Formulario_P1_MEF_ME7010_NM8010_2020 (1)

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Prof. Dr. William Maluf Versão: maio/18/2020 1
Método dos Elementos Finitos
ME7010 e NM8010 
Formulário da avaliação P1
Definições fundamentais
• Grau de Liberdade (GL): número de variáveis independentes necessárias para expressar a
configuração geométrica em um instante. Costuma-se nomear GLs como: x1, x2, ..., xn.
• Vetor de graus de liberdade 𝑋 : vetor formado pela organização racional dos GLs
desconhecidos 𝑋 𝛼 e conhecidos 𝑋 𝛽.
• Vetor de carregamentos 𝐹 : vetor formado pela organização racional dos esforços da estrutura.
Os esforços externos, forças ou momentos, aplicados na estrutura: 𝐹 𝛼. Por sua vez, as reações
de apoio desconhecidos: 𝐹 𝛽.
• Funcional (P): toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de
escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma função de uma função. O
funcional associado à um sistema elástico com GL independentes:
• Energia potencial elástica (U)
• Trabalho mecânico (W): feito pelo sistema (W > 0); sobre o sistema (W < 0). Corresponde às
forças externas multiplicadas pelos respectivos deslocamentos somadas com os momentos
externos multiplicados pelas respectivas rotações.
• Posição de equilíbrio (PE): para um sistema mecânico conservativo,
uma PE da estrutura corresponde à um ponto cuja derivada do funcional é nula.
• Coordenadas: global (x;y); local (𝑥; 𝑦). Matriz de transformação de coordenadas: 𝑇 .
• Teorema do Funcional P mínimo: também conhecido por Forma direta do MEF, Abordagem
energética ou Abordagem de Lagrange. O algoritmo de solução é: a) numere os GLs; b) defina
um sentido para eles; c) calcule o funcional P; d) derive parcialmente em relação à todos os GLs
e iguale a zero.
• Equações de equilíbrio do corpo: também conhecido por Forma indireta do MEF, Abordagem
mecânica ou Abordagem de Newton. O algoritmo de solução é: a) numere os GLs; b) defina um
sentido para eles; c) adote um sentido para as forças internas; d) calcule as forças internas; e)
aplique o equilíbrio nodal; f) reagrupe os termos em função dos GLs.
• Matriz de rigidez: 𝐾 . Matriz de rigidez do elemento: 𝐾 𝑒.
𝛱 𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛 = 𝑈 𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛 +𝑊 𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛
𝑈 =
1
2
∙ න
𝑉
𝜎 𝑇 ∙ 𝜖 ∙ ⅆ𝑉 𝑈𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 =
1
2
∙ න
𝑉
𝐴 ∙ 𝐸 ∙
ⅆ𝑢
ⅆ𝑥
2
∙ ⅆ𝑥 𝑈𝑣𝑖𝑔𝑎 =
1
2
∙ න
𝑉
𝐸 ∙ 𝐼 ∙
ⅆ2𝑣
ⅆ𝑥2
2
∙ ⅆ𝑥
: tensão; : deformação; V: volume; A: área; E: módulo de elasticidade; I: momento de inércia; 
deslocamentos=> u: horizontal; v: vertical . O índice “T” indica matriz transposta. 
𝑃𝐸 ↔
𝜕Π
𝜕𝑥𝑖
= 0
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• Identificação dos GLs: para organizar a solução dos sistemas lineares, sugere-se numerar
primeiramente os GLs desconhecidos 𝑋 𝛼 e depois os conhecidos 𝑋 𝛽.
Teorema fundamental da Elasto-Estática 
𝐾 𝛼𝛼
𝐾 𝛽𝛼
𝐾 𝛼𝛽
𝐾 𝛽𝛽
∙
𝑋 𝛼
𝑋 𝛽
=
𝐹 𝛼
𝐹 𝛽
𝐾 𝛼𝛼 ∙ 𝑋 𝛼 = 𝐹 𝛼 − 𝐾 𝛼𝛽 ∙ 𝑋 𝛽
𝐹 𝛽 = 𝐾 𝛽𝛼 ∙ 𝑋 𝛼 + 𝐾 𝛽𝛽 ∙ 𝑋 𝛽
• Algoritmo de solução para 𝑋 𝛽 ≠ 0: a) numerar os elementos, os nós e definir as coordenadas globais;
b) preencha o arranjo de dados numerando os graus de liberdade ordenadamente (1º: 𝑋 𝛼; 2º: 𝑋 𝛽);
c) determinar [K]e dos elementos; d) montar a matriz de rigidez da estrutura [K] demonstrando a
sobreposição dos termos; e) particionar [K] e verificar a unicidade da solução (ⅆ𝑒𝑡 𝐾 𝛼𝛼 ≠ 0); f)
apresentar a equação de equilíbrio; g) calcular 𝑋 𝛼; h) determinar 𝐹 𝛽 . Para a equação de equilíbrio
no caso particular: 𝑋 𝛽 = 0→ b) iguale a zero os 𝑋 𝛽 e depois numere 𝑋 𝛼. O 𝐹 𝛽 é obtido através
da soma vetorial de 𝐹 𝑒 dos nós dos elementos que são vínculos/restrições da estrutura. Aplique:
𝐹 𝑒 = 𝐾 𝑒 ∙ 𝑋 𝑒
• Hipóteses de modelagem: material homogêneo/isotrópico; regime elástico linear; pequenos
deslocamentos; cargas axiais nodais; extremidades pinadas; 2 nós; [K]4x4: u1;v1; u2;v2.
Elemento de Mola 2D
Sistemas de coordenadas: global (x;y); local (𝑥; 𝑦). Ângulo do elemento:𝜃𝑒. Deve ser medido iniciando-se em x e
terminando em 𝑥. Matriz de transformação de coordenadas: 𝑇 . Deslocamento: Ԧ𝑠 . Projeções ortogonais nas
coordenadas globais (u;v) e locais (𝑢; 𝑣). Índices: 𝑚 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒 ; 𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒 . K: rigidez axial da mola. U: energia
potencial elástica. Deve-se endereçar os GLs da matriz de rigidez de todos elementos. {X}: vetor de GLs do elemento.
O índice “e” das fórmulas se refere ao número do elemento que se deseja estudar.
𝑇 =
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
0
0
0
0
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
𝑢1
𝑣1
𝑢2
𝑣2
=
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
0
0
0
0
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
∙
𝑢1
𝑣1
𝑢2
𝑣2
𝑚 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒
𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒
Matriz de transformação de 
coordenadas
𝑈𝑚𝑜𝑙𝑎𝑒 =
1
2
∙ 𝑋 𝑒
𝑇 ∙ 𝐾 𝑒 ∙ 𝑋 𝑒 ഥ𝐾 𝑚𝑜𝑙𝑎 =
𝐾
0
−𝐾
0
0
0
0
0
−𝐾
0
𝐾
0
0
0
0
0
𝑋 𝑒 =
𝑢1
𝑣1
𝑢2
𝑣2
𝐾 ∙ 𝑋 = 𝐹
𝑋
𝑒
= 𝑇 ∙ 𝑋 𝑒
𝐹
𝑒
= 𝑇 ∙ 𝐹 𝑒
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Arranjo de dados
Nós
GL ID 1 2 3 4 5
u
v
q
• Matriz de identidade (ID): relaciona os GLs com os respectivos nós. A sequência de numeração
dos GLs depende de 𝑋 𝛽. Se 𝑋 𝛽 ≠ 0: numere primeiramente todos 𝑋 𝛼 e depois 𝑋 𝛽. Se
𝑋 𝛽 = 0: atribua zero para todos 𝑋 𝛽 e depois numere todos 𝑋 𝛼 . Acrescente mais colunas
caso seja necessário. Os GLs, no sistema de coordenadas globais, são=> u: horizontal em X; v:
vertical em Y; q: inclinação angular da Linha Neutra (LN) em Z.
• Matriz de Incidência (IN): relaciona a ordem interna dos nós do elemento. A escolha da ordem
interna dos nós do elemento é aleatória. Apenas o elemento CST deve ter seus nós internos
numerados em sentido anti-horário. Acrescente mais colunas caso seja necessário.
• Matriz de localização (LM): conecta os GLs a cada elemento. Se trata de uma soma lógica das
matrizes ID e IN. Acrescente mais colunas caso seja necessário.
• Matriz de propriedades (PROP): reúne as propriedades geométricas e físicas dos elementos.
Certifique-se de fazer uma análise dimensional nas unidades dos respectivos parâmetros de
caracterização dos elementos.
Elementos
Nós IN 1 2 3 4 5
1º nó
2º nó
3º nó
Elementos
O
rd
em
 d
o
s 
gr
au
s 
d
e 
lib
er
d
ad
e 
LM 1 2 3 4 5
1º GL
2º GL
3º GL
4º GL
5º GL
6º GL
Elementos
P
ro
p
ri
ed
ad
es
 d
o
s 
el
em
en
to
s
PROP 1 2 3 4 5
𝜃𝑒 [
o]
L
K, 𝛽
𝜑
𝜆
𝜌
Etapas do MEF
• Pré-processamento • Processamento • Pós-processamento
3
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Elemento de Barra
• Hipóteses de modelagem: material homogêneo/isotrópico; regime elástico linear; pequenos
deslocamentos; cargas axiais nodais; extremidades pinadas; 2 nós (GL: u; v); princípio de Saint-
Venant; [K]4x4: u1;v1; u2;v2. 𝑚 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒
𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒
ഥ𝐾 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 =
𝐾
0
−𝐾
0
0
0
0
0
−𝐾
0
𝐾
0
0
0
0
0
𝑋 𝑒 =
𝑢1
𝑣1
𝑢2
𝑣2
𝑋
𝑒
= 𝑇 ∙ 𝑋 𝑒
𝐹
𝑒
= 𝑇 ∙ 𝐹 𝑒
𝑇 =
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
0
0
0
0
𝑚
−𝑛
0
0
𝑛
𝑚
𝑢 𝑥 = 𝑁1 𝑥 ∙ 𝑢1°𝑛ó +𝑁2 𝑥 ∙ 𝑢2°𝑛ó
𝑁1 𝑥 = 1 −
𝑥𝑖
𝐿
; 𝑁2 𝑥 =
𝑥𝑖
𝐿
Interpolação
Funções de forma
Obs.: ao interpolar, utilize as coordenadas 
locais do ponto i em relação à ordem de 
numeração interna definida na matriz IN
Elemento de Viga de Euler-Bernoulli
• Hipóteses de modelagem: material homogêneo/isotrópico; regime elástico linear; pequenos
deslocamentos; cargas nodais; somente flexão; 2 nós (GL: u; v; 𝜃); princípio de Saint-Venant;
[K]6x6: u1;v1; q1; u2;v2; q2. Não existe deformação axial: u1= u2→ u=0. O eixo 𝑥 coincide com a
LN; L/h≥ 10: cisalhamento é desprezível; seção transversal constante e simétrica (𝐸 ∙ 𝐼 = 𝑐𝑡𝑒 ).
𝑁1 𝑥 = 1 − 3 ∙
𝑥𝑖
𝐿
2
+ 2 ∙
𝑥𝑖
𝐿
3
; 𝑁2 𝑥 = 𝑥𝑖 − 2 ∙
𝑥𝑖
2
𝐿
+
𝑥𝑖
3
𝐿2
𝑁3 𝑥 = 3 ∙
𝑥𝑖
𝐿
2
− 2 ∙
𝑥𝑖
𝐿
3
; 𝑁4 𝑥 = −
𝑥𝑖
2
𝐿
+
𝑥𝑖
3
𝐿2
Interpolação
Funções de forma
𝑣 𝑥 = 𝑁1 𝑥 ∙ 𝑣1°𝑛ó + 𝑁2 𝑥 ∙ 𝜃1°𝑛ó + 𝑁3 𝑥 ∙ 𝑣2°𝑛ó + 𝑁4 𝑥 ∙ 𝜃2°𝑛ó
𝜃 𝑥 =
ⅆ𝑁1 𝑥
ⅆ𝑥
∙ 𝑣1°𝑛ó +
ⅆ𝑁2 𝑥
ⅆ𝑥
∙ 𝜃1°𝑛ó +
ⅆ𝑁3 𝑥ⅆ𝑥
∙ 𝑣2°𝑛ó +
ⅆ𝑁4 𝑥
ⅆ𝑥
∙ 𝜃2°𝑛ó
𝐾
𝑒
𝑋
𝑒
= 𝐹
𝑒
𝐾 𝑒 = 𝑇
𝑇 𝐾
𝑒
𝑇
𝛽 =
𝐴 ∙ 𝐸
𝐿
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