Relatório de PÊNDULO FÍSICO

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG 
 
Centro de Ciências e Tecnologias – CCT 
 
Unidade Acadêmica de Física – UAF 
 
Curso: Engenharia Civil 
 
Disciplina: Física Experimental 
 
Professor; Wilton Pereira da Silva 
 
Turma: 02 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO FÍSICO 
 
 
 
 
Discente: 
 
Ana Paula Travassos Fernandes - Matrícula: 119210910 
 
 
 
Campina Grande - PB, 28/09/2021 
 
 
 
mailto:ana.travassos@estudante.ufcg.edu.br
 
1 INTRODUÇÃO 
 
As oscilações executam uma função essencial na física, seja na mecânica, na acústica, 
na eletricidade e na ótica. Um sistema massa – mola é uma operação mais simples de um 
oscilador harmônico: um corpo (massa), aproximado a outro corpo material (mola), é 
preservado em sua posição de equilíbrio no qual a mola se encontra sem deformação, 
consequentemente livre de tensões internas. 
 
Pêndulo físico é um conjunto suspenso por um ponto O é possível rotacionar em torno 
de um eixo horizontal que passa por este ponto. Ele atingi uma ampla série de situações reais, 
e não se sujeita as situações quase ideais definidas para o pêndulo simples. 
 
 
 
1.1 OBJETIVO 
Definir experimentalmente, o valor do período de um pêndulo físico. Realizar um 
conhecimento teórico, que leve à previsão desse período e, entre a analogia dos resultados 
teórico e experimental, indicar o momento da inércia da haste delgada em associação ao eixo 
em torno do qual as oscilações ocorrem. 
1.2 MATERIAL 
- Haste delgada; 
- Alfinete; 
- Suporte fixo; 
- Cronômetro; 
- Régua; 
- Balança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 – Montagem 
 
 
2. MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM RELAÇÃO A UM EIXO 
Um corpo de massa m que está girando em uma velocidade W em torno do eixo AA’. 
 
Figura 02 – Representação do momento da inércia em relação a um eixo 
ENERGIA CINÉTICA DA MASSA INFINITESIMAL dm COM VELOCIDADE 
LINEAR v: 
𝑑𝐸𝑐𝑟 = 
1 
2
(𝑑𝑚)𝑣2 
 
Como v = Wr, tem-se 𝑑𝐸𝑐𝑟 = 
1 
2
𝑤2𝑟2 𝑑𝑚. 
Incluindo a última expressão para toda a massa infinitesimal dm, pode escrever assim: 
𝐸𝑐𝑟 = ∫
1
2
 𝑊2𝑟2 𝑑𝑚 ou 𝐸𝑐𝑟 = 
1
2
𝑊2 ∫ 𝑟2 𝑑𝑚 
ou ainda pode ser da seguinte forma: 𝐸𝑐𝑟 = 
1
2
 𝐼 𝐴𝐴′𝑊2 em que 𝐼𝐴𝐴′ = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚 é o 
momento da inércia do corpo em relação ao eixo de giro AA’. 
3. PROCEDIMENTOS 
O pêndulo físico é formado por uma haste delgada de madeira com um comprimento 
de 2L, de massa m; com pequenos orifícios na metade superior, que tem um comprimento 
equivalente a L. Um alfinete foi posto no orifício mais alto da extremidade superior da haste 
delgada mantendo o pêndulo em suspensão, como podemos analisar na figura 03. 
 
Figura 03 
Suporte fixo de 
suspensão 
 
O professor mediu a massa m da haste delgada, em uma balança digital, e obteve o 
segundo resultado m = 42,20 g. A distância L do centro de massa da haste delgada até a sua 
extremidade foi medida: L = 33,05 cm. 
 1 2 3 4 5 6 
T(s) 1,335 1,316 1,340 1,346 1,322 1,331 
 
Tabela I 
O professor deu um leve impulso na parte inferior da haste delgada (pêndulo físico), e 
o mesmo começou a oscilar. Com o cronômetro foi medido um tempo de 10 oscilações, e 
depois dividiu esta medida por 10 obtendo assim o período T do pêndulo físico. O resultado 
foi anotado na tabela I. O procedimento com o cronômetro foi repetido algumas vezes, até 
podermos preencher a tabela I. 
 
Figura 04 – Representação do diagrama de corpo livre pêndulo físico 
Para um corpo extenso em rotação, a Segunda Lei de Newton é dada por: 
∑ 𝑀𝑜 = 𝐼𝑜
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
 
 
Em que Io é o momento da inercia do pêndulo físico em relação ao eixo O, por onde 
passa o alfinete e Mo é o momento de uma força em relação ao ponto O. Da seguinte forma: 
−𝑚𝑔 sin 𝜃 𝐿 = 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 ou −𝑚𝑔 sin 𝜃 
𝐿
𝐼𝑜
= 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
Com isso a equação pode ser escrita desta forma: 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 
𝑚𝑔
𝐼𝑜
 sin 𝜃 = 0 
Para pequenos deslocamentos angulares (𝜃max << 15º), seno 𝜃 ~ 𝜃 quando este ângulo 
é dado em radianos. Desta forma, a equação diferencial anterior pode ser escrita como: 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔𝐿
𝐼𝑜
 𝜃 = 0 de forma que a solução é dada por: 𝜃 = 𝜃0 cos (𝜔𝑡 + ∅) 
Onde 𝜃0 é o deslocamento angular máximo (𝜃max) com relação à posição de equilíbrio 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝐿
𝐼
, 𝜔 é a frequência angular do movimento periódico que é dada pro 𝜔 = 
2𝜋
𝑇
 e ∅ é o 
ângulo de fase, que define a posição da esfera no instante inicial do movimento. 
Obtemos a expressão para o valor experimental do momento de inércia do Pêndulo 
Físico: 
TI
mgL 2

 
 
2
24
TI
mgL 

 
mgL
T
I
2
2
4

 
Através dos cálculos (anexados ao relatório), foi feito o tratamento estatístico (desvio 
médio) para os períodos obtidos na tabel I. 
Considerando a incerteza sobre o valor da massa do Pêndulo Físico como 0,5% do valor 
médio, através dos cálculos, temos que: 
𝑚 = (42,10 ± 0,21)𝑔 
Ainda considerando que a incerteza sobre o comprimento L seja de 1,0 mm (ou 0,10 
cm), temos que: 
𝐿 = (33,05 ± 0,10)𝑐𝑚 
Podemos calcular o momento da inércia do Pêndulo, para isso basta substituir os valores 
na seguinte expressão: 
𝐼 = 
𝑇2
4𝜋2
𝑚𝑔𝐿, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔 = 980 𝑐𝑚 𝑠2⁄ 
Para calcularmos o momento da inércia do pêndulo (C.G.S) usando as teorias do desvio 
padrão e máximo. 
 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 
𝑚𝑔𝐿
4𝜋2
𝑇2 
 
4. CONCLUSÃO 
Com os valores calculados do momento de inércia, concluímos que o valor teórico e o valor 
verdadeiro são compatíveis, pois são aproximadamente iguais, e o valor mas adequado para 
este experimento e o do desvio padrão pois ele tem um desvio menor que o médio, podemos 
citar alguns dos erros sistemáticos do experimento, que são eles; erro na desconsideração da 
forca de atrito do ar, a falta de precisão na contagem do período do pêndulo etc. 
 Se toda massa do pêndulo físico estivesse concentrada em um único ponto podemos 
encontrar uma expressão que determina a sua distância ao alfinete ( ponto de apoio) a parti da 
seguinte forma: 
 
Iteo =  dmr
2 , 
onde r é igual a k, que é a distância do ponto de apoio até a massa, que recebe o nome de raio 
de giração. 
 
Iteo = k
2m 
K = 
m
I teo
 
K = √
61281,35342
42,10
 
K=38,15 cm 
 
Este experiência não poderá ser realizada tendo o centro de massa como apoio, pois as 
força abaixo e acima do ponto de apoio serão iguais em módulo, uma anulando a outra. Os 
procedimentos deste experimento não poderiam ser utilizados para determinar o momento de 
inércia de corpos de outra forma, só se ele tiver um ponto de apoio e soubermos onde se localiza 
seu centro de massa. O um cronômetro pode-se medir o comprimento de uma barra longa tendo 
em mãos sua massa, a gravidade, o momento de inércia e o período de oscilação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. ANEXO 
Valor médio: 
𝑇𝑚𝑒𝑑 = 
1
𝑁
 ∑ 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑇𝑚𝑒𝑑 = 
1
6
 7,99 
𝑇𝑚𝑒𝑑 = 1,33166666667 
𝑇𝑚𝑒𝑑 = 1,332 
Desvio médio: 
 med = 
1
𝑁
∑  Ti onde:  Ti = Ti − Tmed
𝑛
𝑖=1
 
 med =
1
6
|0,052| 
 med = 0,0086666667 
 med = 0,009 
 
𝑇 = (1,332 ± 0,009)𝑠 
Determinação da incerteza sobre a massa do pêndulo físico sobre o valor medido: 
Calculando a incerteza, temos: 
m = 42,10g 
42,10 × 0,5% = 0,2105 = 0,21 
Logo, temos que massa (m) sendo: 
𝑚 = (42,10 ± 0,21)𝑔 
Determinação da incerteza sobre o comprimento do pêndulo físico sobre o valor 
medido: 
L = 33,05 cm 
Para o valor da incerteza, temos: 1mm ou seja, 0,10 cm, assim temos que o comprimento (L) é 
de: 
𝐿 = (33,05 ± 0,10) 𝑐𝑚 
Determinação do momento de inércia do pêndulo físico: 
 
𝐼𝑜 =
𝑚𝑔𝐿
4𝜋2
𝑇2 
𝐼𝑒𝑥𝑝 =
(42,10)(980)(33,05)
4𝜋2
(1,332)2 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 61281,35342 
𝑔
𝑐𝑚2⁄ 
Calculando as incertezas: 
Período (T): 
 It = 
1
2
|
𝑚𝑔𝐿 (𝑇 +  )2
4𝜋2
− 
𝑚𝑔𝐿(T −  T)2
4𝜋2
| 
 It = |
(1,341)2
4𝜋2
 × (42,10)(980)(33,05) − 
(1,341)2
4𝜋2× (42,10)(980)(33,05)| 
 It = 828,1263976 
 It = 828,13 
Massa (m): 
 m = 
1
2
|
(𝑚 +  m)gL𝑇2
4𝜋2
− 
(𝑚 −  m)gL𝑇2
4𝜋2
| 
 
 
 m =
1
2
 |
(1,332)2
4𝜋2
× (42,31)(980)(33,05) − 
(1,332)2 
4𝜋2
× (41,89)(980)(33,05)| 
 
 m = 305,6789601 
 
 m = 305,7 
 
 
 
Comprimento (L): 
 
 
 Il =
1
2
 |
(𝑚 +  m)gL𝑇2
4𝜋2
− 
(𝑚 −  m)gL𝑇2
4𝜋2
| 
 Il =
1
2
 |
(1,332)2
4𝜋2
× (42,10)(980)(33,15) − 
(1,332)2
4𝜋2
× (42,10)(980)(32,95)| 
 Il = 185,4201314 
 Il = 185,4 
Pela tori do desvio máximo: 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 𝐼𝑒𝑥𝑝 ±  It +  Im +  Il 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 61281,35342 ± (828,13 + (305,7) + (185,4)) 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = (61281,35 ± 1319,23)𝑔 × 𝑐𝑚2 
Pela teoria do desvio padrão: 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 𝐼𝑒𝑥𝑝 ± √( It)2 + ( Im)2 + ( IL)2 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = 61281,35342 ± √(828,13)2 + (305,7)2 + (185,4)2 
 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = (61281,35342 ± 902,0116113) 
𝐼𝑒𝑥𝑝 = (61281,35 ± 902,01)𝑔 × 𝑐𝑚2