Conjuntos_numericos-naturais-inteiros

Prévia do material em texto

PRÉ-CÁLCULO 
Conjuntos numéricos – Naturais e Inteiros 
ℕ 
ℕ = 𝟎, 1, 2, 3, 4, … 
 
O zero surgiu de uma necessidade de representar espaços 
vazios entre dois números naturais. 
 
 
2 
ℕ∗ é o conjunto dos números naturais sem o zero. 
 
 
ELEMENTO NEUTRO ℕ 
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
 
 
Elemento neutro 
 
 
3 
da adição a + 0 = a, ∀a, b ∈ ℕ 
 
da multiplicação a ∙ 1 = a, ∀a ∈ ℕ 
 
 
Propriedades Fundamentais ℕ 
ℕ = *0, 1, 2, 3, 4, … + 
 
Comutatividade: 
 
A ordem das parcelas não altera a soma. 
a + b = b + a, ∀a, b ∈ ℕ 
 
A ordem dos fatores não altera o produto. 
a ∙ b = b ∙ a, ∀a, b ∈ ℕ 
 4 
 
Propriedades Fundamentais ℕ 
ℕ = *0, 1, 2, 3, 4, … + 
 
Associatividade: 
 
O resultado da soma ou produto de três números independe 
da forma como estão associados. 
(a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ ℕ 
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), ∀a, b, c ∈ ℕ 
 
5 
 
Relações de ordem ℕ 
6 
 
Relações de ordem ℕ 
 
 
Sejam a, b ∈ ℕ e se ∃𝑐 ∈ ℕ|𝑎 + 𝑐 = 𝑏 ⇒ 
 a < b ou b > a. 
7 
 
Potências e raízes ℕ 
 
 
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 
8 
potência 
base 
expoente 
Potências ℕ 
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 + 𝑚 
 
𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 − 𝑚 
 
𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚 ∙ 𝑛 
 
𝑎−𝑛 = 
1
𝑎𝑛
 
9 
 
Raízes ℕ 
 
 
 
 Se 𝑎, 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ | 𝑎𝑛 = 𝑏 ⇒ 
10 
𝑎 = 𝑏
𝑛
 
 
Potências e raízes ℕ 
 
 
(−2)2 = 𝟐 𝑜𝑢 − 𝟐? 
11 
 
ℤ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
12 
 
ℤ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
13 
 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ℤ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
14 
 
MÓDULO ℤ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
15 
ELEMENTOS SIMÉTRICOS DE ℤ 
 
MÓDULO ℤ 
16 
|-3| = 3 e |5| = 5 
3 + 5 = 8 horas para o leste 
(acréscimo) 
MÓDULO ℤ 
 𝑥 = 
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℤ 
 
𝑥2 = | 𝑥 | 
17 
 
Potências e raízes ℕ 
 
 
(−2)2 = −𝟐 = 𝟐 
18 
 
EQUAÇÃO MODULAR 
 𝑥 = 4 
 
19 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
 𝑥 < 4 
 
20 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
 𝑥 > 4 
 
21 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
22 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
23 
 
ℤ 
 
ℤ∗ = … ,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, … 
 
 ℤ+ = 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
 ℤ− = … ,−4,−3,−2,−1, 0 
 
 
 
24 
 
ELEMENTO NEUTRO ℕ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
 
 
Elemento neutro 
 
 
25 
da adição a + 0 = a, ∀a, b ∈ ℤ 
 
da multiplicação a ∙ 1 = a, ∀a ∈ ℤ 
 
 
Propriedades Fundamentais ℕ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
Associatividade: 
 
(a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ ℤ 
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), ∀a, b, c ∈ ℤ 
(a − b) − c ≠ a − (b − c), ∀a, b, c ∈ ℤ 
 
 
 
26 
 
Propriedades Fundamentais ℕ 
ℤ = … ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … 
 
Comutatividade: 
 
a + b = b + a, ∀a, b ∈ ℤ 
a ∙ b = b ∙ a, ∀a, b ∈ ℤ 
a − b ≠ b − a, ∀a, b ∈ ℤ 
27 
a − b = a +(− b)