Lista de Exercícios 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
01352 - CÁLCULO II – TURMA: U 
 
Lista de Exercícios N° 1 
1. Calcular o diferencial dy das funções abaixo: 
 
a) 186 3  xxy 
 
f) 2
1
2 

x
y 
b) )4ln( 3  xy 
 
g) 
21 xy  
c) 4
2 xey 
 
h) 
xey 4 
d) )4( xseny  
 
i) 
xexy 2 
e) 
3)21( xy  
j) 52  yxxy 
 
 
 
2. Mostre que se 
222 ayx  , então dx
y
x
dy  
 
3. Dada a função y = 4x2 -3x + 1 encontre ∆y e dy para: 
 
a) x = 2 e dx = 0,1 b) x = 2 e dx = 0,01 c) x = 2 e dx = 0,001 
4. Achar o erro que se comete ao tomar a diferencial da função 
2
1
x
y  , quando x = 2 e 
∆x = 0,01. 
 
5. Provar que a diferencial da função )ln( 2 xseny  é .cot2 dxxgdy  
 
6. Calcule o valor aproximado usando diferencial para: 
a) 3 28y b) 
)92,0ln(y
 c)
)61( oseny  
7. Ache o diferencial da função f (x) = ln(1 x2). 
8. O raio de uma esfera metálica cresceu de 8,0 cm para 8,1 cm com aquecimento. Use 
diferencial para calcular o acréscimo aproximado do volume. 
9. Um objeto de madeira com a forma de um cilindro de 3 cm de diâmetro e de 30 cm de 
altura é posto na lixadeira e seu diâmetro, reduzido a 2,95 cm. Use diferencial para estimar 
o volume do material reduzido. Qual o erro cometido nesse cálculo? 
10. Use diferenciais para estimar o volume aproximado de uma camada cilíndrica circular 
de 6 cm de altura cujo raio interno mede 2 cm e cuja espessura é de 0,1 cm. 
11. O período de oscilação de um pêndulo é igual a 
g
T

 , onde  é o comprimento 
do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. Que influência sobre o erro de cálculo do 
período T exercerá um erro de 1% fora da medida do comprimento do pêndulo  ? 
12. As fórmulas para a área e o volume de uma esfera são, respectivamente, 
24 rA  e 
3
3
4
rV  . Mediu-se o raio e achou-se 3cm. Pergunta-se: 
a) Qual o máximo erro aproximado em A e V se o raio foi medido com uma aproximação 
de 0.01cm? 
b) Qual o máximo erro percentual em cada caso? 
13. Mostre que o erro relativo no volume de uma esfera, devido a um erro na medida do 
diâmetro é três vezes o erro relativo no raio. 
14. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas de 40cm 
de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 0.5cm a 
mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser 
usada. 
 
Respostas 
1.a) dy = (18x2 +8).dx b) dxx
x
dy 







4
3
3
2
 c) dxe
x
x
dy
x









 4
2
2
4
 d) 
dxxdy )4(cos4 e) 𝑑𝑦 = −6(1 − 2𝑥)2𝑑𝑥 f)  
dx
x
x
dy
22 2
2


 
g) dx
x
x
dy











21
 h) 
xedy 44 i) 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥(2𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑥 
j) dx
x
y
dy
2
)1(


 
3. a) ∆y = 1,34 e dy = 1,3 b) ∆y = 0,1304 e dy = 0,13 c) ∆y = 0,013004 e dy = 0,013 
4. e = 0,00002 6. a) 3,037 b) -0,08 c) 0,8747 7. dx
x
x
dy
21
2

 
8. 25,6π cm3 9. 0,9π cm3 10. 2,4π cm3 11. %2
1
 
12. a) 
224.0 cmdA  e 336.0 cmdV  b) %
3
2
 na área e %1 no volume. 14. 2.5%