EDO Séries(20181)

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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
EM SÉRIE DE POTÊNCIAS
Séries de Potências
Uma série de potências é uma série infinita de termos da forma:




0n
2
210
n
n ...)ax(C)ax(CC)ax(C
Onde: x é a variável
a é o centro
C0, C1, C2, ... são os coeficientes
Na maioria das vezes usamos uma série para representar uma função ou
mesmo uma solução no qual não conhecemos com exatidão.
Pelo fato de o número de termos tender a precisão de uma solução, que
é representada por uma série, depende do número de termos.
Um outro dado, é saber se a série, em questão, converge ou não para
uma função ou solução para o infinito, nos permite dizer que
Séries notáveis ( séries de MacLaurin ).
Resolução de Equações Diferenciais em 
Séries de Potências
As séries de potências representam uma excelente ferramenta de
trabalho neste campo pois fornecem soluções com total controle no
refinamento de precisão, já que para isto basta uma escolha adequada
do número de termos, conforme visto em aulas anteriores ( veja o gráfico
da função cos x ).
...
!4
x
!2
x
1
)!n2(
x)1(
xcos
42
0n
n2n


 


Uma condição básica para que uma equação diferencial admita
solução na forma de série, é que as suas funções coeficientes e
função independente sejam analíticas
)x(ry).x(gy).x(fy 
Se f, g, r são analíticas em x = a , então , a solução y(x) é analítica em
x = a , podendo ser representada por uma série de potência de base
( x – a) com raio de convergência R > 0.
Método da série de potência
Seja a equação diferencial y” + f(x)y’ + g(x)y = r(x), onde:
r(x) = 0 ( homogênea ) f(x) e g(x) funções polinomiais .
O método consiste em supor uma solução sob a forma de série de
potência, assim:




0n
n
n
3
3
2
210 x.C...x.Cx.Cx.CCy ( série de MacLaurin )
Ao ser substituída, juntamente com suas derivadas, na equação
diferencial homogênea, surgirá a possibilidade de se evidenciar as
potências de “x” em cada termo, e pelo fato dessas potências serem
linearmente independentes ( L I ), podemos afirmar que a solução única
para a nova equação é que seus coeficientes sejam todos nulos.
Como exemplo inicial, usaremos a equação y” + y = 0




0n
n
n
3
3
2
210 x.C...x.Cx.Cx.CCy




1n
1n
n
3
4
2
321 x.nC...x.C4x.C3x.C2Cy




2n
2n
n
3
5
2
432 x.C)1n(n...x.C20x.C12x.C6C2y
Supondo a solução
Agora fazendo a devida substituição em y” + y = 0, teremos:
0...x)CC12(x)CC6(CC2
0...)xCxCC(...)xC12xC6C2(
2
241302
2
210
2
432


Como os coeficientes de x0, x1, x2, ... devem ser todos nulos, temos
2
C
C
0CC2
0
2
02


6
C
C
0CC6
1
3
13


12
C
C
0CC12
2
4
24


24
C
C 04 
Olhando de outra forma:
...
!4
C
C
!3
C
C
!2
C
C 04
1
3
0
2 
...
!8
C
C
!7
C
C
!6
C
C
!5
C
C 08
1
7
0
6
1
5 
...x
!6
C
x
!5
C
x
!4
C
x
!3
C
x
!2
C
xCC)x(y 605140312010 
Podemos descobrir, seguindo a mesma lógica, os outros coeficientes:
Usando estes resultados, vemos que a solução ficará:
Evidenciando C0 e C1, teremos:
)...
!7
x
!5
x
!3
x
x(C)...
!6
x
!4
x
!2
x
1(C)x(y
753
1
642
0 
...
!4
C
C
!3
C
C
!2
C
C 04
1
3
0
2 
)...
!7
x
!5
x
!3
x
x(C)...
!6
x
!4
x
!2
x
1(C)x(y
753
1
642
0 
Comparando com as séries notáveis ( séries de potências ), vemos
que a solução exata para a equação é :
xsen.Cxcos.C)x(y 10 
Solução já conhecida por processo algébrico.
Solução Geral
Equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
0y)2x(y)1x( 
Outro exemplo, agora de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Podemos efetuar a substituição usando a mesma solução anterior:
0...)xCxCC)(2x(...)xC3xC2C)(1x( 2210
2
321 
0...xC2xC2C2...xCxCxC...xC3xC2C...xC3xC2xC 2210
3
2
2
10
2
321
3
3
2
21 
0...x)C3C(x)C2CC(C2C 23121001 
0...x)C3C(x)C2CC(C2C 23121001 
03
1
331
02
10
2210
0101
C
3
2
C
3
C
C0C3C
C
2
3
C
2
CC
C0C2CC
C2C0C2C





Como os coeficientes deverão ser nulos, temos:
Montando a solução:
...)x
20
1
x
24
5
x
3
2
x
2
3
x21(Cy 54320 
...)x
20
1
x
24
5
x
3
2
x
2
3
x21(Cy 54320 
...)]
6
x
2
x
x1(x...)
6
x
2
x
x1[(Cy
3232
0 
x
0
xx
0
e)x1(Cy
]xee[Cy


Olhando a solução de forma mais detalhada, podemos compor:
Pela série de Maclaurin, temos:
Que é a solução geral exata da equação diferencial