Integral Definida

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
01352 - CÁLCULO II – TURMA: U 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
ÁREA 
 Considere o problema de definir a área A de uma região plana R, delimitada pelo 
gráfico de uma função contínua e não negativa  xf , pelas retas ax  , bx  e pelo 
eixo ox, conforme mostra a Figura 1. 
 
Figura 1 
 Para isso, consideramos uma partição do intervalo  ba, , obtida através da 
divisão deste intervalo em n subintervalos, escolhendo os seguintes pontos 
intermediários entre a e b : 
bxxxxxxa nii    1210 . 
 Determinamos o comprimento de cada subintervalo, de modo que 1 iii xxx 
seja o comprimento do subintervalo   nixx ii ,,2,1,,1  . 
 Em cada um destes intervalos  ii xx ,1 , escolhemos um ponto qualquer ic e 
calculamos  icf . 
 Para cada i, ni ,,2,1  , construímos um retângulo de base ix , altura  icf e 
área   ii xcf  , conforme a Figura 2. 
 
Figura 2 
 Formamos assim a seguinte soma: 
       


n
i
iinn xcfxcfxcfxcf
1
2211  , 
que é a soma das áreas dos n retângulos. Esta soma é chamada de soma de Rieamann 
da função  xf . 
 Observe que à medida que n cresce muito e cada nixi ,,2,1,  torna-se 
muito pequeno, a soma das áreas dos retângulos aproxima-se da área A da região R. 
Sendo assim, podemos definir a área A da região R é definida por: 
 



n
i
ii
xmáx
xcfA
i 1
0
lim . 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 A integral definida está associada ao limite definido anteriormente, Ela surgiu 
com a formalização matemática dos problemas de áreas e dos problemas físicos. 
 
DEFINIÇÃO: Seja  xf uma função definida no intervalo  ba, e seja P uma partição 
qualquer de  ba, . A integral definida de  xf de a até b , denotada por  dxxf
b
a , é 
definida por: 
   



n
i
ii
xmáx
b
a
xcfdxxf
i 1
0
lim , 
desde que o limite do 2° membro exista. 
Se  dxxf
b
a existe, dizemos que  xf é integrável em  ba, . 
 
NOTAÇÃO:  dxxf
b
a , onde a e b são chamados de limites de integração ( a é o 
limite inferior e b é o limite superior). 
 
OBS.: 1. Se  xf é integrável em  ba, , então:    dttfdxxf
b
a
b
a   , isto é, podemos 
utilizar qualquer símbolo para representar a variável de integração. 
 2. Quando  xf é uma função contínua e não negativa em  ba, , a definição da 
integral definida coincide com a definição da área vista anteriormente, portanto, neste 
caso, a integral definida  dxxf
b
a é a área da região sob o gráfico de  xf de a até b . 
 3. Sempre que utilizamos um intervalo  ba, , supomos ba  . Assim na 
definição da integral definida, não levamos em conta os casos em que ba  . 
 
DEFINIÇÃO: 
1. Se ba  , então:    dxxfdxxf
a
b
b
a   , se a integral à direita existir. 
2. Se ba  e  af existe, então:   0 dxxf
a
a
. 
 
TEOREMA: Se  xf é contínua em  xf , então  xf é integrável em  ba, . 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA: 
1. Se  xf é integrável em  ba, e k é um número real arbitrário, então  xfk é 
integrável em  ba, e 
   dxxfkdxxfk
b
a
b
a   . 
Prova: Como  xf é integrável em  ba, , então existe  



n
i
ii
xmáx
xcf
i 1
0
lim , e portanto: 
       dxxfkxcfkxcfkdxxfk
b
a
n
i
ii
xmáx
n
i
ii
xmáx
b
a ii
 




1
0
1
0
limlim 
2. Se  xf e  xg são duas funções integráveis em  ba, , então    xgxf  é 
integrável em  ba, e 
        dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a   . 
Prova: Se  xf é integrável em  ba, , então existe     


b
a
n
i
ii
xmáx
dxxfxcf
i 1
0
lim . 
Se  xg é integrável em  ba, , então existe     


b
a
n
i
ii
xmáx
dxxgxcg
i 1
0
lim . 
Escrevemos então: 
         
   
    .
limlim
lim
1
0
1
0
1
0
dxxgdxxf
xcgxcf
xcgcfdxxgxf
b
a
b
a
n
i
ii
xmáx
n
i
ii
xmáx
n
i
iii
xmáx
b
a
ii
i












 
Observe que esta propriedade pode ser estendida para um número finito de funções, ou 
seja: 
            dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf
b
a
n
b
a
b
a
b
a
n    2121 . 
Esta propriedade vale também para a diferença de funções, ou seja: 
        dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a   . 
3. Se bca  e  xf é integrável em  ca, e em  bc, , então  xf é integrável em 
 ba, e 
     dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a   . 
Prova: 
Considere uma partição do intervalo  ba, de tal forma que  bac , seja um ponto da 
partição, isto é, ixc  , para algum i, então temos: 
bxxcxxxxa nii    1210 . 
Podemos dizer que o intervalo  ca, ficou dividido em r subintervalos e  bc, em 
 rn  subintervalos. Obtemos então as seguintes somas de Riemann: 
 


r
i
ii xcf
1
 e  


n
ri
ii xcf
1
. 
Então, 
     


n
ri
ii
r
i
ii
n
i
ii xcfxcfxcf
111
. 
Daí, usando a definição de integral definida temos: 
       
   
   dxxfdxxf
xcfxcf
xcfxcfxcfdxxf
b
c
c
a
n
ri
ii
xmáx
r
i
ii
xmáx
n
ri
ii
r
i
ii
xmáx
n
i
ii
xmáx
b
a
ii
ii




















1
0
1
0
11
0
1
0
limlim
limlim
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
 Se  xf for contínua no intervalo  ba, e se  xF é uma função tal que 
   xfxF  , para todo  bax , , então: 
     aFbFdxxf
b
a
 . 
Prova: Considere uma partição do intervalo  ba, , tal que: 
bxxxxxxa nii    1210 . 
Esta partição determina os seguintes subintervalos do intervalo  ba, : 
       bxxxxxxa n ,,,,,,,, 132211  , 
cujos comprimentos denotaremos por nxxx  ,,, 21  , respectivamente. 
Por hipótese    xfxF  , para todo  bax , , então  xF satisfaz as hipóteses do 
Teorema do Valor Médio em cada subintervalo da partição considerada. Portanto 
podemos encontrar os pontos nccc ,,, 21  nos respectivos intervalos 
       bxxxxxxa n ,,,,,,,, 132211  , tais que: 
         11111 xcfaxcFaFxF  
         2212212 xcfxxcFxFxF  
         3323323 xcfxxcFxFxF  
 
         nnnnn xcfxbcFxFbF   11 
Somando as equações precedentes, obtemos: 
             


n
i
iinn xcfxcfxcfxcfxcfaFbF
1
332211  
Fazendo n , de tal forma que 0max  ix e supondo que  xf é contínua no 
intervalo  ba, , obtemos: 
             


b
a
n
i
ii
xx
dxxfxcfaFbFaFbF
ii 1
0max0max
limlim . 
OBS.: É usual denotar         aFbFxFdxxf ba
b
a
 . 
 
Exemplos: Calcular as seguintes integrais definidas: 
1.  20

dxsenx 
Solução: 
    10cos
2
coscos 20
2
0



xdxsenx 
2.  
0
2
243 dxxx 
Solução: 
 

 
      8044
2
3
4
2
3
24
2
1
34343
3
0
2
32
0
2
2
3
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2





































 
x
x
dxxxdxxxdxxx
du
n
u

 
3. 
2
1
ln dxx 
Solução: Resolvendo a integral por partes, consideramos dx
x
duxu
1
ln  e 
xvdxdv  , daí temos: 
  
    14ln122ln2ln2
1ln12ln2
1
lnln
22
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1

 
x
dxdx
x
xxxdxx
 
4. 

16
0
4
1
dx
x
x
 
Solução: Considere a troca de variáveis: nyx  , onde   444,2 yxmmcn  , 
portanto dyydx 34 . Quando 00  yx e quando 216  yx . Portanto temos: 
 
 
 
24
3
8
3
4
1
14
1
4
4
1
4
11
1
2
0
3
2
0
2
0 2
2
2
0 2
4
2
0
3
2
2
0
3
2
1
4
4
1
4
16
0
2
1
4
1
16
0
4
arctgarctgyy
y
y
dy
dyydy
y
y
dyy
y
y
dyy
y
y
dx
x
x
dx
x
x
























 

 
CÁLCULO DE ÁREAS 
 
ELEMENTO DE ÁREA "dx": 
 
Exemplos: 
1. Considere a área da região R, limitada pelas retas bxax  , , pelo eixo ox e pelo 
gráfico da curva  xfy  , sendo   0xf e contínua  bax , , conforme mostra a 
figura 3. 
 
Figura 3 
 
 Neste caso a área desta região é definida por: 
    dxxfdxxfA
b
a
b
a
R   0 . 
 
2. Considere a área da região R, limitada pelas retas bxax  , , pelo eixo ox e pelo 
gráfico da curva  xfy  , sendo   0xf e contínua  bax , , conforme mostra a 
figura 4. 
 
Figura 4 
 Neste caso, a área desta região é definida por: 
    dxxfdxxfA
b
a
b
a
R   0 
 
3. Considere a área da região R, limitada pelos gráficos das curvas  xfy  ,  xgy  e 
pelas retas ax  e bx  , conforme a figura 5. 
 
Figura 5 
 Neste caso a área desta região é definida por: 
    dxxgxfA
b
a
R   . 
 
ELEMENTO DE ÁREA "dy": 
 
Exemplos: 
1. Considere a área da região R, limitada pelas retas byay  , , pelo eixo oy e pelo 
gráfico da curva  yfx  , sendo   0yf e contínua  bay , , conforme mostra a 
figura 6. 
 
Figura 6 
 
 Neste caso a área desta região é definida por: 
    dyyfdyyfA
b
a
b
a
R   0 . 
 
2. Considere a área da região R, limitada pelas retas byay  , , pelo eixo oy e pelo 
gráfico da curva  yfx  , sendo   0yf e contínua  bay , , conforme mostra a 
figura 7. 
 
 
Figura 7 
 
 Neste caso, a área desta região é definida por: 
    dyyfdyyfA
b
a
b
a
R   0 
 
3. Considere a área da região R, limitada pelos gráficos das curvas  yfx  ,  ygx  e 
pelas retas ay  e by  , conforme a figura 8. 
 
 
Figura 8 
 
 Neste caso a área desta região é definida por: 
    dyygyfA
b
a
R   . 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1. Calcular, por integração, a área da região limitada entre as curvas: 6 xy e 
.2xy  
Solução: 
 
Figura 9 
 De acordo com a figura 9 temos que a área da região é determinada por: 
 
..
6
125
6
1611427
3
8
19
2
9
3
8
122918
2
9
3
6
2
6
3
2
32
3
2
2
au
x
x
x
dxxxA


















 
 
2. Calcular, por integração, a área da região limitada entre as curvas: 28 xy  e 
.2xy  
 
Figura 10 
 De acordo com a figura 10, a área da região é determinada por: 
   
..
3
64
3
1648
2
3
16
162
3
28228282
2
0
3
2
0
2
2
0
22
au
x
xdxxdxxxA





 













 
 
 
 
3. Calcular, por integração, a área da região limitada entre as curvas: 2yx  e 
.42 2  yx 
Solução: 
 
 
Figura 11 
 
 
De acordo com a figura 11, a área da região é determinada por: 
 
    
..
3
32
3
248
28
3
8
2
4
3
242422
2
0
3
2
0
2
2
0
22
au
y
y
dyydyyyA





 













 
 
 
4. Calcular, por integração, a área da região limitada entre as curvas: 3,6 xyxy  
e 
2
x
y  . 
Solução: 
 
 
Figura 12 
 
 De acordo com a figura 12, a área da região é determinada por: 
 
 
  ..221012240
4212
4
3
6
42
6
2
3
6
6
2
6
0
4
2
2
0
42
0
4
2
0
3
0
4
au
x
x
xx
xdx
x
dxxxdx
x
xA





































