Contextualizada Cálculo Vetorial

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Cálculo Vetorial: Atividade Contextualizada 
nome
matricula
Engenharia Elétrica EAD
O funcionário de uma empresa, encarregado de determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse maquinário. 
Dado do campo vetorial:
A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t) = cos(t)i + sem(t)j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B (-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo:
O objetivo, portanto, é:
1º) determine o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento, em um determinado campo F.
Solução:
Para solução usasse a integral de linha de trabalho: 
Resta agora calcular os valores do campo F com os parâmetros (x(t),y(t),z(t)) e o vetor tangente r´(t). Sabendo como definisse o r(t), temos:
Reescrevendo o campo F em função dos parâmetros:
Calculando r´(t):
Tendo calculado o vetor tangente r´(t), resta calcular o trabalho a partir da definição da integral de linha:
 
A partícula realiza um trabalho ao longo se seu percurso, dada pela integral do produto escalar e entre o vetor tangente, seu caminho é um campo vetorial dentro dos limites da variável (t), seu resultado será sempre escalar. 
2º) essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho entre os pontos A e B realizados pela partícula.
Resposta: 
A questão está respondida, pois por questão operacional da máquina para seu funcionamento ideal seu campo deve ser conservativo, o trabalho é independente do caminho, o qual depende apenas do ponto inicial e final do trajeto exercido pela partícula.
Podemos verificar calculando o gradiente: 
Fica claro que não existe diferença de potencial no campo, ou seja, não há alteração no trabalho realizado pela partícula independente do caminho que seja percorrido entre os pontos, o campo F seria conservativo.
Fontes de pesquisa:
https://www.youtube.com/watch?v=-JOb4akerSc
https://www.youtube.com/watch?v=4NuWtXIKYWo&t=52s
https://www.youtube.com/watch?v=04Ooy3IavRM
https://www.youtube.com/watch?v=O3LtadQMG7c