Coeficiente angular - 11classe

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Professor: Chabane Assuate Ibraimo 
 
 
 
ESCOLA SECUNDÁRIA D´A POLITÉCNICA DE NACALA 
ESDP 
Aula Nº 5 
TEMA: CÁLCULO DO COEFICIENTE LINEAR (DECLIVE) 
Disciplina: Matemática Data: 14 / 09 / 2020 
Classe: 11ª Semana: 14/ 09 á 18/ 09 
 
 
COEFICIENTE ANGULAR (DECLIVE) DE UMA RECTA DADO O ÂNGULO 
Observe os gráficos das rectas 𝑟, 𝑠, 𝑡 e 𝑢. 
𝑟: 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 𝑡: 𝑥 = 3 
𝑠: 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 𝑢: 𝑦 = 2 
 
 
 
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Chama-se coeficiente angular (declive) de uma recta r, de inclinação 𝛼 (𝛼 ≠ 90°), ao número 
real 𝑚𝑟, dada por: 
𝒎𝒓 = 𝒕𝒈 𝜶 
EXEMPLOS: 
1. Calcular o coeficiente angular da recta r, sendo 𝛼 = 90°. 
 
Resolução: 
mr = tg α ⟹ mr = tg 30° ⟹ mr =
√3
3
. 
 
2. Calcular o coeficiente angular da recta r, sabendo que o angulo formado pelas rectas r e s 
é igual a 30°. 
 
 
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Resolução: 
 
 
mr = tg α ⟹ mr = tg 120° ⟹ mr = −√3. 
3. Calcular o coeficiente angular da recta r, sendo α = 0° 
 
Resolução: 
mr = tg α ⟹ mr = tg 0° ⟹ mr = 0. 
 
4. Calcular o coeficiente angular da recta r, sendo α = 90° 
 
 
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mr = tg α ⟹ mr = tg 90° ⟹ Não existe mr. 
 
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RECTA DADO DOIS PONTOS 
Vamos considerar no plano cartesiano uma recta r não-perpendicular ao eixo Ox e dois pontos 
distintos 𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎) 𝑒 𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏) em r. 
 
O triângulo ABC é rectângulo em C. 
Calculando tangente de angulo 𝛼, temos: 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
, como 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎, 
temos: 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
1. Calcular o coeficiente angular da recta r que passa pelos pontos 𝐴(3,2) e 𝐵(1,4). 
Resolução: 
Dados: 𝑦𝑏 = 4, 𝑦𝑎 = 2, 𝑥𝑏 = 1 𝑒 𝑥𝑎 = 3. 
𝑚𝑟 =
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
⟹ 𝑚𝑟 =
4−2
1−3
⟹ 𝑚𝑟 = −
2
2
⟹ 𝑚𝑟 = −1. 
2. Calcular o valor de k para que uma recta que passa pelos pontos 𝐴(4,1) e 𝐵(1, 𝑘), tenha 
coeficiente angular igual a −
4
3
. 
Resolução: 
Calculando o coeficiente angular da recta, temos: 
Dados: 𝑦𝑏 = 𝑘, 𝑦𝑎 = 1, 𝑥𝑏 = 1 𝑒 𝑥𝑎 = 4 𝑒 𝑚𝑟 = −
4
3
 
𝑚𝑟 =
𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
⟹ −
4
3
=
𝑘 − 1
1 − 4
⟹ −
4
3
=
𝑘 − 1
−3
⟹ −4 ∙ (−3) = 3(𝑘 − 1) ⟹ 12 = 3𝑘 − 3 
⟹ 3𝑘 = 12 + 3 ⟹ 3𝑘 = 15 ⟹ 𝑘 =
15
3
⟹ 𝑘 = 5. 
 
CÁLCULO DE COEFICIENTE ANGULAR DADO UMA EQUAÇÃO DA RECTA 
i. Para equação geral da recta r, temos: 𝒓: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 
O coeficiente angular é dado por: 𝒎𝒓 = −
𝒂
𝒃
. 
 
ii. Para equação reduzida da recta r, temos: 𝒓: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 
O coeficiente angular é dado por: 𝒎𝒓 = 𝒂. 
 
EXEMPLOS 
1. Dadas as equações gerais da recta, determine o coeficiente angular em cada caso: 
a) 𝑟: 2𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0 
b) 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 
Resolução: 
Para 𝑟: 2𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0, temos: 𝑚𝑟 = −
𝑎
𝑏
⟹ 𝑚𝑟 = −
2
5
⟹ 𝑚𝑟 = −
2
5
. 
Para 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0, temos: 𝑚𝑠 = −
𝑎
𝑏
⟹ 𝑚𝑠 = −
4
(−2)
⟹ 𝑚𝑠 =
4
2
⟹ 𝑚𝑠 = 2. 
 
 
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2. Das equações grais da recta, escreva as equações reduzidas e indique o coeficiente angular 
em cada caso: 
a) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 
b) 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 
Resolução: 
a) Para 𝑟: 2𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0 ⟹ 5𝑦 = −2𝑥 − 3 ⟹ 𝑦 = −
2𝑥
5
−
3
5
, temos: 𝑚𝑟 = −
2
5
. 
b) Para 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 ⟹ −2𝑦 = −4𝑥 − 6 ⟹ 𝑦 =
−4𝑥
−2
−
6
−2
⟹ 𝑦 = 2𝑥 + 3, 
temos: 𝑚𝑠 = 2 ⟹ 𝑚𝑠 = −
4
(−2)
⟹ 𝑚𝑠 =
4
2
⟹ 𝑚𝑠 = 2. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1. Calcule o coeficiente angular da reta r: 
a) b) y 
 y r r 
 
 
 45° 45° 
 x x 
 
 
c) d) 
 y y 
 
 r 
 
 r 
 30° 
 30° x x 
 
 
 
 
2. Dados os pontos A e B, calcule o coeficiente angular da reta AB : 
 𝑎) 𝐴(3, −4) 𝑒 𝐵(6, −1) 𝑏) 𝐴(2, −1) 𝑒 𝐵(3, −4) 𝑐) 𝐴(−5,3) 𝑒 𝐵(−7,4) 𝑑) 𝐴(1,8) 𝑒 𝐵(1,5) 
 𝑒) 𝐴(−3,2) 𝑒 𝐵(2,2) 
3. Calcule a inclinação da reta AB em cada caso : 
 𝑎) 𝐴(5, −2) 𝑒 𝐵(4, −1) 𝑏) 𝐴(0,0) 𝑒 𝐵(2, −2√3) 𝑐) 𝐴(4,2) 𝑒 𝐵(5,3) 𝑑) 𝐴(−2,9) 𝑒 𝐵(5,9) 
 
 
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4. Dado o ponto 𝐴(1,3), obtenha as coordenadas do ponto 𝐵(𝑘, 2𝑘 − 1) de modo que o 
coeficiente angular de AB seja −3. 
5. Dado o ponto 𝐴(−2,1), obtenha as coordenadas do ponto 𝐵(2𝑘, 𝑘 + 1) de modo que a 
inclinação da reta AB seja 135°. 
6. Obtenha o coeficiente angular de cada uma das restas : 
 a) 𝑟 ∶ 3𝑥 + 4𝑦 = 7 b) 𝑠 ∶ −5𝑦 + 2𝑥 = 3 c) 𝑡 ∶ 2𝑥 − 7𝑦 + 5 = 0 
 d) 𝑢 ∶ 𝑥 − 𝑦 = 0 e) 𝑣 ∶ − 3𝑦 + 12 = 0 
 
Data de entrega: 18 de Setembro de 2020.