e as 
medidas dos pontos P e O foram realizadas 
novamente.
7. Ao final do experimento, foi obtido a distância 
entre os pontos O e P e uma oscilação utilizando 
um pêndulo simples foi utilizada.
Imagem 1: Montagem do experimento com pêndulo físico.
4. Metodologia de Análise 
4.1 Equações de Incerteza 
As equações utilizadas para esse experimento estão 
anexadas na figura 2.
Incerteza
Equação
Desvio Padrão
Desvio Absoluto
Desvio Relativo
Desvio Percentual
Erro Instrumental Erro do instrumento
Erro estatístico
Erro Experimental
Imagem 2: equações das incertezas utilizadas.
4.2 Cálculos de Incerteza 
Os cálculos de incerteza foram realizados no 
software Microsoft Excel 2019, através das planilhas 
padronizadas e estão disponíveis em anexo ao relatório.
5. Resultados
5.1. Incertezas Estatísticas
A Imagem abaixo apresenta os resultados finais 
obtidos através da análise estatística das medidas.
Comprimento Medida
Barra
Ponto P 1,137 ± 0,015
Ponto O 1,0827 ± 0,0054
Placa Circular
Ponto P 1,0836 ± 0,0018
Ponto O 1,0563 ± 0,0005
Pêndulo 
Simples
Barra (P-O) 1,139 ± 0,005
Placa Circular (P-
O) 1,0435 ± 0,0008
Imagem 3: resultado das respectivas oscilações.
6. Discussão
Nos corpos físicos foram identificados dois 
comportamentos, na barra fina o período de oscilação 
diminuiu do Ponto O para o ponto P assim, o período 
aumentou quando se afastou do centro de massa já que 1,08s 
(O) < 1,13s (P).
No disco circular o período de oscilações diminuiu 
entre o ponto P para o Ponto O ou seja, o período diminuiu a 
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medida que se aproxima do centro de massa pois 1,08s (P) > 
1,05s (O).
No pêndulo simples, o período da barra foi maior 
quando comparado com o disco circular.
Os resultados dos cálculos teóricos são apresentados na 
imagem abaixo:
Pêndulo Físico
Ponto P Ponto O
Barra fina
Disco circular
Pendulo simples
Barra Disco circular
Pendulo simples
Imagem 4: resultado das resoluções com diferentes pontos.
Em ambos os casos para o corpo físico, o período é 
proporcional ao momento de inércia:
Ou seja, pelo teorema dos eixos paralelos:
Como não existe momento de inercia menor que o 
do centro de massa, a menor proporcionalidade é encontrada 
no .
Assim, a medida que o momento aumenta ao se 
afastar no centro, pela proporcionalidade o período irá 
aumentar também.
Como já discutido, o período próximo ao centro de 
massa terá uma oscilação menor quando comparado ao eixo 
de rotação na ponta do objeto. 
Uma vez que o momento de inercia também pode 
ser dito como a dificuldade de inércia de rotação, é esperado 
que essa dificuldade aumente à medida que se afasta do 
centro de massa do objeto, o que condiz com os resultados 
experimentaisobtidos.
Os valores teóricos são apresentados na imagem 5:
Ponto P (s) Ponto O (s)
Barra Fina 1,6392564 1,252002771
Disco Circular 1,90288405 1,487552889
Pendulo físico 1,161441579 1,098767973
Imagem 5: Em Pêndulo simples o Ponto P é barra e O é 
disco.
Apesar dos valores teóricos não consistirem com os 
valores experimentais, a diminuição do erro para o pêndulo 
simples demonstra que outros fatores devem ser levados em 
consideração na análise teórica dos pêndulos físicos.
Devido a dimensão e massa dos objetos outras 
forças como resistência do ar e atrito presente no eixo 
podem ter diminuído o período de oscilação e influenciado 
no resultado, o que não ocorreu com o pêndulo simples.
Em um pêndulo simples, o comprimento que 
equivale ao período de oscilação de um pêndulo físico será 
dado por:
Valor
Barra Fina Disco Circular
Comprimento 
utilizado (m) 0,3352 0,30
Comprimento 
calculado exp 0,29177 0,277257
Comprimento 
calculado teo. 0,389511 0,549862
O elemento de momento de inércia torna-se crucial 
nesse tipo de análise, uma vez que o pêndulo simples tem a 
massa do fio desprezível enquanto que em corpos físicos, o 
eixo de rotação é fixado no próprio objeto.
Dessa forma, o comprimento de dois objetos 
diferentes terá período de oscilações diferentes tais como em 
pêndulos físicos e pêndulos simples.
7. Conclusão
Diversas dificuldades foram encontradas pelo 
grupo. Na realização do experimento alguns erros 
experimentais influenciaram na manipulação do 
equipamento, sendo necessário a troca do sistema a partir da 
segunda troca de ponto do primeiro objeto. A compreensão 
dos cálculos de momento de inércia e período foram 
complicadas, entretanto o grupo conseguiu desenvolve-los. 
Muitas discussões foram levantadas a respeito da 
relação entre a distância do centro de massa e o período de 
oscilações, o modelo teórico e experimental confirmam que 
a medida que o eixo de rotação se aproxima do centro de 
massa, o período de oscilação diminui, entretanto 
intuitivamente, o grupo deduziu erroneamente que o 
comportamento seria o contrário.
8. Referências
[1] HALLIDAY. David RESNICK. Robert. WALKER. 
Jearl.. Fundamentos da física mecânica.10ª edição. 
LTC. 30 de Junho de 2016.
[2] MONTEIRO, Isabel Cristina de Castro; GASPAR, 
Alberto; MONTEIRO, Marco Aurélio Alvarenga. 
Abordagem experimental da força de atrito em aulas de 
Física do Ensino Médio. Caderno Brasileiro de 
Ensino de Física, p. 1121- 1136, 2012.
[3] SERWAY, Raymond A.; JR., John W J. Princípios 
de Física vol. 2. [Digite o Local da Editora]: Cengage 
Learning Brasil, 2014. 9788522116874. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/97885
Universidade Federal do Oeste da Bahia – UFOB
Centro Multidisciplinar de Luís Eduardo Magalhães - CMLEM
Relatórios de Física Geral e Experimental II
22116874/. Acesso em: 09 abr. 2022.
[4] TAYLOR. John R. Introdução à análises de Erros: O 
estudo de incertezas em medições físicas. 2ª edição. 
Bookman. 28 de Fevereiro de 2012.
NOTA DO TRABALHO
Apresentação Relatório Total
Valor referência 3 7 10
Nota 1,8 3,5 5,3
Comentários sobre a nota.
Sobre a apresentação o grupo precisa se organizar 
melhor para dividir igualmente o tempo de fala entre os 
integrantes. Não que isso precise ser cronometrado e 
altamente preciso, mas na apresentação de vocês a 
discrepância foi muito grande.
Sobre o relatório, a primeira coisa que vocês precisam 
corrigir é o ajuste do conteúdo aos tópicos exigidos no 
modelo. Todos os tópicos que vocês colocaram a mais 
são válidos, mas são facilmente ajustados para caber nos 
tópicos exigidos.
Mais atenção à numeração e utilização das equações. 
Muitas equações foram apresentadas e não foram 
utilizadas, principalmente no tocante a análise de erros, 
que apesar de muitas equações terem sido apresentadas 
faltou uma das mais importantes, a equação da 
propagação do erro experimental.
Faltou também os algoritmos utilizados no exel.
E dentre tudo, o maior erro cometido neste relatório é a 
ausência dos dados coletados. A pesar de terem muitas 
tabelas com resultados, eu não sei com base neste 
relatório quais foram os dados analisados. Evitem 
repetir este erro a todo custo.