C2 Método das Forças

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8 Método das Forças 
[...] a metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura 
hiperestática é: 
• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas 
não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na 
superposição, restabelecer as condições de compatibilidade. 
Cada solução básica (denominada caso básico) não satisfaz isoladamente todas as 
condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam restabelecidas 
quando se superpõem todos os casos básicos. 
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura 
isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa 
estrutura isostática é chamada sistema principal (SP). As forças ou os momentos 
associados aos vínculos liberados, denominados hiperestáticos, são as incógnitas do 
problema. Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo método das 
forças será explicada detalhadamente na próxima seção. 
Neste capítulo somente são consideradas estruturas com barras prismáticas, isto é, 
barras com seção transversal que não varia ao longo do seu comprimento. Entretanto, as 
expressões gerais dos termos e coeficientes do método das forças consideram parâmetros 
da seção transversal que podem variar ao longo do comprimento da barra. 
8.1. Metodologia de análise pelo método das forças 
O objetivo desta seção é apresentar a metodologia de análise de uma estrutura 
hiperestática pelo método das forças. Para facilitar o entendimento do método, esta 
apresentação será feita com base em um exemplo, ilustrado na Figura 8.1. 
 
FIGURA 8.1 Estrutura utilizada para a descrição da metodologia do método das forças. 
A configuração deformada do pórtico da Figura 8.1 é mostrada de forma exagerada (o 
fator de amplificação dos deslocamentos da deformada é igual a 1000). Todas as barras 
da estrutura têm os mesmos valores para área (A = 5x10–3 m2) e momento de inércia (I 
= 5x10–4 m4) da seção transversal, e para o módulo de elasticidade (E= 2x108 kN/m2) do 
material. 
8.1.1. Hiperestáticos e sistema principal 
Para analisar a estrutura com respeito às condições de equilíbrio, são mostradas na 
Figura 8.2 as cinco componentes de reações de apoio da estrutura. 
 
FIGURA 8.2 Componentes de reações de apoio da estrutura da Figura 8.1. 
São três as equações do equilíbrio global da estrutura no plano: 
∑Fx = 0 → somatório de forças na direção horizontal igual a zero; 
∑Fy = 0 → somatório de forças na direção vertical igual a zero; 
∑Mo = 0 → somatório de momentos em relação a um ponto qualquer igual a zero. 
Como a estrutura é hiperestática, não é possível determinar os valores das reações de 
apoio da estrutura utilizando apenas as três equações de equilíbrio disponíveis. O 
número de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio é definido como: 
g→ grau de hiperestaticidade 
No exemplo, g = 2. 
Conforme mencionado, a solução do problema hiperestático pelo método das forças é 
feita pela superposição de soluções básicas isostáticas. Para isso cria-se uma estrutura 
isostática auxiliar, chamada sistema principal (SP), que é obtida da estrutura original 
hiperestática pela eliminação de vínculos. O SP adotado no exemplo da Figura 8.1 é a 
estrutura isostática mostrada na Figura 8.3. 
 
 
 
 
FIGURA 8.3 Sistema principal adotado para a solução da estrutura da Figura 8.1. 
Observa-se, na Figura 8.3, que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura 
original: a imposição de rotação θA nula do apoio da esquerda e a imposição de 
deslocamento horizontal nulo do apoio da direita. O número de vínculos que devem ser 
eliminados para transformar a estrutura hiperestática original em uma estrutura 
isostática é igual ao grau de hiperestaticidade, g. A escolha do SP é arbitrária: qualquer 
estrutura isostática escolhida é válida, desde que seja estável estaticamente. 
Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de apoio MA e HB, que 
estão indicadas na Figura 8.2. Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as 
incógnitas da solução pelo método das forças. Utiliza-se a nomenclatura Xi para indicar 
os hiperestáticos, sendo i o seu índice, que varia de 1 a g. No exemplo, tem-se: 
X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de apoio θA = 0; 
X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de apoio 
Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na Figura 8.3 com sentidos convencionados 
como positivos: momento externo positivo no sentido anti-horário e força externa 
horizontal positiva com sentido da esquerda para a direita. 
8.1.2. Superposição de casos básicos para restabelecer condições de compatibilidade 
A solução do problema pelo método das forças recai em encontrar os valores que X1 e X2 
devem ter para, juntamente com o carregamento aplicado, recompor os vínculos de 
apoio eliminados. Isto é, procuram-se os valores dos hiperestáticos que fazem com que 
as condições de compatibilidade violadas na criação do SP, e , sejam restabelecidas. 
A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos, utilizando o 
SP como estrutura para as soluções básicas. O número de casos básicos é sempre igual 
ao grau de hiperestaticidade mais um (g + 1). No exemplo, isso resulta nos casos (0), (1) 
e (2), que são descritos a seguir. 
 
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP 
O caso básico (0), ilustrado na Figura 8.4, isola o efeito da solicitação externa 
(carregamento aplicado) no SP. A figura mostra a configuração deformada (com fator de 
amplificação igual a 20) do SP no caso (0). A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, 
nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são denominados termos de 
carga. Um termo de carga é definido formalmente como: 
δi0→ termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado 
associado ao hiperestático Xi quando a solicitação externa atua isoladamente no SP (com 
hiperestáticos com valores nulos). 
 
FIGURA 8.4 Solicitação externa isolada no SP da estrutura da Figura 8.1. 
Neste exemplo, os dois termos de carga podem ser calculados utilizando o princípio das 
forças virtuais (PFV), como mostrado na Seção 7.3.1. Esse cálculo não é detalhado aqui 
por uma questão de simplicidade, visto que o objetivo é apresentar a metodologia do 
método das forças. Ao longo deste capítulo são dados diversos exemplos de aplicação 
do PFV para o cálculo de termos de carga e outros coeficientes. Os valores dos termos 
de carga do exemplo estão indicados na Figura 8.4. 
O sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o sentido contrário ao 
considerado inicialmente para o hiperestático X1 no caso (1) a seguir. Analogamente, o 
sinal positivo de δ20 indica que esse deslocamento tem o mesmo sentido considerado 
inicialmente para o hiperestático X2 no caso (2) a seguir. 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
A Figura 8.5 mostra a configuração deformada (com fator de amplificação igual a 2000) 
do SP no caso (1). O hiperestático X1 é colocado em evidência, já que ele é uma incógnita 
do problema. Considera-se um valor unitário para X1, sendo o efeito de X1 = 1 
multiplicado pelo valor final que X1 deverá ter. A rotação δ11 e o deslocamento 
horizontal δ21 provocados por X1 = 1, nas direções dos vínculos eliminados para a 
criação do SP, são chamados coeficientes de flexibilidade. Formalmente, um coeficiente 
de flexibilidade é definido como: 
δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático Xi provocado por um valor unitário do 
hiperestático Xj atuando isoladamente no SP. 
 
FIGURA 8.5 Hiperestático X1 isolado no SP da estrutura da Figura 8.1. 
Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso (1), indicados na Figura 8.5, são 
calculados pelo PFV. Por definição, as unidadesdos coeficientes de flexibilidade 
correspondem às unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do 
hiperestático em questão. 
As mesmas observações feitas quanto aos sinais dos termos de carga valem para os 
coeficientes de flexibilidade. O sinal da rotação δ11 é positivo porque tem o mesmo 
sentido do que é arbitrado para X1 = 1, e o sinal do deslocamento horizontal δ21 é 
negativo porque tem o sentido contrário ao que é arbitrado para X2 = 1 no caso (2) a 
seguir. Observe que o sinal dos coeficientes δii (que têm i = j), sendo i o índice do 
hiperestático, é sempre positivo, pois esses coeficientes são deslocamentos ou rotações 
nos próprios pontos de aplicação de forças ou momentos unitários. 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
A Figura 8.6 mostra a configuração deformada (com fator de amplificação igual a 400) 
do SP no caso (2). De maneira análoga ao caso (1), o hiperestático X2 é colocado em 
evidência, considerando-se um valor unitário multiplicado pelo seu valor final. A 
rotação δ12 e o deslocamento horizontal δ22 provocados por X2 = 1, nas direções dos 
vínculos eliminados para a criação do SP, também são coeficientes de flexibilidade. As 
unidades desses coeficientes, por definição, são unidades de deslocamento ou rotação 
divididas pela unidade do hiperestático X2. 
 
 
 
FIGURA 8.6 Hiperestático X2 isolado no SP da estrutura da Figura 8.1. 
Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso (2) estão indicados na Figura 8.6. 
Observe que os valores de δ12 e δ21 são iguais. Isso não é coincidência. Os coeficientes δij 
e δji, sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais. Isso é demonstrado pelo 
teorema de Maxwell, apresentado na Seção 7.5—versão para forças generalizadas 
unitárias impostas (Equação 7.41). 
Restabelecimento das condições de compatibilidade 
A partir dos resultados obtidos nos casos apresentados, pode-se utilizar superposição 
de efeitos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP. 
Isso é feito a seguir. 
Superposição das rotações do nó inferior esquerdo (nó A): 
 
Superposição dos deslocamentos horizontais no nó inferior direito (nó B): 
 
Sistema de equações de compatibilidade: 
 
A solução desse sistema de equações de compatibilidade resulta nos seguintes valores 
das reações de apoio X1 e X2: 
 
O sinal de X1 é positivo porque tem o mesmo sentido (anti-horário) do que foi arbitrado 
para X1 = 1 no caso (1), e o sinal de X2 é negativo porque tem o sentido contrário (da 
direita para a esquerda) ao que foi arbitrado para X2 = 1 no caso (2), como indica a Figura 
8.7. 
 
FIGURA 8.7 Valores e sentidos dos hiperestáticos na solução da estrutura da Figura 8.1. 
Os valores encontrados para X1 e X2 fazem com que θA = 0 e . Dessa forma, obteve-se a 
solução correta da estrutura porque, além de satisfazer as condições de equilíbrio – que 
sempre são satisfeitas nos casos (0), (1) e (2) –, o modelo estrutural também satisfaz as 
condições de compatibilidade. 
8.1.3. Determinação de esforços internos finais 
A solução da estrutura não termina com a obtenção dos valores dos hiperestáticos X1 e 
X2. Ainda é necessário obter os diagramas de esforços internos e os deslocamentos da 
estrutura. Existem duas alternativas para isso: 
• calcula-se uma estrutura isostática (o sistema principal) com o carregamento aplicado 
simultaneamente aos hiperestáticos – com os valores corretos encontrados – como se 
fossem forças e momentos pertencentes ao carregamento; 
• utiliza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos 
(ou deslocamentos) finais. 
Embora a primeira opção possa parecer mais simples, a segunda é a utilizada na maioria 
das soluções. O motivo para isso é que o cálculo dos valores dos termos de carga e dos 
coeficientes de flexibilidade pelo PFV (Seção 7.3) requer o conhecimento dos diagramas 
de esforços internos dos casos básicos (0), (1) e (2). Portanto, como esses diagramas já 
estão disponíveis, os esforços internos finais da estrutura hiperestática original são 
obtidos através da superposição dos esforços internos dos casos básicos. 
 
Fonte: MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: LTC, 2020.