Exercícios de Análise Matemática 2-D

Prévia do material em texto

1o Mini-teste de Análise Matemática 2-D, versão A
Nome Oleksiy Karlovych Número Turno p3, p4, p7
24 de Fevereiro de 2011
1. Determine o primeiro termo, a razão e a soma da série geométrica (se for convergente)
5− 10
3
+
20
9
− 40
27
+ . . .
Obviamente, o primeiro termo a1 = 5 e a razão
r =
a2
a1
=
a3
a2
=
a4
a3
= . . . =
−10/3
5
=
20/9
−10/3
=
−40/27
20/9
= . . . = −2
3
.
Como |r| = | − 2/3| = 2/3 < 1, a série converge e a sua soma é calculada pela fórmula
S =
a1
1− r
=
5
1− (−2/3)
=
5
1 + 2/3
=
5
5/3
= 3.
2. Estude a natureza da série
∑
(cos 1)n, justifique a sua resposta.
∑
(cos 1)n é a série geométrica da razão r = cos 1. Como |r| = | cos 1| = cos 1 ∈]0, 1[, a série
converge.
Neste caso é posśıvel também calcular a soma da série (não foi pedido):
∞∑
n=1
(cos 1)n =
cos 1
1− cos 1
.
1
3. Calcule
1
3
+
1
15
+
1
35
+ . . . +
1
4n2 − 1
+ . . .
O termo gerla desta série pode ser escrito como
1
4n2 − 1
=
1
(2n− 1)(2n + 1)
=
A
2n− 1
+
B
2n + 1
=
A(2n + 1) + B(2n− 1)
(2n− 1)(2n + 1)
=
2(A + B)n + (A−B)
(2n− 1)(2n + 1)
.
Logo {
A + B = 0
A−B = 1 ⇐⇒
{
A = −B
−B −B = 1 ⇐⇒
{
A = 1
2
B = −1
2
.
Calculando a sucessão das somas parciais, obtemos
SN =
N∑
n=1
1
4n2 − 1
=
1
2
N∑
n=1
(
1
2n− 1
− 1
2n + 1
)
=
1
2
[(
1− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
5
)
+ . . . +
(
1
2N − 3
− 1
2N − 1
)
+
(
1
2N − 1
− 1
2N + 1
)]
=
1
2
(
1− 1
2N + 1
)
.
Por definição, a série é convergente e a sua some é igual a
S = lim
N→∞
SN = lim
N→∞
1
2
(
1− 1
2N + 1
)
=
1
2
.
2