RELATÓRIO EXP 52 - PÊNDULO FÍSICO

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG 
 Unidade Acadêmica de Engenharia Materiais - UAEM 
 EXP. 52 - Pêndulo Físico 
 Professor(a): Alexandre José de Almeida Gama 
 EXP. 52 - PÊNDULO FÍSICO 
 Campina Grande - PB, 2022 
 SUMÁRIO 
 INTRODUÇÃO: 3 
 OBJETIVOS: 4 
 MATERIAL E MONTAGEM: 5 
 MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM RELAÇÃO A UM EIXO: 6 
 PROCEDIMENTOS: 7 
 APÊNDICE: 14 
 CONCLUSÕES: 15 
 BIBLIOGRAFIA: 17 
 2 
 INTRODUÇÃO 
 O Pêndulo Físico, objeto de estudo deste experimento, pode ter uma distribuição 
 complicada de massa, o mesmo pertence também à classe de osciladores harmônicos simples, 
 em que, a força restauradora está associada à gravidade, em lugar das propriedades elásticas 
 de um fio torcido ou de uma mola comprimida . 
 Para analisar um caso mais simples, tomamos o pêndulo como sendo uma barra 
 uniforme de comprimento L suspensa por uma das extremidades. Para essa configuração h 
 será a distância entre o ponto fixo e o centro de massa. 
 O pêndulo físico consiste de um corpo rígido qualquer de massa M, suspenso por um 
 eixo horizontal que o atravessa, em torno do qual o corpo pode girar. O pêndulo físico 
 consiste em um corpo com complicada distribuição de massa, com um ponto fixado a um 
 eixo, portanto fixo, tal que o objeto possa se deslocar livremente, ele também possui uma 
 estrutura rígida e todo o pêndulo é feito de material de massa a ser considerada. 
 3 
 OBJETIVO 
 Determinar, experimentalmente, o valor do período de um pêndulo físico. Fazer um 
 estudo teórico que leve à previsão deste período e, através da comparação dos resultados 
 teórico e experimental, determinar o momento de inércia da haste delgada em relação ao eixo 
 em torno do qual as oscilações ocorrem. 
 4 
 MATERIAL 
 Haste delgada • 
 Alfinete • 
 Suporte fixo • 
 Balança. • 
 Régua • 
 Cronômetro • 
 MONTAGEM ORIGINAL 
 5 
 MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM RELAÇÃO A UM EIXO 
 Seja um corpo de massa m que gira com velocidade angular W em torno de um eixo AA’ . 
 ENERGIA CINÉTICA DA MASSA INFINITESIMAL dm COM VELOCIDADE 
 LINEAR v : 
 Como v = W r , tem-se: 𝑑 𝐸 
 𝐶𝑅 
= 1 2 ( 𝑑𝑚 ) 𝑣 
 2 . 𝑑 𝐸 
 𝐶𝑅 
= 1 2 𝑊 
 2 𝑟 2 𝑑𝑚 .
 Integrando a última expressão para toda massa infinitesimal dm , pode-se escrever: 
 ou ou ainda 𝐸 
 𝐶𝑅 
= ∫ 1 2 𝑊 
 2 𝑟 2 𝑑𝑚 𝐸 
 𝐶𝑅 
= 1 2 𝑊 
 2 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 𝐸 
 𝐶𝑅 
= 1 2 𝐼 𝐴𝐴 ' 𝑊 
 2 
 em que é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de giro AA’ . 𝐼 
 𝐴𝐴 ' 
= ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 
 6 
 PROCEDIMENTOS 
 1) O pêndulo físico é formado por uma haste delgada de madeira de comprimento 2L , com 
 massa m ; com pequenos orifícios na metade superior, que tem comprimento L . Um alfinete 
 colocado no orifício mais alto da extremidade superior da haste delgada mantém o pêndulo 
 em suspensão, como é mostrado na figura abaixo. 
 ← Suporte fixo de Suspensão 
 2) Seu professor mediu a massa m da haste delgada, usando uma balança digital, e obteve m 
 = 42,10 g . 
 3) Também, a distância L do centro de massa da haste delgada até a sua extremidade foi 
 medida: L = 33,05 cm . 
 4) Seu professor deu um leve impulso na parte inferior da haste delgada (pêndulo físico), que 
 começou a oscilar. 
 7 
 5) Com um cronômetro, o professor mediu o tempo de 10 oscilações , e depois dividiu esta 
 medida por 10 , obtendo o período T do pêndulo físico. O resultado foi anotado na Tabela I , 
 que será mostrada mais abaixo. 
 6) O procedimento de número 5 foi repetido algumas vezes, até o preenchimento da Tabela 
 I, foram realizadas 6 repetições de 10 oscilações, dadas a seguir. 
 TABELA I 
 1 2 3 4 5 6 
 T (s) 1,335 1,316 1,340 1,346 1,322 1,331 
 Escreva os dados coletados e faça o diagrama de corpo livre para o pêndulo físico em uma 
 posição angular θ qualquer em relação ao ponto de equilíbrio. Você deve ter desenhado algo 
 como a figura mostrada abaixo: 
 Para um corpo extenso em rotação , a Segunda Lei de Newton é dada por: 
∑ 𝑀 
 0 
= 𝐼 
 0 
 𝑑 2 θ
 𝑑 𝑡 2 
 8 
 Em que é o momento de inércia do pêndulo físico em relação ao eixo O , por onde passa o 𝐼 
 0 
 alfinete e é o momento de uma força em relação ao ponto O . assim: 𝑀 
 0 
 ou ainda − 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 θ 𝐿 = 𝐼 
 0 
 𝑑 2 θ
 𝑑 𝑡 2 
− 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 θ 𝐿 𝐼 
 0 
= 𝑑 
 2 θ
 𝑑 𝑡 2 
 Então, a última equação pode ser escrita como: 
 𝑑 2 θ
 𝑑 𝑡 2 
+ 𝑚𝑔𝐿 𝐼 
 0 
 𝑠𝑒𝑛 θ = 0 
 Para pequenos deslocamentos angulares ( quando este ângulo é dado θ
 𝑚𝑎𝑥 
≪ 15° ), 𝑠𝑒𝑛 θ ~ θ 
 em radianos. Assim, a equação diferencial anterior pode ser escrita como: 
 𝑑 2 θ
 𝑑 𝑡 2 
+ 𝑚𝑔𝐿 𝐼 
 0 
θ = 0 
 Cuja a solução é dada por: 
θ = θ
 0 
 𝑐𝑜𝑠 (ω 𝑡 + ф )
 Onde é o deslocamento angular máximo ( com relação a posição de equilíbrio ( PE ), θ
 0 
θ
 𝑚𝑎𝑥 
)
 é a frequência angular do movimento periódico e é o ângulo de fase , que define a ω ф 
 posição da esfera no instante inicial do movimento. 
 Uma análise similar à do experimento do pêndulo simples indicaria que: 
ω = 𝑚𝑔𝐿 𝐼 
 0 
 Assim lembrando que : ω = 2 π 𝑇 
 𝐼 
 0 
= 𝑚𝑔𝐿 
 4 π 2 
 𝑇 2 
 9 
 7) Faça o tratamento estatístico ( desvio padrão da média ) para os períodos obtidos na 
 Tabela I . Considere a incerteza sobre a massa do pêndulo físico como 0,5% do valor medido 
 e a incerteza sobre L como 1,0 mm . Expresse cada grandeza (C.G.S.). 
 VALOR MÉDIO •
 𝑖 = 1 
 6 
∑ 𝑡 
 𝑠 
= 1 , 335 + 1 , 316 + 1 , 340 + 1 , 346 + 1 , 322 + 1 , 331 = 7 , 99 
 𝑖 = 1 
 6 
∑ 𝑡 
 𝑠 
 2 = ( 1 , 335 ) 2 + ( 1 , 316 ) 2 + ( 1 , 340 ) 2 + ( 1 , 346 ) 2 + ( 1 , 322 ) 2 + ( 1 , 331 ) 2 
= 10 , 640642 
 → 𝑡 
 𝑠 
= 1 6 
 𝑖 = 1 
 6 
∑ 𝑡 
 𝑠 
 = 1 6 × 7 , 99 = 1 , 331666667 𝑡 𝑠 = 1 , 332 
 DESVIO PADRÃO DA MÉDIA: •
σ
 𝑡 
= 1 𝑁 − 1 
 𝑖 = 1 
 𝑁 
∑ 𝑡 
 𝑠 
 2 − 1 𝑁 
 𝑖 = 1 
 𝑁 
∑ 𝑡 
 𝑠 ( ) 2 ⎡⎢⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
 = 1 6 − 1 10 , 640642 −
 1 
 6 ( 7 , 99 )
 2 ⎡⎣
⎤
⎦ = 
= 0 , 01118332 
 Assim, uma leitura qualquer é dada por: 𝑡 
 𝑠 
 = ( 1 , 332 ± 0 , 011 ) 
σ
 𝑡𝑚 
= 
σ
 𝑡 
 𝑁 
= 0 , 01118332 
 6 
= 0 , 01118332 2 , 449489743 = 0 , 004565571271 𝑜𝑢 4 , 565 𝑥 1 0 
− 3 
 Assim, o valor verdadeiro de t é: 𝑡 
 𝑠 
= ( 1 , 332 ± 0 , 005 )
 10 
 8) Utiliza a expressão obtida para e as fórmulas de propagação de erros (use as teorias do 𝐼 
 0 
 desvio padrão e do desvio máximo) para expressar o momento de inércia do pêndulo físico 
 (C.G.S.) 
 m = 42,10 g . → Considere a incerteza sobre m como 0,5% do valor 
 medido. ( 42 , 10 ± 0 , 21 )
 L = 33,05 cm . → Considere a incerteza sobre L como 1,0 mm . 
 ( 33 , 05 ± 0 , 10 )
 T = 1,332 s → Incerteza sobre T. ( 1 , 332 ± 0 , 005 )
 → → 𝐼 
 0 
= 𝑚𝑔𝐿 
 4 π 2 
 𝑇 2 𝐼 
 0 
= 42 , 10 × 980 × 33 , 05 
 4 π 2 
× 1 , 332 2 𝐼 
 0 
= 61281 , 35342 
 Incerteza na função devido à incerteza em m. 
 → δ 𝐼 
 𝑚 
= 1 2 
( 𝑚 +δ 𝑚 ) 𝑔𝐿 
 4 π 2 
 𝑇 2 − ( 𝑚 −δ 𝑚 ) 𝑔𝐿 
 4 π 2 
 𝑇 2 |||
|||
δ 𝐼 
 𝑚 
= 1 2 
( 42 , 10 + 0 , 21 ) × 980 × 33 , 05 
 4 π 2 
 1 , 332 2 − ( 42 , 10 − 0 , 21 ) × 980× 33 , 05 
 4 π 2 
 1 , 332 2 |||
|||
 → δ 𝐼 
 𝑚 
= 1 2 61587 , 03238 − 60975 , 67446 | | δ 𝐼 𝑚 = 305 , 67896 
 Incerteza na função devido à incerteza em L. 
 → δ 𝐼 
 𝐿 
= 1 2 
 𝑚𝑔 ( 𝐿 +δ 𝐿 )
 4 π 2 
 𝑇 2 − 𝑚𝑔 ( 𝐿 −δ 𝐿 )
 4 π 2 
 𝑇 2 |||
|||
δ 𝐼 
 𝐿 
= 1 2 
 42 , 10 × 980 ×( 33 , 05 + 0 , 10 )
 4 π 2 
 1 , 332 2 − 42 , 10 × 980 ×( 33 , 05 − 0 , 10 )
 4 π 2 
 1 , 332 2 |||
|||
 → δ 𝐼 
 𝐿 
= 1 2 61466 , 77356 − 61095 . 93329 | | δ 𝐼 𝐿 = 185 , 420135 
 Incerteza na função devido à incerteza em T. 
 → δ 𝐼 
 𝑇 
= 1 2 
 𝑚𝑔𝐿 
 4 π 2 
 ( 𝑇 + δ 𝑇 )
 2 
− 𝑚𝑔𝐿 
 4 π 2 
( 𝑇 − δ 𝑇 )
 2 ||||
||||
δ 𝐼 
 𝑇 
= 1 2 
 42 , 10 × 980 × 33 , 05 
 4 π 2 
 ( 1 , 332 + 0 , 005 ) 2 − 42 , 10 × 980 × 33 , 05 
 4 π 2 
 ( 1 , 332 − 0 , 005 ) 2 |||
|||
 → δ 𝐼 
 𝑇 
= 1 2 61742 , 28714 − 60822 , 1467 | | δ 𝐼 𝑇 = 460 , 07022 
 11 
 T.D.M •
δ 𝐼 
 0 
= δ 𝐼 
 𝑚 
+ δ 𝐼 
 𝐿 
 + δ 𝐼 
 𝑇 
 → δ 𝐼 
 0 
= 305 , 67896 + 185 , 420135 + 460 , 07022 
δ 𝐼 
 0 
= 951 , 169315 
 → 𝐼 
 0 
 = 61281 , 35342 ± 951 , 169315 𝐼 
 0 
 = ( 61 , 3 ± 1 , 0 ) 𝑥 10 3 
 T.D.P •
 → δ 𝐼 
 0 
= δ 𝐼 
 𝑚 
 2 + δ 𝐼 
 𝐿 
 2 + δ 𝐼 
 𝑇 
 2 δ 𝐼 
 0 
= 305 , 67896 2 + 185 , 420135 2 + 460 , 07022 2 
δ 𝐼 
 0 
= 582 , 6532935 
 → 𝐼 
 0 
 = 61281 , 35342 ± 582 , 6532935 𝐼 
 0 
= ( 61 , 3 ± 0 , 6 ) 𝑥 10 3 
 9) Lembre-se que , em que r é a distância da massa elementar dm ao eixo de giro. 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 
 Então, no apêndice , será mostrado a expressão teórica para o momento de inércia de uma 
 haste delgada, em relação a um eixo ( alfinete ) passando por sua extremidade, é dada por: 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 1 3 𝑚 ( 2 𝐿 )
 2 
 Onde 2L é o comprimento da haste. Calcule o valor teórico do momento de inércia da 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
 haste 
 m = 42,10 g . L = 33,05 cm . 
 → → 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 1 3 𝑚 ( 2 𝐿 )
 2 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 1 3 × 42 , 10 × ( 2 × 33 , 05 )
 2 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 61314 , 58033 
 12 
 10) Compare o valor experimental, com valor teórico , . Você pode calcular o erro 𝐼 
 0 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
 percentual na determinação de , lembrando que: . 𝐼 
 0 
 𝐸 
 𝑝 
=
 𝐼 
 0 
− 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
× 100 
 𝐼 
 0 
= 61281 , 35342 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 61314 , 58033 
 → → 𝐸 
 𝑝 
=
 𝐼 
 0 
− 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
× 100 𝐸 
 𝑝 
= 61281 , 35342 − 61314 , 58033 61314 , 58033 × 100 𝐸 𝑝 = − 0 , 054% 
 13 
 APÊNDICE 
 MOMENTO DE INÉRCIA DA HASTE DELGADA 
 Para uma haste delgada de massa m e comprimento 2L , homogênea , dada a seguir 
 2L → M 
 dr → dm 
↓
 𝑑𝑚 = 𝑚 2 𝐿 𝑑𝑟 
 Assim: resulta em: ou ou ainda 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 𝐼 =
 0 
 2 𝐿 
∫ 𝑟 2 𝑚 2 𝐿 𝑑𝑟 𝐼 =
 𝑚 
 2 𝐿 
 0 
 2 𝐿 
∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 
 . 𝐼 
 0 
= 1 3 
 𝑚 
( 2 𝐿 ) ( 2 𝐿 )
 3 
 Portanto: 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= 1 3 𝑚 ( 2 𝐿 )
 2 
 14 
 CONCLUSÃO 
 Para este experimento, responda qual é a teoria mais adequada para o desvio • 
 propagado. Há algum erro sistemático importante? Explique. 
 Neste experimento, calculamos o momento de inércia com as duas teorias para o desvio, 
 sendo a mais adequada a teoria do desvio padrão, pois por essa teoria, o desvio é menor e, 
 desta maneira, diminuímos a margem de valores possíveis para o valor verdadeiro ou teórico. 
 Ao analisarmos os valores do momento de inércia teórico e experimental, concluímos que 
 estes valores são compatíveis, visto que são bem próximos. 
 Cite os principais erros sistemáticos cometidos nesse experimento. • 
 Podemos citar alguns dos erros sistemáticos do experimento que são eles; erro na 
 desconsideração da força de atrito do ar, a falta de precisão na contagem do período do 
 pêndulo e etc. 
 Se toda a massa do pêndulo físico estivesse concentrada em um único ponto, a que • 
 distância do alfinete (ponto de apoio) essa massa deveria estar? Observe que a essa 
 distância dá-se o nome de raio de giração. 
 Se toda a massa do pêndulo físico estivesse concentrada em um único ponto podemos 
 encontrar uma expressão que determina a sua distância ao alfinete (ponto de apoio) a partir da 
 seguinte forma: 
 𝐼 
 𝑡𝑒𝑜 
= ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 
 onde r é igual a k , que é a distância do ponto de apoio até a massa, que recebe o nome de raio 
 de giração 
 Discuta como, com um único cronômetro, se pode medir o comprimento de uma haste • 
 delgada. Essa experiência poderia ser realizada tendo o centro de massa como ponto de 
 apoio? Explique. 
 Com um cronômetro pode-se medir o comprimento de uma barra longa tendo em mãos sua 
 massa, a gravidade, o momento de inércia e o período de oscilação. Não poderíamos fazer 
 essa experiência tendo como ponto de apoio o centro de massa, pois a integral a ser calculada 
 é dada em função do quadrado de r, e, portanto, não teríamos uma função linear. 
 15 
 Os procedimentos desse experimento poderiam ser utilizados para determinar o • 
 momento de inércia de corpos com outras formas? Explique. 
 Os procedimentos deste experimento não poderiam ser utilizados para determinar o momento 
 de inércia de corpos de outra forma só se ele tiver um ponto de apoio e soubermos onde se 
 localiza seu centro de massa. 
 Qual é a unidade apropriada para momento de inércia? • 
 A unidade de momento de inércia no SI (Sistema Internacional de Unidades) é kg.m2 . No 
 experimento realizado foi estabelecido os valores no CGS, sendo a unidade de momento de 
 inércia para o experimento, portanto, o g.cm2 . 
 16