6 - Análise Combinatória [Salvo automaticamente]

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Análise Combinatória
Rodrigo Romão
Baseado no Material – Prof. Weber Campos
https://www.cursoagoraeupasso.com.br/material/Material_05_RacLog_AEP_PF_Weber.PDF
O que é isso?
Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras! 
Casos comuns
De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?
Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?
Exemplo
 Suponhamos que eu tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes para o ar. 
A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos da moeda?
K
C
1º Lançamento
2º Lançamento
3º Lançamento
K K K
K K C
K C K
K C C
C K K
C K C
C C K
C C C
Resultado
O que aconteceria se fossem 10 lançamentos? 
Técnicas da Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
Arranjo
Combinação
Permutação
Permutação Circular
Permutação com Repetição 
1. PFC
Princípio Multiplicativo. 
Consiste em quê? 
Em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de resultados possíveis!
Exemplo da Moeda
Lançar a moeda 3 vezes.
1º lançamento: 2 (C ou K)
2º lançamento: 2 (C ou K)
3º lançamento: 2 (C ou K)
Basta então, somente multiplicar os resultados parciais.
Total = 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades.
E se forem 10 lançamentos?
Enunciado do PFC
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: 
P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;
. . . Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, 
então: (P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer.
Exemplo da festa
Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 
Exemplos da classificação
Oito atletas participam de uma corrida de 100m rasos . Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 
E se o Bolt participar da corrida? 
Exemplos dos números
Quantos números de três algarismos, distintos, podem ser formados, dispondo dos algarismos de 0 a 5? 
Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos de 0 a 9? 
2. Arranjo
Para usar o Arranjo é necessário que não haja repetição dos elementos dentro do grupo a ser formado, e a ordem dos elementos deve ser relevante! 
Posso usar arranjo se:
Criar um resultado possível para o grupo; 
Inverter a ordem do resultado que acabei de criar;
Quando comparo os dois resultados que estão diante de mim (1º e 2º passos): Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo;
Fórmula do Arranjo
Onde:
 = Arranjo de n a p;
 = número de elementos do universo;
 = número de elementos do grupo;
Nota importante!
Toda questão que pode ser resolvida por Arranjo, poderá também ser resolvida pelo Princípio Fundamental da Contagem! O caminho de volta – Princípio Fundamental da Contagem para Arranjo – nem sempre será possível!
Professor Weber Campos
!
Não é uma exclamação qualquer;
Fatorial (!) 
Exemplo: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Exemplos
Quantos números de três algarismos distintos, podem ser formados, dis-pondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Quantas sequências de três letras distintas podem ser formadas usando as letras a, b, c, d, e, f, g e h?
3. Combinação
Assim como o arranjo, não pode haver repetição dos elementos. E a ordem dos elementos NÃO é relevante! Ou seja, salada de frutas com maçã, banana e mamão é a mesma que a com banana, maçã e mamão. 
Posso usar combinação se:
Criar um resultado possível para o grupo; 
Inverter a ordem do resultado que acabei de criar;
Quando comparo os dois resultados que estão diante de mim (1º e 2º passos): Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação;
Fórmula da Combinação
Onde:
 = Combinação de n a p;
 = número de elementos do universo;
 = número de elementos do grupo;
Exemplo com comissões
Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 3 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão? 
Exemplo de conjuntos
Dispondo de um conjunto formado por 7 médicos e 5 enfermeiros, queremos formar equipes compostas por 3 médicos e 2 enfermeiros. Quantas equipes podem ser formadas? 
Exemplo da loteria
Num jogo de loteria, um apostador marcará seis dezenas, entre as 50 dezenas existentes. De quantas formas diferentes poderá o apostador preencher o seu jogo?
4. Permutação
A Permutação é um caso particular do Arranjo, onde n = p.
Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os quatro primeiros lugares? 
Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas? 
Exemplo do Cinema
Mas...
Se as moças quiserem ficar juntas?
Mas...
Se somente elas ficarem juntas?
E ainda... 
Se os rapazes também quiserem ficar juntos?
...
As moças não querem mais ficar juntas... 
e por fim...
... se eles sentarem se alternando. 
PARA DE SE MEXER P...!
5. Permutação Circular
É um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do grupo estarão dispostos em uma linha fechada, ou seja, todos os elementos do grupo terão um elemento a sua esquerda e a sua direita.
Exemplo da mesa
De quantas maneiras distintas 8 pessoas podem se sentar em uma mesa de oito lugares?
6. Permutação com Repetição
É usado quando o universo tem elementos repetidos. 
Exemplo dos anagramas
Quantos anagramas têm as palavras PASSEI, no ENEM, o AFIN UFU me AJUDOU?
Agora é sua vez
Exercício 1
Temos 7 cadeiras em fila indiana numeradas de 1 a 7 para 4 pessoas se sentarem, onde 3 cadeiras ficarão vazias. De quantos modos isso pode ser feito?
Exercício 2
Marcela e Mário fazem parte de uma turma de 15 formandos, onde 10 são rapazes e 5 são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 6 formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a?
Exercício 3
Após colocar em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 3, 4, 7 e 8, que posição ocupa o número 78413?
Exercício 4
Marcam-se 6 pontos sobre uma reta r e, sobre a paralela s, tomam-se 4 pontos. Quantos triângulos podemos formar unindo 3 quaisquer desse 10 pontos? 
No ENEM
Desafio para a próxima aula