Construções Geometricas

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Interfaces da Matemática com a Física: 
Eletromagnetismo e Óptica 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Márcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni
Construção Geométrica
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• Espelhos Esféricos
• Classificação das Lentes
• Raios Luminosos Particulares
• Construção Geométrica das Imagens
• Estudo Analítico
• Equação de Gauss e Aumento Linear Transversal
• Exercícios de Aplicação
 · Estudaremos a definição e conceitos de lentes esféricas, raios luminosos, construção 
geométrica das imagens, formação de imagens e equação de Gauss. Calcularemos 
a distância de uma imagem, utilizando a equação de Gauss, por meio de exercícios 
e problemas nos quais serão empregados os conceitos que aprenderemos. 
Vamos iniciar o estudo de uma das áreas da Física introduzindo, inicialmente, o conceito de 
Espelhos Esféricos, mais especificamente a Construção Geométrica.
A seguir, estudaremos a definição e os conceitos de lentes esféricas, raios luminosos, construção 
geométrica das imagens, formação de imagens e equação de Gauss.
Calcularemos a distância de uma imagem, utilizando a equação de Gauss, em exercícios e 
problemas nos quais serão empregados os conceitos que aprenderemos. 
Na sequência, identificaremos os diferentes tipos de raios e sua importância para a formação de 
uma imagem.
Construção Geométrica
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Unidade: Construção Geométrica
Contextualização
I. Quando uma pessoa começa a ficar com dificuldade para enxergar, está na hora de 
consultar um oftalmologista. O médico dirá se essa pessoa precisará usar óculos ou não. 
Para cada tipo de dificuldade visual, o médico receitará óculos com determinados tipos 
de lentes. Umas com o grau mais forte, umas para perto, outras para longe, mas todas 
com um objetivo: ajudar o paciente a enxergar melhor.
 Reflita
a) Como são fabricadas as lentes?
b) Se, para cada problema, há uma lente diferente, como distinguir se a lente está certa para 
o uso?
c) Esse processo de fabricação é o mesmo empregado para lentes de aumento ou para lunetas?
II. Com certeza, em algum momento de sua vida, você já viu um retroprojetor, aquele aparelho 
utilizado, comumente, em escolas e que funciona da mesma forma que um Datashow, hoje, 
bem mais moderno e utilizado em várias áreas. O retroprojetor é um aparelho que utiliza uma 
lente e uma lâmpada para aumentar uma certa imagem e reproduzi-la.
 Reflita
a) Como essa máquina consegue projetar uma imagem maior que a original?
b) Sua lente seria plana ou esférica? Existe diferença entre essas lentes?
c) Como a luz influencia na projeção da imagem?
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Espelhos Esféricos
Nos dias atuais, em qualquer lugar a que vamos, encontramos alguns tipos de espelho: 
espelhos planos, aqueles que ficam em banheiros para que as pessoas vejam seu reflexo, e 
espelhos esféricos, como, por exemplo, nos óculos que utilizamos, nas lentes de aumento, etc.
Para entendermos melhor esse estudo, vejamos o seguinte:
Ceixo principal
Principais Elementos
C = centro de curvatura
F = foco principal
V = vértice do espelho
R = raio de curvatura
f = distância focal
α = ângulo de abertura
f = R
2
F
R
f
α V
Exemplo 1
Certo objeto localiza-se a uma determinada distância de um espelho esférico com raio de 
curvatura 124cm. Calcule a distância a que esse objeto está do espelho.
Resolução:
2
Rf =
124
2
f =
62f cm=
Exemplo 2
Um objeto localiza-se a 62 cm de um espelho esférico Determine o raio de curvatura 
desse espelho.
62
2
R=
62.2 R=
124R cm=
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Unidade: Construção Geométrica
Classificação das Lentes
As lentes podem ser classificadas de acordo com a espessura, bordas e faces.
Lentes convergentes
Lentes divergentes
Lente
biconvexa
Lente
plano-convexa
Côncavo -
convexa
Lente
bicôncava
Lente
plano-côncava
Convexo -
côncava
Além dessas classificações, ainda podem ser classificadas do ponto de vista do comportamento 
óptico, sendo elas convergentes e divergentes.
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Raios Luminosos Particulares
Se um raio atravessa um espelho esférico, para cada tipo de espelho há um 
comportamento diferente.
I. Um raio que é projetado paralelamente ao eixo principal passa pelo foco principal.
C V
F
Espelho esférico côncavo Espelho esférico convexo
V F C
II. Se um raio é projetado no vértice do espelho, o raio refletido é simétrico ao raio incidente, 
em relação ao eixo principal.
Espelho esférico côncavo Espelho esférico convexo
C
V
F F C
V
III. Um raio de luz que é projetado pelo centro de curvatura é refletido pelo mesmo caminho.
Espelho esférico côncavo Espelho esférico convexo
VC
F FV C
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Unidade: Construção Geométrica
Exemplo
Uma criança está brincando com uma caneta a laser, aponta o feixe de luz para um espelho 
côncavo e o feixe atinge, exatamente, o vértice do espelho. O que ocorre com o feixe de luz?
Resolução:
Segundo o princípio dos raios particulares, toda vez que um raio de luz atinge o vértice de 
um espelho côncavo, esse mesmo raio reflete simetricamente em relação ao eixo principal.
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Construção Geométrica das Imagens
Para realizar este estudo, vamos imaginar uma vela (objeto extenso). Utilizaremos dois dos 
três raios particulares que acabamos de estudar. Considere apenas um espelho côncavo.
 �Utilizando os raios I e II 
V
FB’
A’
CB
A
Características da imagem
- real
- menor
- invertida
 �Utilizando os raios I e II
V
F
B’
A’
C
B
A
Características da imagem
- real
- igual
- invertida
 �Utilizando os raios I e II
V
FB’
A’
C
B
A
Características da imagem
- real
- maior
- invertida
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Unidade: Construção Geométrica
 �Utilizando os raios I e II
A
V
FC
B
Características da imagem
* A imagem é denominada
imprópria, pois os raios 
re�etidos são paralelos
 �Utilizando os raios I e III
Características da imagem
- virtual
- direita
- maior
A
A’
B’
FC
B V
Neste momento, iremos considerar um espelho convexo.
A’
B’V
F
A
B
Características da imagem
- virtual
- direita
- menor
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Exemplo: Formação de imagem
A figura a seguir apresenta a projeção e o respectivo reflexo de um objeto quando está 
diante de um espelho plano:
Espelho
Plano
B1
B
D
A
0 i
C
ImagemObjeto
Quando uma imagem é refletida pelos prolongamentos dos raios, dizemos que ela é virtual.
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Unidade: Construção Geométrica
Estudo Analítico
Convenção de sinais 
Consideremos dois eixos ortogonais, com origem no vértice do espelho.
Lente
esférica
y y’
p’
f’
p
f C
Luz
incidente
Eixo das ordenadas
Origem: vértice do espelho
Direção: perpendicular ao eixo principal
Sentido: de baixo para cima
Eixo das abcissas
Origem: vértice do espelho
Direção: a do eixo principal
Sentido: contrário ao da luz incidente
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Equação de Gauss e Aumento Linear Transversal
Utilizamos a equação de Gauss para determinar a distância focal de uma imagem.
Considere a imagem a seguir:
Temos, então, a seguinte equação de Gauss, em que f é a distância focal, p é a distância 
do objeto até o espelho e p’ é a distância da imagem até o espelho.
1 1 1
f p p
= +
′
E ainda temos a equação do aumento linear transversal, na qual o aumento linear transversal 
é igual à razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto e igual à distância do objeto 
até o espelho e a distância da imagem até o espelho.
'i pA
o p
= =
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Unidade: Construção Geométrica
Exemplo
Um corpo extenso, de 10 cm de altura está a 60 cm de um espelho côncavo cujo raio é 
20 cm. Determine a distância da imagem ao espelho, a tamanho da imagem e o aumento 
linear transversal?
Resolução
20 10
2 2
Rf cm= = =
1 1 1
f p p
= +
′
1 1 1
10 60
= +
′
60
5
p′ =
12p cm′
'i pA
o p
= =
i
o
p
p
=
'
i
10
12
60
=
−
60 120i =
i cm= −2 (tamanho da imagem)
Em módulo
A i
o
= = = =
2
10
1
5
0 2, (Aumento linear transversal)
A imagem tem 2cm de altura e é 0,2 vezes o tamanho 
do objeto
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Exercícios de Aplicação
Os exercícios a seguir trazem os conceitos estudados nesta unidade. Tente resolvê-los e, 
depois, compare com as expectativas deresposta indicadas abaixo de cada um dos exercícios. 
Exercício 1:
Um pássaro está a 39 cm de um espelho 
convexo, cuja distância focal é 10 cm. Qual a 
distãncia da imagem do pássaro ao espelho?
a) -8 cm
b) 10,0 cm
c) -12 cm
d) 13 cm
e) 18 cm
Expectativa de Resposta: 
1 1 1
f p p
= +
′
1 1 1
10 39 'p
= +
1 1 1
' 10 39p
= −
1 3
' 39p
=
39' 13
3
p cm= =
Exercício 2:
Com base nos dados do exercício anterior, 
determine a altura da imagem formada, 
considerando que o objeto mede 6 cm.
a) 0,8 cm
b) 1 cm
c) 1,2 cm
d) 1,3 cm
e) 2 cm
Expectativa de Resposta:
Calcularemos, agora, a altura da imagem:
i
o
p
p
=
'
 
13
6 39
39 13 6
78
39
2
i
i
i
i cm
=
⋅ = ⋅
=
=
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Unidade: Construção Geométrica
Exercício 3:
Uma criança está brincando com um 
grande espelho esférico que possui um 
determinado raio de curvatura. Sabendo 
que o raio de curvatura é de 100cm, 
determine a distância em que a criança se 
encontra desse espelho.
a) 50 cm
b) 52,3 cm
c) 60,4 cm
d) 61,7 cm
e) 62 cm
Expectativa de Resposta: 
Seguindo o conceito de espelhos 
esféricos, temos a seguinte fórmula: 
2
R
f = , em que f equivale à distância 
do objeto até o espelho e R, ao raio de 
curvatura do espelho.
2
Rf =
 
100
2
f =
50 f =
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Material Complementar
Para aprofundar mais seus estudos sobre o movimento, consulte as indicações a seguir: 
Vídeos:
Física - Aula 6 - Óptica: espelhos esféricos
https://www.youtube.com/watch?v=-sHSkLAJpM0
Leitura:
Aula que tem como finalidade desenvolver sua capacidade de prever a forma, o tamanho e a posição 
das imagens formadas por espelhos planos e esféricos e compreender algumas das aplicações 
práticas dos espelhos. Ela é composta por uma atividade inicial de reflexão, uma atividade prática 
(a ser realizada em sua casa) e dois textos, além de atividades complementares (leituras, exercícios 
e exemplos). Para ter acesso ao texto na integra: 
http://www.if.ufrj.br/~marta/int-fis/icf-mod1-cap3.pdf
Sites:
Espelhos esféricos
http://www.infoescola.com/optica/espelhos-esfericos/
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Unidade: Construção Geométrica
Referências
BONJORNO, Regina Azenha. Física Completa - Volume único. São Paulo: FTD, 2001.
BONJORNO, José Alber. Física: termologia, óptica, ondulatória. 2º ano. 2ª edição. São 
Paulo: Editora FTD, 2013.
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Anotações