RELATÓRIO EXP 52 - PÊNDULO FÍSICO (2)

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Professor(a): Alexandre José de Almeida Gama 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXP. 52 - PÊNDULO FÍSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO: 3 
OBJETIVOS: 4 
MATERIAL E MONTAGEM: 5 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM RELAÇÃO A UM EIXO: 6 
PROCEDIMENTOS: 7 
APÊNDICE: 14 
CONCLUSÕES: 15 
BIBLIOGRAFIA: 17 
3 
INTRODUÇÃO 
 
 
O Pêndulo Físico, objeto de estudo deste experimento, pode ter uma distribuição 
complicada de massa, o mesmo pertence também à classe de osciladores harmônicos simples, 
em que, a força restauradora está associada à gravidade, em lugar das propriedades elásticas 
de um fio torcido ou de uma mola comprimida . 
Para analisar um caso mais simples, tomamos o pêndulo como sendo uma barra 
uniforme de comprimento L suspensa por uma das extremidades. Para essa configuração h 
será a distância entre o ponto fixo e o centro de massa. 
O pêndulo físico consiste de um corpo rígido qualquer de massa M, suspenso por um 
eixo horizontal que o atravessa, em torno do qual o corpo pode girar. O pêndulo físico 
consiste em um corpo com complicada distribuição de massa, com um ponto fixado a um 
eixo, portanto fixo, tal que o objeto possa se deslocar livremente, ele também possui uma 
estrutura rígida e todo o pêndulo é feito de material de massa a ser considerada. 
4 
OBJETIVO 
 
Determinar, experimentalmente, o valor do período de um pêndulo físico. Fazer um 
estudo teórico que leve à previsão deste período e, através da comparação dos resultados 
teórico e experimental, determinar o momento de inércia da haste delgada em relação ao eixo 
em torno do qual as oscilações ocorrem. 
5 
MATERIAL 
 
 
 
• Haste delgada 
 
• Alfinete 
 
• Suporte fixo 
 
• Balança. 
 
• Régua 
 
• Cronômetro 
 
 
MONTAGEM ORIGINAL 
 
 
6 
= ∫ 𝑊 𝑟 𝑑𝑚 = 𝑊 ∫ 𝑟 𝑑𝑚 𝐼 𝑊 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM RELAÇÃO A UM EIXO 
 
Seja um corpo de massa m que gira com velocidade angular W em torno de um eixo AA’. 
 
 
ENERGIA CINÉTICA DA MASSA INFINITESIMAL dm COM VELOCIDADE 
LINEAR v: 
 
 𝑑𝐸 = 1 
2 Como v = W r, tem-se: 𝑑𝐸 
=
 1 2 2 
𝐶𝑅 2 
(𝑑𝑚)𝑣 . 
𝐶𝑅 2 
𝑊 𝑟 𝑑𝑚. 
 
 
Integrando a última expressão para toda massa infinitesimal dm, pode-se escrever: 
 
 
𝐸 
1 2 2 
 
 1 2 2 
 
 1 2 
𝐶𝑅 2 𝐶𝑅 2 𝐶𝑅 2 𝐴𝐴' 
 
em que 𝐼 
𝐴𝐴' 
2 
= ∫ 𝑟 𝑑𝑚 é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de giro AA’. 
ou 𝐸 ou ainda 𝐸 = 
7 
PROCEDIMENTOS 
 
1) O pêndulo físico é formado por uma haste delgada de madeira de comprimento 2L, com 
massa m; com pequenos orifícios na metade superior, que tem comprimento L. Um alfinete 
colocado no orifício mais alto da extremidade superior da haste delgada mantém o pêndulo 
em suspensão, como é mostrado na figura abaixo. 
 
← Suporte fixo de Suspensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seu professor mediu a massa m da haste delgada, usando uma balança digital, e obteve m 
= 42,10 g. 
 
 
3) Também, a distância L do centro de massa da haste delgada até a sua extremidade foi 
medida: L = 33,05 cm. 
4) Seu professor deu um leve impulso na parte inferior da haste delgada (pêndulo físico), que 
começou a oscilar. 
 
 
8 
5) Com um cronômetro, o professor mediu o tempo de 10 oscilações, e depois dividiu esta 
medida por 10, obtendo o período T do pêndulo físico. O resultado foi anotado na Tabela I, 
que será mostrada mais abaixo. 
 
 
6) O procedimento de número 5 foi repetido algumas vezes, até o preenchimento da Tabela 
I, foram realizadas 6 repetições de 10 oscilações, dadas a seguir. 
 
TABELA I 
 
 
1 2 3 4 5 6 
T (s) 1,335 1,316 1,340 1,346 1,322 1,331 
 
 
Escreva os dados coletados e faça o diagrama de corpo livre para o pêndulo físico em uma 
posição angular θ qualquer em relação ao ponto de equilíbrio. Você deve ter desenhado algo 
como a figura mostrada abaixo: 
 
 
Para um corpo extenso em rotação, a Segunda Lei de Newton é dada por: 
 
 
∑ 𝑀 
0 
= 𝐼 
0 
2 
𝑑 θ 
2 
𝑑𝑡 
 
9 
𝑑 θ 
 
2 
 
2 
𝑇 
2 
2 
0 
2 
2 
Em que 𝐼 é o momento de inércia do pêndulo físico em relação ao eixo O, por onde passa o 
0 
alfinete e 𝑀 é o momento de uma força em relação ao ponto O. assim: 
0 
 
 
− 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛θ 𝐿 = 𝐼 
2 
𝑑 θ ou ainda 
 𝐿 
2
 
− 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛θ = 
0 𝑑𝑡 𝐼 𝑑𝑡 
 
 
Então, a última equação pode ser escrita como: 
 
 
𝑑 θ + 𝑚𝑔𝐿 𝑠𝑒𝑛θ = 0 
𝑑𝑡 𝐼 
 
Para pequenos deslocamentos angulares (θ ≪ 15°), 𝑠𝑒𝑛θ ~ θ quando este ângulo é dado 
𝑚𝑎𝑥 
em radianos. Assim, a equação diferencial anterior pode ser escrita como: 
 
 
𝑑 θ + 𝑚𝑔𝐿 θ = 0 
𝑑𝑡 𝐼 
 
 
Cuja a solução é dada por: 
 
 
θ = θ 𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + ф) 
0 
 
 
Onde θ é o deslocamento angular máximo (θ ) com relação a posição de equilíbrio (PE), 
0 𝑚𝑎𝑥 
ω é a frequência angular do movimento periódico e ф é o ângulo de fase, que define a 
posição da esfera no instante inicial do movimento. 
 
Uma análise similar à do experimento do pêndulo simples indicaria que: 
 
 
 𝑚𝑔𝐿 
𝐼 
0 
 
 
Assim lembrando que ω = 2π : 
 
 
𝐼 = 𝑚𝑔𝐿 𝑇
2 
0 4π 
 
ω = 
2 
0 
0 
10 
𝖥 𝑁 
⎢𝑖 = 1 𝑠 ( 
𝑁 
1 
𝑁 −1 
⎢ ∑ 𝑡 
2 
− 1 
𝑁 
∑ 𝑡 
⎣ 
𝑠) 
𝑖 = 1 
2 ⎤ 
⎥ 
⎥ 
⎦ 
1 
6−1 
𝖥10, 640642 − 1 (7, 99)
2 ⎤ 
⎣ 6 ⎦ 
6 
= 
7) Faça o tratamento estatístico (desvio padrão da média) para os períodos obtidos na 
Tabela I. Considere a incerteza sobre a massa do pêndulo físico como 0,5% do valor medido 
e a incerteza sobre L como 1,0 mm. Expresse cada grandeza (C.G.S.). 
 
• VALOR MÉDIO 
 
 
6 
∑ 𝑡 
𝑠 
 
= 1, 335 + 1, 316 + 1, 340 + 1, 346 + 1, 322 + 1, 331 = 7, 99 
𝑖 = 1 
 
 
6 
2 
∑ 𝑡 
 
2 
= (1, 335) 
 
2 
+ (1, 316) 
 
2 
+ (1, 340) 
 
2 
+ (1, 346) 
 
2 
+ (1, 322) 
 
2 
+ (1, 331) 
𝑠 
𝑖 = 1 
 
 
= 10, 640642 
 
 
 
𝑡 1 
𝑠 
6 
∑ 𝑡 
𝑠 
𝑖 = 1 
 
 
 1 × 7, 99 = 1, 331666667 → 𝑡 
6 𝑠 
 
= 1, 332 
 
 
• DESVIO PADRÃO DA MÉDIA: 
 
 
 
σ = = = 
𝑡 
 
 
 
= 0, 01118332 
 
 
Assim, uma leitura qualquer é dada por: 𝑡 
𝑠 
= (1, 332 ± 0, 011) 
 
 
σ = 
𝑡𝑚 
σ 
 𝑡 = 0,01118332 = 
0,01118332 
2,449489743 
−3 
= 0, 004565571271 𝑜𝑢 4, 565 𝑥 10 
 
Assim, o valor verdadeiro de t é: 𝑡 
𝑠 
= (1, 332 ± 0, 005) 
𝑁 
= 
6 
11 
= 
= 
= 
= 
| 
2 
2 
8) Utiliza a expressão obtida para 𝐼 e as fórmulas de propagação de erros (use as teorias do 
0 
desvio padrão e do desvio máximo) para expressar o momento de inércia do pêndulo físico 
(C.G.S.) 
 
 
m = 42,10 g. → Considere a incerteza sobre m como 0,5%do valor 
 medido. (42, 10 ± 0, 21) 
L = 33,05 cm. → Considere a incerteza sobre L como 1,0 mm. 
 
T = 1,332 s 
 
→ 
(33, 05 ± 0, 10) 
Incerteza sobre T. (1, 332 ± 0, 005) 
 
 
𝐼 = 𝑚𝑔𝐿 𝑇
2 
→
 𝐼 = 42,10 × 980 × 33,05 × 1, 332
2 
→ 𝐼 = 61281, 35342 
0 4π 0 4π 0 
 
Incerteza na função devido à incerteza em m. 
 
 
δ𝐼 1 𝑚 2 
| 4π 
 
δ𝐼 1 𝑚 2 
4π | 
| 4π 
δ𝐼 = 1 |61587, 03238 − 60975, 67446| → δ𝐼 = 305, 67896 
𝑚 2 𝑚 
 
 
Incerteza na função devido à incerteza em L. 
 
δ𝐼 1 
𝐿 2 | 4π 4π | 
 
δ𝐼 1 , 
𝐿 2 | 4π 
δ𝐼 = 1 |61466, 77356 − 61095. 93329| → δ𝐼 = 185, 420135 
𝐿 2 𝐿 
 
 
Incerteza na função devido à incerteza em T. 
 
 
δ𝐼 1 
| 𝑚𝑔𝐿 = 2 (𝑇 + δ𝑇) − 
 
 𝑚𝑔𝐿 
2| 
(𝑇 − δ𝑇) | → 
𝑇 2 | 2 2 | 
 
 δ𝐼 
| 4π 4π 
= 1 
| 42,10 × 980 × 33,05 
| 
2 42,10 × 980 × 33,05 2| 
| 
𝑇 | 
2 (1, 332 + 0, 005) − 
4π 4π 
(1, 332 − 0, 005) | 
| 
δ𝐼 = 1 |61742, 28714 − 60822, 1467| → δ𝐼 = 460, 07022 
𝑇 2 𝑇 
2 
2 
| (𝑚+δ𝑚)𝑔𝐿 2 (𝑚−δ𝑚)𝑔𝐿 2| 
| 2 𝑇 − 2 𝑇 | → 
 
| (42,10+0,21) × 9 
| 2 
80 × 33,05 1, 332
2 
− (42,10−0,21) × 2 
4π 
980 × 33,05 1, 332
2| | 
| 
 
| 𝑚𝑔(𝐿+δ𝐿) 2 𝑚𝑔(𝐿−δ𝐿) 2| 
| 2 𝑇 − 2 𝑇 | → 
 
| 42,10 × 980 ×(33 
| 2 
05+0,10) 1, 332
2 
− 42,10 × 980 ×(3 2 
4π 
3,05−0,10) 1, 332
2| | 
| 
 
123 
• T.D.M 
 
 
δ𝐼 = δ𝐼 + δ𝐼 + δ𝐼 → δ𝐼 = 305, 67896 + 185, 420135 + 460, 07022 
0 𝑚 𝐿 𝑇 0 
 
 
δ𝐼 = 951, 169315 
0 
 
 
𝐼 = 61281, 35342 ± 951, 169315 → 𝐼 
0 0 
3 
= (61, 3 ± 1, 0) 𝑥 10 
 
 
• T.D.P 
 
 
 
δ𝐼 = 
0 
→ δ𝐼 = 
0 
 
 
δ𝐼 = 582, 6532935 
0 
 
 
𝐼 = 61281, 35342 ± 582, 6532935 → 𝐼 
0 0 
3 
= (61, 3 ± 0, 6) 𝑥 10 
 
 
 9) Lembre-se que 2 , em que r é a distância da massa elementar dm ao eixo de giro. 
𝐼 = ∫ 𝑟 𝑑𝑚 
 
Então, no apêndice, será mostrado a expressão teórica para o momento de inércia de uma 
haste delgada, em relação a um eixo (alfinete) passando por sua extremidade, é dada por: 
 
𝐼 
𝑡𝑒𝑜 
= 1 𝑚 (2𝐿)
2
 
 
 
Onde 2L é o comprimento da haste. Calcule o valor teórico 𝐼 do momento de inércia da 
𝑡𝑒𝑜 
haste 
 
 
m = 42,10 g. L = 33,05 cm. 
 
 
𝐼 = 1 𝑚 (2𝐿)
2 
→ 𝐼 = 1 × 42, 10 × (2 × 33, 05)
2 
→ 𝐼 = 61314, 58033 
𝑡𝑒𝑜 3 𝑡𝑒𝑜 3 𝑡𝑒𝑜 
δ𝐼 + δ𝐼 + δ𝐼 
2 2 2 
𝑚 𝐿 𝑇 
305, 67896 + 185, 420135 + 460, 07022 
2 2 2 
13 
𝐼 
𝐼 
 
10) Compare o valor experimental, 𝐼 
0 
com valor teórico, 𝐼 . Você pode calcular o erro 
𝑡𝑒𝑜 
 
percentual na determinação de 𝐼 , lembrando que: 𝐸 
0 𝑝 
𝐼 − 𝐼 
= 0 𝑡𝑒𝑜 × 100. 
𝑡𝑒𝑜 
 
 
𝐼 = 61281, 35342 
0 
 
 
𝐼 = 61314, 58033 
𝑡𝑒𝑜 
 
 
𝐼 − 𝐼 
𝐸 = 0 𝑡𝑒𝑜 × 100 → 𝐸 = 
𝑝 𝑡𝑒𝑜 𝑝 
61281,35342 − 61314,58033 
61314,58033 
× 100 → 𝐸 
𝑝 
= − 0, 054% 
14 
2𝐿 
= 
(2𝐿) 
3 
APÊNDICE 
MOMENTO DE INÉRCIA DA HASTE DELGADA 
Para uma haste delgada de massa m e comprimento 2L, homogênea, dada a seguir 
 
 
2L → M 
 
 
dr → dm 
 
 
↓ 
 
 
𝑑𝑚 = 𝑚 𝑑𝑟 
 
 
 
 
2𝐿 Assim: 𝐼 = ∫ 𝑟
2
𝑑𝑚 resulta em: 𝐼 = ∫ 𝑟
2 𝑚 
𝑑𝑟 2𝐿 ou 𝐼 = 𝑚
 2
 ou ainda 
𝐼 1 
0 
 𝑚 (2𝐿)
3
. 
2𝐿 
0 
2𝐿 
∫ 𝑟 𝑑𝑟 
0 
Portanto: 
𝐼 
𝑡𝑒𝑜 
= 1 𝑚 (2𝐿)
2
 
3 
15 
CONCLUSÃO 
 
 
• Para este experimento, responda qual é a teoria mais adequada para o desvio 
propagado. Há algum erro sistemático importante? Explique. 
Neste experimento, calculamos o momento de inércia com as duas teorias para o desvio, 
sendo a mais adequada a teoria do desvio padrão, pois por essa teoria, o desvio é menor e, 
desta maneira, diminuímos a margem de valores possíveis para o valor verdadeiro ou teórico. 
Ao analisarmos os valores do momento de inércia teórico e experimental, concluímos que 
estes valores são compatíveis, visto que são bem próximos. 
 
• Cite os principais erros sistemáticos cometidos nesse experimento. 
Podemos citar alguns dos erros sistemáticos do experimento que são eles; erro na 
desconsideração da força de atrito do ar, a falta de precisão na contagem do período do 
pêndulo e etc. 
 
• Se toda a massa do pêndulo físico estivesse concentrada em um único ponto, a que 
distância do alfinete (ponto de apoio) essa massa deveria estar? Observe que a essa 
distância dá-se o nome de raio de giração. 
Se toda a massa do pêndulo físico estivesse concentrada em um único ponto podemos 
encontrar uma expressão que determina a sua distância ao alfinete (ponto de apoio) a partir da 
seguinte forma: 
 
𝐼 
𝑡𝑒𝑜 
2 
= ∫ 𝑟 𝑑𝑚 
 
onde r é igual a k, que é a distância do ponto de apoio até a massa, que recebe o nome de raio 
de giração 
 
• Discuta como, com um único cronômetro, se pode medir o comprimento de uma haste 
delgada. Essa experiência poderia ser realizada tendo o centro de massa como ponto de 
apoio? Explique. 
Com um cronômetro pode-se medir o comprimento de uma barra longa tendo em mãos sua 
massa, a gravidade, o momento de inércia e o período de oscilação. Não poderíamos fazer 
essa experiência tendo como ponto de apoio o centro de massa, pois a integral a ser calculada 
é dada em função do quadrado de r, e, portanto, não teríamos uma função linear. 
16 
• Os procedimentos desse experimento poderiam ser utilizados para determinar o 
momento de inércia de corpos com outras formas? Explique. 
Os procedimentos deste experimento não poderiam ser utilizados para determinar o momento 
de inércia de corpos de outra forma só se ele tiver um ponto de apoio e soubermos onde se 
localiza seu centro de massa. 
 
• Qual é a unidade apropriada para momento de inércia? 
A unidade de momento de inércia no SI (Sistema Internacional de Unidades) é kg.m2 . No 
experimento realizado foi estabelecido os valores no CGS, sendo a unidade de momento de 
inércia para o experimento, portanto, o g.cm2 .