CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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U N I D A D E
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................................4
1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .........................................................................................................................................5
2. CONVERSÃO ENTRE BASES DE NUMERAÇÃO ........................................................................................................... 7
2.1 CONVERSÃO DA BASE β PARA A BASE 10 ................................................................................................................. 7
2.2 CONVERSÃO DA BASE 10 PARA A BASE ββ .................................................................................................... 9
3. O SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE NORMALIZADO .............................................................................................. 14
4. ERROS E TIPOS DE ERROS ......................................................................................................................................... 19
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E TEORIA 
DOS ERROS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CÁLCULO NUMÉRICO
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
O cálculo numérico é a interdisciplinaridade entre sistemas de informação e a matemática. 
Nesta disciplina, estudamos algoritmos para a resolução de um problema matemático. 
Prezado(a) aluno(a), iniciemos a Unidade I da disciplina de cálculo numérico. Nesta 
unidade, discutiremos sobre os sistemas de numeração, sistemas de ponto flutuante e teoria do 
erro. 
Trata-se de uma unidade introdutória à disciplina de cálculo numérico, que é de muita 
importância em seu curso de Engenharia. Seja bem-vindo(a) e bons estudos!
 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Um sistema de numeração é um conjunto composto por dígitos e regras empregados 
para a representação dos numerais que conhecemos de maneira consistente. Há diversos sistemas 
de numeração: o sistema de numeração egípcio, o sistema de numeração romano, o sistema de 
numeração binário, o sistema de numeração hexadecimal e o sistema de numeração indo-arábico. 
Este último se trata de um sistema de numeração posicional de base dez (por ser constituído de 
10 símbolos), formado pelos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O sistema de numeração indo-
arábico, também conhecido como sistema de numeração decimal, é, como já exposto, um 
sistema de numeração posicional, pois a posição relativa ocupada por cada dígito na formação 
de um dado número contribui com uma quantidade que é obtida pela multiplicação do dígito 
por uma potência de base 10, cujo expoente indica a posição desse dígito na representação desse 
numeral. 
Exemplo 1
O número 678 é formado pelos dígitos 6, 7 e 8. O dígito 6 participa uma quantia de 600 
unidades, o dígito 7 com 70 unidades, e o dígito 8 com 8 unidades, ou seja, 678 = 600 + 
70 + 8 = 6 . Com esses mesmos dígitos, podemos obter ou-
tros números. Para isso, basta trocá-los de posição. Tome como exemplo o numeral 768. 
Nele, o dígito 7 participa uma quantia de 700 unidades, o dígito 6 com 60 unidades, e 
o dígito 8 com 8 unidades, ou seja, 768 = 700 + 60 + 8 = 
. Poderíamos ficar trocando as posições dos dígitos e en-
contrando outros números.
Quando lidamos com calculadoras, computadores e outros dispositivos eletrônicos, faz-
se o uso de outras bases de numeração, como a binária (base 2), a octal (base 8) e a hexadecimal 
(base 16), como pode ser observado na Tabela 1 e na Figura 1.
Sistema Base Dígitos empregados
Binário 2 0, 1
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
 
Tabela 1 – Sistemas de representação numérica e seus símbolos. Fonte: O autor.
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HP 25 – Base 10 IBM 370 – Base 8
Figura 1 – Algumas máquinas e suas bases. Fonte: O autor.
 
Definição 1: Considere que seja um número natural tal que e seja D o conjunto 
em que . Seja y um número real, tal que y quando escrito no 
sistema de numeração posição cuja base é , é com 
 e k, i e n satisfazem a relação .
 Note que, na definição anterior, os dígitos que estão à esquerda do ponto decimal 
( ) correspondem à parte inteira do numeral, ao passo que aqueles dígitos à direita do ponto 
decimal correspondem à parte decimal do numeral.
Exemplo 2 
a) O número 1983 é escrito em base 10 como . 
b) O número -1001.01 é escrito em base 2 como 
.
c) O número FC8.1 é escrito em base hexadecimal como 
.
 
Na prática, quando não há possibilidade de erros e equívocos no que diz respeito à 
alusão da base 10 na representação de um numeral, ela é dispensada, porque, em geral, estamos 
representando e operando números no sistema de numeração decimal. Dessa maneira, a 
representação do número é simplesmente – 1983.
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2. CONVERSÃO ENTRE BASES DE NUMERAÇÃO
Nesta parte do nosso curso de cálculo numérico, aprenderemos a efetuar as transformações 
dos números entre bases numéricas distintas. O procedimento é semelhante para qualquer base 
numérica. 
 
2.1 Conversão da Base β para a Base 10
Para Ruggiero e Lopes (1996), se 
denota a representação do número real y na base , então a representação de y à base decimal é 
obtida desenvolvendo-se a expressão matemática seguinte:
 
Exemplo 3
A) Considere o registo binário, em uma máquina, expresso por -1001.01. Esse 
registro representa o número real -9,25 em base decimal, pois
.
B) Já o registro hexadecimal (base 16) expresso por FC8.1 denota o número real 
4.040,0625 em base decimal, pois
Fique atento a esse exemplo, porque, em base hexadecimal, fazemos as substituições: 
F = 16 e C = 12.
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Exemplo 4
A) Considere, agora, o registro octal (base 8) expresso por . Qual é o registro 
numéricodesse número em base 10?
Solução: O registo octal pode ser reescrito comov
o que, após resolvermos a expressão numérica, verificamos ser igual a 1.000 em base 
10.
B) Considere o registro em base cinco expresso por . Qual o registro 
numérico em base 10?
Solução: O registo em base 5 pode ser reescrito como
o que, após resolvermos a expressão numérica, verificamos ser igual a 1.050 em base 
10.
1) número: é um conceito matemático que descreve uma certa quantidade.
2) algarismo: são símbolos gráficos usados para representar números.
3) sistemas de numeração: são regras de utilização de algarismos para escrever/
representar números.
4) sistemas de valor posicional: são sistemas de numeração em que o valor que o 
algarismo representa pode mudar de acordo com a posição que ele ocupa.
O sistema de numeração chinês é híbrido e é considerado um sistema de 
numeração não posicional. Ele é chamado de híbrido, porque possui operadores 
relacionados ao produto e à soma. A base desse sistema de numeração é decimal 
e possui ideográficos específicos para os números de 1 a 9 e para as potências da 
base 10 até 10.000, como pode ser observado na Figura 2.
 
Figura 2 – Sistema de numeração chinês. Fonte: Adaptado de Imenes (1995).
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2.2 Conversão da Base 10 para a Base ββ 
Para a conversão de um número em base decimal para a base , Arenales e Darezzo (2015) 
afirmam que devemos levar em consideração a parte inteira e a parte fracionária do numeral em 
separado. Tais autores explicam que, para a parte inteira, fazemos uso do método das divisões 
sucessivas, enquanto que, para a parte fracionária do numeral, empregamos o método das 
multiplicações sucessivas.
No método das divisões sucessivas, efetuamos divisões na parte inteira do número N, o 
qual está em base 10, sucessivamente por , armazenando, em cada passo, os restos das divisões 
até que o quociente das divisões seja igual a 0 (zero). O número em base é formado pela 
concatenação dos restos das divisões, como apresentado na Figura 3. 
Figura 3 – O método das divisões sucessivas. Fonte: O autor.
Na Figura 3, observe que a representação do número N, em base , tem em sua formação 
a sequência obtida pela ordem inversa dos restos, isto é, o número N será escrito como
Exemplo 5
Considere o número 27, escrito em base 10. O registro binário desse número é 11011, 
como pode ser observado na Figura 4(A). Por outro lado, o número 25 em base 10, 
quando escrito em base 3, tem como registro 221, como mostra a Figura 4(B).
 
(A) (B)
Figura 4 – Representação das divisões sucessivas (A) em base binária (B) em base ternária. Fonte: O 
autor.
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Exemplo 6
Converta o numeral 106, em base 10, para base hexadecimal, empregando o método 
das divisões sucessivas.
Solução: Empregando-se o método das divisões sucessivas, como ilustrado pela Figura 
5, verifica-se que o registro do número 90, em base 10, para base hexadecimal é 6A.
Figura 5 – Método das divisões sucessivas. Fonte: O autor.
Fique atento: o resto 10 corresponde ao dígito A na base hexadecimal.
 De acordo com NOGUEIRA et al. (2013), por sistema de numeração entendemos 
um conjunto de símbolos e de regras utilizadas para escrever números. O sistema 
de numeração que utilizamos é o Sistema de Numeração Decimal. Os símbolos 
desse sistema de numeração são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, denominados algarismos 
indo-arábicos, cujas regras são: 
 ✓ O sistema é decimal, isto é, funciona com agrupamentos de dez. Esse número 
dez é chamado de base do sistema.
 ✓ O sistema é posicional, isto é, o valor de um algarismo é determinado pela 
posição que ocupa no numeral.
 ✓ O sistema é multiplicativo, isto é, em um numeral, cada algarismo representa 
um número que é múltiplo de uma potência da base dez. Por exemplo, no numeral 
543, o algarismo 5 representa o número 5×102, que é múltiplo de 102, o algarismo 
4 representa o número 4×101, que é múltiplo de 101, e o algarismo 3 representa o 
número 3×100, que é múltiplo de 100.
 O sistema é aditivo, isto é, o valor do numeral é dado pela soma dos valores 
individuais de cada símbolo, de acordo com a regra anterior. Por exemplo, 543 = 
500 + 40 + 3.
 Embora não se tenha confirmação, acredita-se que a escolha da base dez deve-se 
à quantidade de dedos das mãos. A associação entre dedos e números até hoje 
está presente na palavra dígito. 
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Exemplo 7
Um pesquisador elaborou a seguinte estrutura de um sistema ternário (base 3): = 
zero, = um, = dois. No sistema elaborado pelo pesquisador, qual a representação 
do número 87? 
Solução: Na situação apresentada, temos o sistema de numeração em base 3, cujos 
símbolos são = 0, = 1, = 2. Daí, efetuando-se divisões sucessivas para o número 
78, temos que 
Assim, (87)10= .
 
Agora, atentemo-nos à mudança de base, mas considerando a parte fracionária do 
número. Nesse caso, faremos uso do método das multiplicações sucessivas. No método 
das multiplicações sucessivas, Arenales e Darezzo (2015) afirmam que temos que efetuar 
multiplicações na parte fracionária do número N, que está em base 10, sucessivamente por 
e armazenar, em cada multiplicação realizada, a parte inteira do resultado obtido, até que o 
resultado dessas multiplicações apresente toda a parte decimal igual a zero.
Exemplo 8
A) O registro em base decimal 0.75 representa o número 0.11 em base binária. De fato, 
observe o método das multiplicações sucessivas a seguir:
B) O registro em base decimal 0.21875 representa o número 0.000011 em base binária. 
De fato, observe o método das multiplicações sucessivas a seguir:
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C) O registro em base decimal 0.001953125 representa o número 0.001 em base octal. 
De fato, observe o método das multiplicações sucessivas a seguir:
D) O registro em base decimal 0.2 representa o número 0.00110011001100... em base 
binária. De fato, observe o método das multiplicações sucessivas a seguir:
Note que esse processo é sem fim e, consequentemente, ter-se-á uma dízima periódica 
nessa situação
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Exemplo 9
No quadro seguinte, apresentam-se os números reais A e B em base binária e 
octogonal, respectivamente.
Entre os números A e B, foi realizada uma operação aritmética, denotada por , e o 
resultado é expresso em base hexadecimal. Identifique a operação realizada entre os 
números A e B.
Solução: Para identificar a operação efetuada entre os números A e B, inicialmente 
identifiquemos quem são os números A e B em base 10. Assim, o registro binário 
110011.01 corresponde ao número 25,25, em base 10. De fato,
 
Por outro lado, o registro octal 21.6 corresponde ao número 17,75, em base 
10. De fato, . Por fim, 
o registro hexadecimal 7.8 representa o número 7.5, em base 10. De fato, 
. Assim, por inspeção, notamos que 7,5 = 
25,25 - 17,75 e, portanto, a operação denotada por é a subtração.
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Exemplo 10
Seja N uma base de numeração. Considere os números X, Y, Z, W e T tais que X = 
(100)N, Y = (243)N+1, Z = (30)N, W = F16 e T = (110)2 e, ainda, é tal que a igualdade T.
Z+X=W+Y seja válida. Determine os valores válidos para a base N.
Solução: Primeiramente, escrevamos os números X, Y, Z, W e T em base decimal. Daí,
•	
•	
•	
•	
•	
Para que a igualdade T.Z+X=W+Y tenha validade, é preciso que, em base 10, ocorra a 
igualdade da expressão
que é uma equação quadrática, isto é,
e cujas soluções são N = 4 e N = 6. Portanto, os possíveis valores para a base N são 4 e 6 
eteremos a validade da igualdade estabelecida no enunciado.
3. O SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE NORMALIZADO
Sabemos que os números reais são infinitos e, ainda, que podemos representá-los na 
reta real. No entanto, quando fazemos a representação desses números em uma máquina, a 
representação é finita, isto é, discreta, o que indica que não podemos armazenar todos os números 
reais nessa máquina. A consequência disso é que as operações aritméticas poderão gerar e conter 
erros. 
Para Franco (2006), a representação de um número real em um computador pode ser 
feita de duas maneiras: representação em ponto fixo e representação em ponto flutuante.
A representação em ponto fixo é tal que, dado um número real não nulo, digamos y, ele 
é representado em ponto fixo como
em que k e n são números inteiros que satisfazem a condição de e e e 
os são números inteiros que satisfazem a condição de . Observe o exemplo a seguir:
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e, nesse caso, esse número é armazenado da forma .
A representação em ponto flutuante é a usada atualmente, porque é mais flexível que a 
representação em ponto fixo. Nela, o número real não nulo, y, é representado como segue
em que m é denominada mantissa; a base do sistema de numeração e e o expoente. 
Nesse texto, a mantissa é representada por em que t denota a quantidade de 
dígitos significativos necessários, com (com isso, dizemos que o ponto flutuante está 
normalizado) e . O expoente admite valores entre de tal 
forma que l e L são números inteiros.
Nessas condições, Franco (2006) afirma que um sistema de ponto flutuante normalizado 
genérico é representado por SPF ( , n, l, L) e, para ele, pode-se afirmar que:
• o menor número real positivo exatamente representável é obtido a partir da menor 
mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, ou seja
• o maior número real positivo exatamente representável é obtido a partir da maior mantissa 
multiplicada pela base elevada ao maior expoente, ou seja
• o número máximo de mantissas positivas que podemos escrever é dado pela expressão
• o número máximo de expoentes possíveis que podemos escrever é dado pela expressão
• o número total de números reais representáveis que podemos escrever é dado por
• O número 0 no SPF ( , n, l, L) é escrito como . Quando calculamos 
, adiciona-se 1 à equação, como você pode observar. Faz-se essa adição, porque 
se deve incluir o zero no SPF. 
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Exemplo 11
Uma máquina trabalha no sistema de ponto flutuante SPF(8, 4, -2, 3). Para o sistema 
de ponto flutuante em apreço, identifique o maior e o menor número real exatamente 
representável.
Solução: Temos que o sistema de ponto flutuante é definido como SPF(8, 4, -2, 3), ou 
seja, a máquina opera no sistema de numeração octal, pois SPF(8, 4, -2, 3); as mantissas 
dessa máquina têm 4 dígitos, pois SPF(8, 4, -2, 3); o menor expoente é -2, pois SPF(8, 
4, -2, 3), e o maior expoente é 3, pois SPF(8, 4, -2, 3). O maior número real exatamente 
representável é obtido a partir da maior mantissa multiplicada pela base elevada ao 
maior expoente, isto é,
Por outro lado, o menor número real positivo exatamente representável é obtido a par-
tir da menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é
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Exemplo 12
Escreva todos os números reais positivos e exatamente representáveis que é possível 
escrever no SPF(2,3,-1,2).
Solução: Em SPF(2,3,-1,2), a base é binária, a mantissa tem 3 dígitos, isto é, 0.100; 0.101; 
0.110 e 0.111. Temos, ainda, que os expoentes são -1, 0, 1 e 2, e, em base binária, eles 
são A seguir, são apresentas as referidas combinações, bem como suas 
notações em base 10.
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Exemplo 13
No sistema de ponto flutuante SPF(2, 3, -1, 2), podemos representar exatamente 33 
números, sendo 16 números positivos, 16 números negativos e o zero. Os 16 números 
negativos exatamente representáveis são os opostos dos valores dos números positivos 
que se fez no exemplo 12. Assim, podemos concluir que, no sistema de ponto flutuante 
normalizado SPF(2, 3, -1, 2), temos que os números representáveis pertencem ao con-
junto
No exemplo 13, observe que nem todos os números reais estão na união dos intervalos 
apresentados. Considere os números 6 e em base decimal. É evidente que esses números (e 
outros, obviamente) não estão nesse conjunto, e, para qualquer operação aritmética cujo resultado 
esteja fora desse intervalo, aparecerá uma mensagem de erro. 
De acordo com Franco (2006), os erros que poderão aparecer serão do tipo underflow 
ou overflow. O erro do tipo overflow ocorre quando a tentativa de representação do número 
extrapola o maior número exatamente representável ou quando extrapola o menor exatamente 
representável. No caso dos exemplos 12 e 13, a região de overflow é
O erro do tipo underflow ocorre quando a tentativa de representação do número estiver 
na região entre o maior número real negativo e o menor número real positivo, excluindo-se o 
zero. No caso dos exemplos 12 e 13, a região de underflow é:
Para ilustrar o significado desses tipos de regiões, considere, em base decimal, a operação 
, usando a máquina que opere no SPF(2, 3, -1, 2) do exemplo 12, cujo resultado, sabemos, é 
6. Note que o número 6 não tem representação no SPF(2, 3, -1, 2) da máquina, a qual emitirá um 
aviso de erro overflow, pois esse número está na região de overflow da máquina. Agora, efetuemos 
a operação em base decimal, , usando a mesma máquina do exemplo 12, cujo resultado é 
. Note que, com esse resultado, a máquina emitirá um aviso de erro de underflow, pois o 
resultado está na região de underflow da máquina.
Apreciando, ainda, o exemplo 12, efetuemos algumas operações. Digamos, primeiramente, 
que estamos desejosos por efetuar a operação , em base dez, cujo resultado é e que tem 
representação exata no SPF(2, 3, -1, 2). Agora, a operação cujo resultado é que não 
apresenta representação exata no SPF(2, 3, -1, 2). Como resposta, a máquina apresentará um 
resultado aproximado, e isso acarretará erros os quais estudaremos a seguir.
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4. ERROS E TIPOS DE ERROS
Quando efetuamos quaisquer operações aritméticas em uma máquina que opera no 
SPF ( , n, l, L) definido anteriormente, aproximações poderão ser feitas. A consequência disso 
é o surgimento de erros. Outra implicação dessas aproximações é que as operações aritméticas 
(adição, subtração, multiplicação e divisão) não são mais associativas e nem distributivas. 
Segundo Arenales e Darezzo (2015), um número da base decimal foi arredondado na 
posição k se forem descartados todos os dígitos de ordem maior que k segundo o critério: o dígito 
de ordem k é acrescido de uma unidade se o dígito de ordem (k+1) for maior ou igual à metade 
da base. Caso contrário, o número é representado com os k dígitos iniciais.
Exemplo 14
Considere uma máquina que efetue suas operações aritméticas de acordo com SPF(10,4,-
5,5). Assim,
A) Se e , então , 
que é arredondado e armazenado como , pois o dígito da 
quinta posição é menor que a metade do valor da base.
B) Se e , então , 
que é arredondado e armazenado como , pois o dígito da 
quinta posição é maior ou igual à metade do valor da base.
O erro de truncamento aparece quando usamos uma série infinita para representar uma 
função. Em Engenharia, é comum empregarmos série de Taylor e/ou a série de Maclaurin e/ou a 
série de Fourier. Por limitações da máquina, consideramos apenas um número finito de termos 
da série. 
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Exemplo 15
A representação em série de Maclaurin da função éA equação anterior sugere que a função cosseno pode ser reescrita como
Considere, agora, que você deseja calcular o valor do cosseno de radianos, usando 
apenas os quatro primeiros termos da série de Maclaurin. Assim,
Note que o resultado para a série truncada no quarto termo é, aproximadamente, igual 
a -0,000894523. Mas sabemos que .
 Arenales e Darezzo (2015) definem o erro absoluto como
e o erro relativo como
Note que o erro relativo nos fornece mais informações acerca da “qualidade do erro” 
que cometemos em uma determinada operação matemática. Isso porque, no erro absoluto, não 
levamos em consideração a ordem de grandeza do valor que calculamos, enquanto que, no erro 
relativo, essa ordem é observada.
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Exemplo 16
Um problema de Engenharia apresenta solução exata igual a 3. Considere que um 
método numérico forneceu solução aproximada igual a 3,0101982. Assim, o erro 
absoluto é
 
E o erro relativo é
Note que o erro absoluto é de, aproximadamente, 1%, ao passo que o erro relativo é de, 
aproximadamente, 0,34%.
O livro O Fantástico Mundo dos Números, publicado em 
2015 pela Editora ZAHAR, é da autoria de Ian Stewart. Nessa 
obra, para todos os que amam os números e a matemática 
– e também para os que acham que não gostam –, o 
autor prova, mais uma vez, que a matemática pode ser 
muito divertida. A obra é o guia perfeito para que sejamos 
apresentados aos números: seu desenvolvimento ao longo 
da história, principais características e aplicações.
 
O cálculo numérico é uma disciplina que permite resolver alguns 
problemas e modelos matemáticos. O vídeo Modelos Matemáticos 
Contínuos e Discretos, da UNIVESP, apresenta a ideia de modelos, 
estando disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=A1CJDkp1Djw .
Figura 6 – O Fantástico 
Mundo dos Números. Fonte: 
Amazon (2016).
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U N I D A D E
02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................. 24
1. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES ......................................................... 25
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................ 25
1.2 LOCALIZAÇÃO DE INTERVALOS COM RAIZ .......................................................................................................... 26
1.3 REFINAMENTO ....................................................................................................................................................... 31
1.3.1 O MÉTODO DA BISSECÇÃO .................................................................................................................................. 32
1.3.2 O MÉTODO DO PONTO FIXO ............................................................................................................................... 35
1.3.3 O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON .................................................................................................................. 37
1.3.4 O MÉTODO DAS SECANTES ................................................................................................................................. 41
2. O CÁLCULO NUMÉRICO PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................ 43
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................ 43
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO 
LINEARES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CÁLCULO NUMÉRICO
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2.2 MÉTODOS DIRETOS..............................................................................................................................................44
2.2.1 O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ..........................................................................................................44
2.2.2 O MÉTODO DA FATORAÇÃO LU ........................................................................................................................47
2.3 MÉTODOS ITERATIVOS ........................................................................................................................................53
2.3.1 O MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI ....................................................................................................................54
 2.3.2 O MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL ...................................................................................................57
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INTRODUÇÃO
Em Engenharia, somos constantemente encorajados a fazermos balanço de força, de 
massa, de energia, dentre outros. Esses balanços envolvem a resolução de equações não lineares 
ou sistemas de equações. 
Uma situação com a qual você poderá se deparar é a seguinte: seu professor de 
termodinâmica solicita que você determine o volume V de um gás real a partir da equação cúbica 
de Van der Waals, a qual descreve o comportamento desse gás sujeito à pressão P e temperatura T. 
A equação Van der Waals é escrita como , em que a e b são constantes que dependem 
do tipo de gás. 
A necessidade de se resolverem equações não lineares fez com que métodos numéricos 
fossem desenvolvidos para a determinação da solução desse tipo de equação. Assim, a resolução de 
problemas do tipo constitui-se em um dos problemas mais importantes em Engenharia. 
Nesta unidade, serão apresentados a você métodos e procedimentos para se resolverem equações 
não lineares e sistemas de equações lineares. Bons estudos!
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1. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUÇÃO DE 
EQUAÇÕES NÃO LINEARES
1.1 Introdução
Dizemos que um número real é raiz (ou zero) da função se, e somente se, é tal 
que . Assim, quando determinamos a raiz de uma equação, estamos interessados em 
determinar ponto ou pontos do domínio da função f tal que a imagem seja nula. Geometricamente, 
a raiz de uma função f são os valores do domínio da função. O gráfico de f intercepta o eixo das 
abcissas, como ilustrado na Figura 1. 
 
Figura 1 – Zeros de função. Fonte: O autor.
Exemplo 1
A função possui duas raízes reais, e . De fato, 
temos que e . 
Para evitar a tediosa repetição das palavras “é igual a”, vou estabelecer, como 
frequentemente faço no trabalho, um par de paralelas, ou linhas gêmeas de mesmo 
comprimento: =, porque não pode haver 2 coisas mais iguais (Robert Recorde, 
1557).
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Exemplo 2
A Figura 2 apresenta um esboço do gráfico da função polinomial . 
O Teorema Fundamental da Álgebra garante a existência de três raízes (entre reais e 
complexas) para a equação . Note, no gráfico, que temos três interceptos 
com o eixo das abcissas, a saber: , e . 
Figura 2 – Esboço do gráfico de função. Fonte: O autor.
Para determinarmos as raízes de equação não lineares usando um método numérico, 
temos, basicamente, duas etapas, como propõem Ruggiero e Lopes (1996), a saber: 
- 1a etapa - localização de um intervalo que contém raiz
Aqui, determinamos um intervalo dentro do domínio da função, que contém, pelo menos, 
uma raiz. Podemos usar o método gráfico, a análise de tabela ou conhecimentos prévios sobre o 
comportamento da função. 
- 2a etapa - refinamento 
Aqui, fazemos uso de um dos métodos numéricos para aproximar a raiz procurada até 
alcançarmos a precisão desejada.
1.2 Localização de Intervalos com Raiz
Nesta etapa do exercício, é realizada uma análise teórica ou gráfica para localizar as raízes 
da função. Uma boa maneira para localizarum intervalo que contém raiz é aplicar o teorema de 
Cauchy-Bolzano.
Teorema 1 (Teorema de Cauchy-Bolzano): seja f uma função contínua no intervalo 
fechado do tipo . Se e possuem sinais opostos, ou seja, , então f 
tem, pelo menos, uma raiz real no intervalo aberto . 
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Exemplo 3
Determine o intervalo que contém a raiz da equação .
Solução: Sabemos que o domínio da função consiste dos . 
Note que só faz sentido buscar-se por raiz no conjunto do domínio da função. Em uma 
primeira tentativa, tabelemos alguns valores e apliquemos o teorema de Cauchy-Bolza-
no para encontrarmos um intervalo que contém raiz. Acompanhe:
Note que no intervalo ocorre mudança do sinal de f(x), isto é, em temos 
que f(x) tem valor negativo, enquanto que f(x) apresenta valor positivo. Assim, 
do teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que há, pelo menos, uma raiz no 
intervalo .
Exemplo 4
Encontre os intervalos nos quais a equação polinomial apresenta raí-
zes. 
Solução: O domínio da função é todo o conjunto dos números 
reais. Calculemos a função em alguns pontos do seu domínio como resumido a seguir. 
Daí, aplicando-se o teorema de Cauchy-Bolzano nos intervalos , e 
há mudança do sinal da imagem de g. Concluímos que as raízes desse polinômio estão 
nesses intervalos.
Existem situações nas quais não temos interesse e nem tempo para calcularmos a função f 
em diversos pontos de seu domínio. Nesses casos, fazemos uso do método gráfico. Nele, fazemos 
o esboço do gráfico da função ou, então, transformamos a equação em uma forma 
equivalente, do tipo e fazemos os gráficos dessas duas funções equivalentes. As 
raízes da equação correspondem aos pontos de intersecção dos gráficos de e quando 
sobrepostos.
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Exemplo 5
A) Podemos reescrever a equação como . Faça 
e cujos gráficos são apresentados na Figura 3.
Figura 3 – Esboço do gráfico. Fonte: O autor.
Na Figura 3, observe que a raiz está no intervalo , pois a intersecção entre e 
 está nesse intervalo.
B) A equação polinomial de grau 3 escrita como pode ser reescrita 
como . Fazendo e , os gráficos dessas funções 
são mostrados na Figura 4.
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Figura 4 – Esboço do gráfico. Fonte: O autor.
Na Figura 4, observe que raízes dessa equação estão nos intervalos , e 
, pois as intersecções entre e estão nesses intervalos.
Acabamos de aprender maneiras de se determinarem intervalos que contêm raiz ou 
raízes da equação. No entanto, para aplicarmos um método numérico para equações lineares 
e iniciarmos a parte de refinamento, é preciso garantir que, nesse intervalo, a raiz seja única. 
Para tanto, faremos uso do teste da derivada primeira, do Cálculo Diferencial e Integral, isto é, 
devemos garantir que, no intervalo que há garantia de raiz, a função seja monótona (ou seja, só 
crescente ou só decrescente).
Exemplo 6
Prove que a equação apresenta raiz única no intervalo .
Solução: No exemplo 3, já verificamos que há garantia de raiz no intervalo . 
Vamos derivar a função e analisar o sinal da função derivada para concluir se a função 
f é ou não monótona. Daí, para a função
 
No intervalo temos que é sempre positiva, ou seja, , o que 
acarreta o fato de f ser só crescente nesse intervalo, ou seja, f é monótona e, com isso, 
concluímos que a raiz da equação é única no intervalo.
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O teorema de Cauchy-Bolzano assegura a existência de, pelo menos, uma raiz no 
intervalo quando . Mas se , podemos concluir que não há raiz 
no intervalo?
Claro que não! Fique atento, porque o teorema não faz menção a situações em que 
. Diante disso, poderão existir outras possibilidades, como ilustrado na Figura 5. 
A saber: (i) ter raiz única no intervalo; (ii) não ter raiz no intervalo; (iii) ter mais de uma raiz no 
intervalo.
Figura 5 – Situações gráficas quando . Fonte: O autor.
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1.3 Refinamento 
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996), o modo como efetuamos a etapa de refinamento 
é o que diferencia os métodos numéricos empregados nesta unidade. Segundo os autores, todos 
os métodos pertencem à classe dos métodos iterativos.
Para Ruggiero e Lopes (1996), um método é denominado de iterativo quando ele é 
organizado de uma sequência de algoritmos que serão executadas em etapas, uma após a 
outra, algumas das quais são realizadas e repetidas em ciclos, sendo que a efetivação de cada 
ciclo é comumente chamada de iteração. Nessas iterações, fazemos uso de resultados obtidos 
em iterações anteriores, além de usarmos critérios de paradas para averiguarmos se foi ou não 
atingido um resultado próximo o suficiente do resultado esperado. O diagrama da Figura 6 ilustra 
a etapa de refinamento.
Figura 6 – Ilustração de um processo iterativo. Fonte: Ruggiero e Lopes (1996).
Para os métodos iterativos, usamos o diagrama da Figura 6, quando somos questionados: 
“o valor de xk está suficientemente próximo da raiz exata?”. Para responder a essa pergunta, 
inicialmente, devemos estabelecer o critério de parada. Assim, podemos afirmar que xk é a raiz 
aproximada de com precisão de e se uma das condições a seguir for satisfeita:
• 
• 
• 
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1.3.1 O método da bissecção
O método da bissecção é também chamado de método do meio intervalo devido à forma 
como se aproxima para a raiz.
Seja a equação , tal que f seja contínua e diferenciável no intervalo , com 
 e que, no intervalo , tenhamos a garantia de raiz única. O método da 
bissecção objetiva aproximar-se para a raiz da equação ao se efetuarem divisões sucessivas, 
do intervalo , sempre pela metade, até que a precisão , previamente estabelecida, seja 
alcançada. 
Observe a Figura 7 e siga os passos seguintes:
• note que , e a raiz é única nesse intervalo.
• adote o ponto médio, digamos , entre a e b, tal que . No gráfico, temos que 
 apresenta sinal negativo. Logo, segundo o teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz está 
no intervalo .
• tome o ponto médio, digamos , entre e b, tal que . No gráfico, temos que 
 tem sinal positivo. Logo, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz, agora, está no 
intervalo .
• tome o ponto médio, digamos , entre e , tal que . No gráfico, temos que 
 é positivo. Logo, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz, agora, está no intervalo 
.
• repetimos esse algoritmo até que uma precisão pré-estabelecida seja alcançada.
Figura 7 – Ilustração para o método da bissecção. Fonte: O autor.
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Arenales e Darezzo (2016) afirmam que, fixados a precisão e um intervalo que 
contém raiz única , é possível saber o número mínimo de iterações que deverão ser executas 
a fim de se obter a precisão desejada. Segundo esses autores, como no método 
efetuamos a divisão do intervalo à metade, após n divisões, a amplitude final do intervalo é 
calculada como:
Assim, impondo-se a condição de que a amplitude final do intervalo seja menor 
que a precisão , segue que
Daí, 
Logo, o número mínimo de iterações a ser efetuado, empregando-se o método da 
bissecção, é 
Exemplo 7
Determine a raiz da equação , com precisão , pelo método 
da bissecção.
Solução: Já mostramos, no exemplo 3, que a equação tem raiz no intervalo e já 
provamos, nos exemplos 5 e 6, que essa raiz é única no intervalo. O que indica que as 
condições de aplicação do método da bissecção estão validadas. O número mínimo de 
iterações para alcançar a precisão desejada é 
Daí,
• 1ª iteração: o ponto médio entre 1,000 e 2,0000 é . 
Sabemos que , e que . 
Assim, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmarque a raiz está no 
intervalo . Note que e o critério de parada não 
foi satisfeito. Efetuamos outra iteração.
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• 2ª iteração: o ponto médio entre 1,0 e 1,50 é . Sabemos 
que , e que . Assim, 
pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que a raiz está no intervalo 
. Note que e o critério de parada não 
foi satisfeito. Efetuamos outra iteração.
• 3ª iteração: o ponto médio entre 1,25 e 1,50 é . Sabemos 
que , e que Assim, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que a raiz está no 
intervalo . Note que e o critério 
de parada não foi satisfeito. Efetuamos outra iteração.
• 4ª iteração: o ponto médio entre 1,375 e 1,50 é . Sabemos 
que , e que Assim, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que a raiz está no 
intervalo . Note que 
 e o critério de parada não foi satisfeito. 
Efetuamos outra iteração.
• 5ª iteração: o ponto médio entre 1,375 e 1,4375 é 
. Sabemos que 
, e que . Assim, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que a raiz está no intervalo 
. Note que e o critério 
de parada não foi satisfeito. Efetuamos outra iteração.
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• 6ª iteração: o ponto médio entre 1,40625 e 1,4375 é 
. Sabemos que , 
 e que . Assim, pelo teorema 
de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que a raiz, agora, está no intervalo 
. Note que e o 
critério de parada não foi satisfeito. Efetuamos outra iteração.
• 7ª iteração: o ponto médio entre 1,421875 e 1,4375 é 
. Sabemos que 
, e que 
. Assim, pelo teorema de Cauchy-Bolzano, podemos afirmar que 
a raiz, agora, está no intervalo . Note que 
 e o critério de parada foi satisfeito. 
Logo, a raiz da equação é, aproximadamente, igual a . Realizamos exatamente 
as sete iterações previstas. Podemos resumir o exercício, de forma mais prática, como 
sugerido na Tabela 1. 
Tabela 1 – Método da bissecção. Fonte: O autor.
1.3.2 O método do ponto fixo
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996), a importância desse método está mais nos 
conceitos introduzidos do que em sua eficiência computacional. 
Dada a equação , com f sendo uma função contínua e diferenciável em 
, com e que, no intervalo , há garantia de raiz única. No método do ponto 
fixo (ou da iteração linear ou das aproximações sucessivas), aproximamo-nos da raiz dessa 
equação, modificando-a em uma forma equivalente do tipo , em que é chamada 
de função iteração.
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Nesse método, atribuímos um valor , escolhido arbitrariamente, com e 
 sendo denominado aproximação inicial. Geramos uma sequência de valores por meio do 
processo iterativo, definida por
em que k = 0, 1, 2, 3, 4, .... Executamos esse algoritmo até que a precisão (ou critério de 
parada) seja satisfeita. 
O(a) futuro(a) engenheiro(a) deve estar atento(a) quando escrever a função iteração, pois 
existem várias maneiras de se escrevê-la. A convergência do método do ponto fixo é garantida 
pelo teorema seguinte, que está relacionada com a função iteração, como afirma Ruggiero e Lopes 
(1996).
Teorema 2 (Teorema de convergência do método do ponto fixo)
Seja uma função contínua e diferenciável em que contém a raiz da equação 
e seja uma aproximação inicial. Se para todo , k = 0, 1, 2, ..., 
então, a sequência gerada por pertencerá ao intervalo e convergirá para a 
raiz .
Exemplo 8
Determine a raiz da equação , com precisão , usando o mé-
todo do ponto fixo.
Solução: No exemplo 3, já mostramos que a equação dada tem raiz no intervalo e, no 
exemplo 6, provamos que essa raiz é única nesse intervalo. Determinemos, agora, uma fun-
ção iteração. Aqui, podemos escrever ao menos duas funções iterações: (1º) ; 
(2º) . Agora, analisemos o critério de convergência das funções 
iterações. Assim, para a função iteração , temos que 
para algum . Assim, essa função iteração não poderá ser empregada no método 
do ponto fixo. Por outro lado, para a função iteração , temos que 
 para todo . Assim, essa função iteração poderá ser usada no 
método do ponto fixo, pois satisfaz o critério de convergência do teorema. Definida a 
função iteração, começamos, agora, o processo iterativo para determinar a raiz da equa-
ção. Daí, tomando , iniciamos o processo iterativo usando a relação de recor-
rência . Temos:
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•	 1ª iteração: fazendo e , temos que 
. Note que e o critério de parada não foi satisfeito. 
Efetuamos outra iteração.
•	 2ª iteração: fazendo e , temos que . 
Note que e o critério de parada não foi satisfeito. 
Efetuamos outra iteração.
•	 3ª iteração: fazendo e 
, temos que . Note que 
 e o critério de parada não foi satisfeito. 
Efetuamos mais uma iteração.
•	 4ª iteração: fazendo e 
, temos que . Note que 
 e o critério de parada foi satisfeito. 
Logo, com precisão de , a raiz aproximada da equação é .
1.3.3 O método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson foi publicado em 1687 e é o mais empregado por 
engenheiros quando necessitam determinar as raízes de uma equação, isso devido à rapidez com 
que converge para a raiz da equação. 
Seja a equação , com f sendo uma função contínua em , com 
e que no intervalo tenha garantia de raiz única. No método de Newton-Raphson (ou das 
tangentes), a aproximação para a raiz da equação, de acordo com Arenales e Darezzo (2015), 
dá-se a partir da interseção da reta tangente da curva de f, em um ponto , com , com 
o eixo das abscissas. Acompanhe o raciocínio a seguir em conjunto com a Figura 8:
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• Tome e considere a reta tangente à curva no ponto . Na Figura 
8, é a “Tangente 1”. Essa reta tangente intercepta o eixo das abcissas no ponto . O 
ponto pode ser determinado analiticamente aplicando-se trigonometria no triângulo 
retângulo
 . Assim, 
• Tome e considere a reta tangente à curva no ponto . Na Figura 8, 
é a “Tangente 2”. Essa reta tangente intercepta o eixo das abcissas em . O ponto 
pode ser determinado analiticamente aplicando-se trigonometria no triângulo retângulo 
. Assim, 
• Podemos continuar esse processo iterativo até chegarmos à raiz. Para isso, realizaremos 
n iterações, e o processo fica generalizado como segue: tome e considere a 
reta tangente à curva no ponto . Essa reta tangente intercepta o eixo das 
abcissas em . O ponto pode ser determinado analiticamente aplicando-se 
trigonometria no triângulo retângulo . Assim, 
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Figura 8 – Interpretação geométrica do método de Newton-Raphson. Fonte: O autor.
 
A equação de recorrência definida por 
com n = 0, 1, 2, ... é denominado Método de Newton-Raphson. 
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Exemplo 9
Determine a raiz da equação , com precisão , usando o 
método de Newton-Raphson.
Solução: No exemplo 3, já mostramos que a equação dada tem raiz no intervalo 
 e, no exemplo 6, provamos que essa raiz é única nesse intervalo. Vamos, 
agora, determinar a derivada da função que é . Daí, a equação de 
recorrência do método de Newton-Raphson fica escrita como
 
Assim,
• 1ª iteração: fazendo e tomando na equação de 
recorrência, segue que . Note que 
, ou seja, devemos efetuar mais uma 
iteração, pois o critério de parada não foi satisfeito.
• 2ª iteração: fazendo e tomando na equação de 
recorrência, segue que . Note 
que , ou seja, o critério de parada já foi 
satisfeito. Logo, com precisão de , a raiz aproximada da equação é .
Uma consideração acerca da praticidade do método de Newton-Raphson é quando 
a função ƒ é complicada de ser derivada e o método se torna improdutivo.
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1.3.4 O método das secantes
O método das secantes é uma alternativa ao método de Newton-Raphson para situações 
em que o cálculo da derivada da função é complicado. De acordo com Sperandio et al. (2003), a 
equação de recorrência do método das secantes é obtida pela substituição da derivada na equação 
de recorrência de Newton-Raphson, como segue 
Efetuando algebrismo, obtemos 
que é conhecido como o método das secantes, em que n = 1, 2, 3, ...
Exemplo 10
Determine a raiz da equação , usando o método das secantes e com 
precisão de .
Solução: No exemplo 3, já mostramos que a equação dada tem raiz no intervalo 
e, no exemplo 6, provamos que essa raiz é única nesse intervalo. A função iteração para 
o método das secantes fica escrita como:
Assim,
•	 1ª iteração: fazendo e tomando e na equação de re-
corrência, segue que 
Note que e, de acordo com o teorema de Cauchy-Bolzano, a 
raiz está no intervalo . Note que , ou 
seja, devemos efetuar mais uma iteração, pois o critério de parada não foi satisfeito.
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•	 2ª iteração: fazendo e tomando e na equação de 
recorrência (observe que trocamos os índices para a adequação na equação de 
recorrência), segue que . Note que 
 e, de acordo com o teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz está 
no intervalo . Note que , ou seja, 
devemos efetuar mais uma iteração, pois o critério de parada não foi satisfeito.
•	 3ª iteração: fazendo e tomando e na equação 
de recorrência (observe que trocamos os índices para a adequação na equação de 
recorrência), segue que . Note que 
 e, de acordo com o teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz está 
no intervalo . Note que , ou seja, 
devemos efetuar mais uma iteração, pois o critério de parada não foi satisfeito.
•	 4ª iteração: fazendo e tomando e na equação 
de recorrência (observe que trocamos os índices para a adequação na equação de 
recorrência), segue que . Note que 
 e, de acordo com o teorema de Cauchy-Bolzano, a raiz está no 
intervalo . Note que , ou seja, o cri-
tério de parada é satisfeito.
Logo, com precisão de , a raiz aproximada da equação é .
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2. O CÁLCULO NUMÉRICO PARA SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES LINEARES
2.1 Introdução
Uma equação é dita linear quando nela aparecerem apenas as operações de soma 
(subtração) e multiplicação por um escalar (número real). Essas equações são escritas:
em que , , , ... e são escalares reais (números reais) que são chamados de 
coeficientes de incógnitas. Por outro lado, , , , ... e são chamadas de incógnitas, e é 
um número real conhecido como termo independente. 
A sequência de números reais, , é a solução da equação linear quando ela 
satisfaz a equação. Em outras palavras, quando faz da equação uma identidade.
A equação é linear e é uma solução. No entanto, e são soluções dessa equação. Na realidade, se y é um número real qualquer, então a dupla ordenada 
escrita como é uma solução dessa equação. 
 
Um sistema de equações lineares é um conjunto formado por m equações lineares, as 
quais possuem n incógnitas e é escrito como:
em que são os coeficientes das incógnitas tal que ; , com 
 são as incógnitas do sistema; e , com são os termos independentes 
do sistema de equações.
Outra maneira de se escrever o sistema de equações lineares é na forma matricial:
isto é, na forma , em que é chamada de matriz dos 
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coeficientes, matriz das incógnitas e B a matriz dos termos 
independentes.
A solução de um sistema de equações lineares é uma dupla ordenada de números reais 
que satisfaz, ao mesmo tempo, as m equações desse sistema. Para Arenales e Darezzo (2015), 
para qualquer sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, uma das alternativas 
seguintes ocorre:
• o sistema de equações lineares não admite solução.
• o sistema de equações lineares tem infinitas soluções.
• o sistema de equações lineares tem solução única.
Para determinar a solução desses sistemas de equações lineares, podemos fazer uso de 
métodos diretos e métodos indiretos. De acordo com Burden e Faires (2011), nos métodos diretos, 
encontramos a solução exata, a menos de erros de arredondamentos. Os métodos indiretos são 
aqueles em que obtemos uma aproximação para a solução a partir de um método iterativo. 
 
2.2 Métodos Diretos
2.2.1 O método de eliminação de Gauss
O método de eliminação de Gauss versa sobre modificar o sistema de equações lineares 
original em outro equivalente, com a matriz dos coeficientes sendo uma matriz triangular 
superior (ou inferior).
Uma matriz é dita triangular superior quando todos os elementos que estão 
localizados abaixo da diagonal principal sejam iguais a zero. Uma matriz é dita 
triangular inferior quando todos os elementos que estão localizados acima da 
diagonal principal sejam iguais a zero.
Em Álgebra Linear, dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes 
quando apresentam a mesma solução. 
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Teorema 3
Considere o sistema de equações lineares do tipo . Aplicando sobre as equações 
desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:
(i) troca de equações;
(ii) multiplicação de uma equação por uma constante real não nula;
(iii) adicionar um múltiplo de uma equação à outra equação; 
encontramos um novo sistema de equações lineares, reescrito como , de tal forma 
que os sistemas e sejam equivalentes.
 
Exemplo 11
Use o método de eliminação de Gauss e resolva o sistema de equações lineares 
.
Solução: O sistema de equação reescrito na forma matricial fica: 
. Note que o determinante da matriz dos coeficientes é igual 
a -8 (verifique esse resultado!), o que garante que o sistema tem solução única. Para 
aplicar o método de eliminação de Gauss, acompanhe o procedimento a seguir.
Passo 1: escreva a matriz ampliada associada ao sistema. A matriz ampliada é obtida 
pela junção da matriz dos coeficientes e da matriz dos termos independentes. Assim, 
temos
Passo 2: necessitamos escrever uma matriz triangular superior usando uma das 
operações elementares previstas no teorema 3. Para a primeira coluna, o elemento 
que está na diagonal principal, no caso , será o pivô para anular os elementos 
da coluna que está abaixo dele. O elemento pivô nunca poderá ser zero; caso isso 
aconteça, faça troca de linha ou coluna. Assim, as substituições serão
• A linha 2, , será substituída pelo triplo dela subtraída da linha 1, . Ou seja, 
. 
• A linha 3, , será substituída pelo triplo dela subtraída pelo quádruplo da 
linha 1, . Ou seja, .
Assim, a matriz ampliada fica reescrita como:
 
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Na segunda coluna, o elemento e que está na diagonal principal é o pivô. Daí,
A linha 3, , será substituída por ela subtraída da linha 1, . Ou seja, . 
Note que já temos a matriz dos coeficientes escrita como uma matriz triangular 
superior. A matriz ampliada acima corresponde ao sistema de equações lineares 
Agora, resolvemos o sistema triangular, como segue:
Substituindo-se o valor de na segunda equação e resolvendo, segue que
Substituindo-se os valores de e na primeira equação e resolvendo, segue que
Portanto, a solução do sistema de equações lineares é . O índice T 
denota que se trata da matriz transposta.
No exemplo 11, após empregarmos um elemento da diagonal principal como pivô, 
a linha que contém esse elemento não era mais empregada para zerar outros 
elementos.
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2.2.2 O método da fatoração LU
De acordo com Burden e Faires (2011), o método de eliminação de Gauss é a principal 
ferramenta na solução direta de sistemas de equações lineares. Agora, dediquemo-nosa resolver 
o sistema de equações da forma AX=B, mas fatorando uma matriz. A fatoração, segundo esses 
autores, é particularmente útil quando tivermos a forma A = LU, em que L é uma matriz triangular 
inferior e U, uma matriz triangular superior.
Assim, o sistema de equações passa a ser reescrito como:
Para resolver o sistema de equações, fazemos e, desse modo, resolvemos o 
sistema resultante
para Y.
 De posse do resultado da matriz Y, resolvemos o sistema referente à mudança de 
variável, ou seja,
para X.
 A aplicação dessa técnica de fatoração é garantida, segundo o teorema 4, que é 
apresentado em Ruggiero e Lopes (1996).
Teorema 4
Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e a matriz quadrada de ordem k, formada 
pela intersecção das k primeiras linhas com as k primeiras colunas em A, também chamada de 
menor principal da matriz A. Se , para , então existe uma 
única matriz triangular inferior , com , e uma única matriz 
triangular superior tal que .
No teorema 4, quando os elementos l e u das matrizes L e U, respectivamente, são obtidos 
de acordo com o procedimento
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o método de decomposição LU é denominado de método de Crout. Por outro lado, 
quando os elementos l e u das matrizes L e U, respectivamente, são obtidos de acordo com o 
procedimento
o método de decomposição LU é denominado de método de Doolittle. Nos métodos de 
Crout e Doolittle, adotaremos a convenção de (leia-se: identicamente nulo) quando 
k 1< . 
Exemplo 12
Use o método de Doolittle e determine a solução do sistema de equações lineares 
.
Solução: Inicialmente, calculemos os determinantes dos dois primeiros menores 
principais e verifiquemos se eles são diferentes de zero. Assim,
 
Como esses determinantes são diferentes de zero, segue do teorema 4 que as matrizes 
L e U são únicas. Para a decomposição LU, devemos ter que
Então, iniciemos os cálculos dos elementos das matrizes L e U e lembremo-nos da 
convenção quando .
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Assim, escrevemos as matrizes e . Um ótimo exercício 
é verificar que A = LU, em especial no sábado à noite. Daí, o sistema fica reescrito 
como:
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Fazendo , isto é
 
e resolvemos o sistema , como pode ser visto a seguir.
cuja solução é . Agora, resolvamos o sistema ,
cuja solução é . 
Logo, a solução do sistema de equações é , em que T denota a 
transposição matricial.
Atentemo-nos, agora, para uma fatoração LU que é empregada quando a matriz dos 
coeficientes é simétrica. Nesse caso, o procedimento é chamado de método de Cholesky.
Matriz quadrada é toda matriz em que o número de colunas é o mesmo do número 
de linhas, e uma matriz simétrica é aquela que coincide com a sua transposta.
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Considere uma matriz quadrada e simétrica . Diz-se que essa matriz é definida 
positiva se os determinantes de todos os menores principais da matriz A forem positivos. 
Teorema 5
Seja uma matriz simétrica e positiva definida. Então, existe uma única matriz 
, triangular superior, com diagonal positiva, tal que .
No método de Cholesky, os elementos da matriz U são obtidos por meio das seguintes 
equações:
Exemplo 13
Resolva o sistema de equações lineares pelo método 
de Cholesky.
Solução: Note que a matriz dos coeficientes é simétrica, isto é, . Para aplicar o 
método de Cholesky, devemos ter que a matriz dos coeficientes seja positiva definida. 
Assim,
 
 
 
Logo, a matriz A é simétrica e positiva definida, e o método de Cholesky pode ser em-
pregado. Assim, os elementos da matriz U que devem ser determinados são
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Daí,
 
 
 
Daí, a matriz , a matriz e o sistema de 
equações é reescrito
Fazendo , temos que
 
Daí, resolvemos o sistema 
 
 
Agora, resolvemos 
Logo, a solução do sistema é .
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2.3 Métodos Iterativos
Neste tópico, ater-nos-emos aos métodos iterativos para resolução de sistemas de 
equações lineares. Um método iterativo é caracterizado por uma aproximação inicial que 
vamos melhorando à medida em que executamos uma iteração. Admita o sistema , com 
 e com todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero. Admita, ainda, 
que esse sistema de equações lineares possa ser escrito como
Vamos reescrever esse sistema de um modo equivalente, mas dividindo cada linha pelo 
elemento da diagonal principal e resolvendo na primeira linha, para na segunda linha e 
assim por diante, até na n-ésina linha. Daí, temos que
ou, na forma matricial, como:
 A forma matricial anterior nos permite escrever que
em que , e .
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e esse é o preparo inicial que devemos efetuar para aplicar um método iterativo. A partir 
de agora, estudaremos dois métodos: o de Jacobi e o de Gauss-Seidel.
2.3.1 O método iterativo de Jacobi
 
O método iterativo de Jacobi é tal que, em cada iteração k, os valores da matriz solução 
são atualizados de acordo com o algoritmo de recorrência, expresso como:
ou, ainda, como
 
 No entanto, para fazer uso desse método, as condições do teorema 6 necessitam 
ser verificadas, como propõe Franco (2006).
Teorema 6 (de convergência do método de Jacobi)
Dado o sistema de equação e seja um número real em que
Se , então, a sequência de valores gerada pelo método iterativo de 
Jacobi converge para a solução, não importando a escolha da aproximação inicial.
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Exemplo 14
Resolva o sistema de equações lineares , com precisão , 
usando o método de Jacobi e efetuando as iterações com três decimais.
Solução: Inicialmente, verifiquemos o critério de convergência. Assim, calculamos os 
 como segue
 
 
Assim, e, de acordo com o teorema 
6, o método iterativo de Jacobi será convergente, independentemente da escolha da 
aproximação inicial. Agora, reescrevamos o sistema como
 Tomemos como aproximação inicial e iniciemos as iterações. 
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• 1ª iteração: k = 0 e 
Note que todos os resultados da 1ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
• 2ª iteração: k = 1 e 
Note que todos os resultados da 2ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
• 3ª iteração: k = 2 e 
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Note que todos os resultados da 3ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
• 4ª iteração: 
Note que os valores obtidos de y e z na 4ª iteração falharam no critério de parada. 
Assim, fazemos mais uma iteração. 
• 5ª iteração: 
Portanto, após 5 iterações, a solução aproximada do sistema de equações é 
. A solução exata desse sistema de equações é .
2.3.2 O método iterativo de Gauss-Seidel 
No método iterativo de Gauss-Seidel, em cada iteração k, os valores das incógnitas da 
matriz solução, já calculados em uma iteração, são empregados nessa mesma iteração, e para 
aqueles que não foram calculados são usados os valores da iteração anterior. O procedimento é 
como apresentado a seguir:
Para a aplicação desse método ou o critério de convergência do Teorema 6 deverá ser 
satisfeito o critério estabelecido no Teorema 7, como afirmado por Franco (2006).
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Teorema 7 (Critério de convergênciade Sassenfeld)
Seja um sistema de equações lineares, as constantes definidas por 
com e seja . Então, se a 
sequência gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema.
Exemplo 15
Resolva o sistema de equações lineares , com precisão , 
usando o método de Gauss-Seidel e efetuando as iterações com três decimais.
Solução: No exemplo 14, mostramos que métodos iterativos poderiam ser aplicados a 
esse sistema com garantia de convergência. Agora, reescrevamos o sistema como
 Vamos tomar como aproximação inicial e iniciar as iterações. 
•	 1ª iteração: k = 0 e 
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Note que todos os resultados da 1ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
•	 2ª iteração: k = 1 e 
Note que todos os resultados da 2ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
•	 3ª iteração: k = 2 e 
Note que todos os resultados da 3ª iteração falharam no critério de parada. Assim, 
fazemos mais uma iteração.
•	 4ª iteração: 
Portanto, após 4 iterações, a solução aproximada do sistema de equações é 
. Lembre-se de que a solução exata desse sistema de equações 
é . Volte ao exemplo 14 e compare esses resultados obtidos pelos métodos 
iterativos.
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O exemplo a seguir tem a finalidade de apresentar o critério de convergência de Sassenfeld. 
A resolução ficará a cargo do(a) futuro(a) engenheiro(a).
Exemplo 16
Use o critério de convergência de Sassenfeld e estude a possibilidade de aplicação do 
método iterativo de Gauss-Seidel para a resolução do sistema de equações lineares 
 .
Solução: Para verificar a aplicabilidade do método de Gauss-Seidel, apliquemos o crité-
rio de convergência de Sassenfeld. Esse sistema é reescrito como:
em que a matriz H é . Aplicando o critério de Sanssefeld, segue 
que
 
 
Daí, e a sequência gerada pelo método iterativo 
de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema. 
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Quando estamos tratando de soluções de sistemas de equações lineares, temos 
sempre uma questão a ser resolvida: a escolha de um método direto ou indireto 
para a resolução. Segundo Arenales e Darezzo (2015), não podemos garantir, 
a priori, qual tipo de método é o mais eficiente, porque dependemos de uma 
análise das características da matriz dos coeficientes e do porte do sistema a ser 
resolvido. Procure pelo livro desses autores e leia a seção acerca das observações 
e comparação dos métodos.
Na sua vida profissional, poderá acontecer de se ter a necessidade 
de resolver sistemas de equações não lineares. Nesse caso, 
podemos fazer uso do método de Newton-Raphson para sistemas de 
equações não lineares. O vídeo a seguir apresenta o procedimento 
para a aplicação do método e está disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=pwpJAZ8LqI8.
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U N I D A D E
03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................. 63
1. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ................................................................................................................................. 63
1.1 A INTERPOLAÇÃO DE NEWTON .............................................................................................................................. 66
1.2 A INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE .......................................................................................................................... 72
2. APROXIMAÇÃO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ............................................................................ 76
TÉCNICAS NUMÉRICAS DE APROXIMAÇÃO
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CÁLCULO NUMÉRICO
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INTRODUÇÃO
Nesta unidade, dedicaremos nossa atenção às técnicas de aproximação de funções. As 
aproximações surgem quando trabalhamos com funções que apresentam certo grau de dificuldade 
para serem avaliadas, como derivar, determinar pontos críticos e integrar. As aproximações 
surgem, ainda, quando conhecemos um número finito de pontos, mas não conhecemos sua 
forma analítica.
Em Engenharia, as duas situações são bastante comuns. Às vezes, estamos otimizando 
uma dada função e, ao operar (derivar e integrar) a função, temos algo complexo. Ou, ainda, 
quando resolvemos problemas de balanço de energia, por exemplo, não conhecemos a função 
analítica para entalpia e precisamos efetuar aproximações, pois, no geral, dispomos de uma tabela 
com esses valores tabelados.
Portanto, estudaremos nesta unidade as duas principais técnicas de aproximação: a 
interpolação e a extrapolação pelo método dos mínimos quadrados.
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1. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Seja f uma função real definida em (n+1) pontos do intervalo tal que sejam 
conhecidos os seguintes pontos:
Interpolar a função f, por um polinômio P de grau menor ou igual a n, é impor a 
condição de que os gráficos de f e P sejam coincidentes nos pontos com , 
como apresentado na Figura 1.
Figura 1 – Interpolação geométrica da interpolação. Fonte: O autor.
Os pontos do conjunto 
são, também, chamados de nós da interpolação.
O cálculo do determinante da matriz de Vandermonde é de grande 
importância para o estudo da teoria da interpolação. O vídeo 
(disponível em https://www.youtube.com/watch?v=iv8YNa_jXMQ 
apresenta o procedimento da determinação desse determinante.
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Admita que o polinômio interpolador P tenha grau n e seja escrito como:
Admita, também, que , com n = 0, 1, 2, ..., k e, ainda, com
, podemos obter os coeficientes do 
polinômio interpolador como mostra o sistema de equações a seguir:
O sistema de equações anterior, quando reescrito na forma matricial, fica:
Note que a matriz dos coeficientes é a matriz de Vandermonde que, por sua vez, tem 
determinante diferente de zero. Daí, esse sistema de equações apresenta solução única, o que 
prova que o polinômio existe e é único. Arenalles e Darezzo (2015) enunciam o teorema que 
segue: 
Teorema 1
Seja f uma função definida em (n+1) pontos distintos em , então existe 
único polinômio P(x) de grau menor ou igual a n, tal que para todo 
.
Apesar de o polinômio interpolador e a função f serem idênticos nos nós de 
interpolação, um erro de aproximação aparece quando avaliamos a função em pontos 
distintos desses nós, como pode ser observado na Figura 1D. Esse erro é calculado como:
Exemplo 1
Obtenha o polinômio interpolador sobre todos os pontos, considerando os valores 
a seguir:
Solução: Note que temos disponíveis três nós de interpolação e, nessas condições, 
um polinômio interpolador de grau dois poderá ser obtido sobre todos os pontos. Admita 
que o polinômio interpolador seja da forma
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Substituindo-se os valores disponíveis, segue que
Esse sistema de equações pode ser resolvido por uma das técnicas já estudadas na 
Unidade II. A solução é 0a 8= e . Daí, o polinômio interpolador é 
1.1 A Interpolação de Newton
 
Em cálculo numérico, polinômio interpolador de Newton é tal que seus coeficientes são 
calculados por meio de diferenças divididas.
Definição: considere que f seja uma função (n+1) vezes diferenciável e definida nos 
seguintes pontos de seu domínio , que são (n+1) pontos distintos do intervalo 
. Diz-se que a diferença dividida de ordem zero da função f nos pontos , 
é com . 
Definição: considere f a função (n+1) vezes diferenciável e definida nos seguintes pontos 
de seu domínio, que são (n+1) pontos distintos do intervalo . Diz-se que a 
diferença dividida de ordem um da função f nos pontos e , com é definido 
por .
No exemplo 1, note que, nos pontos tabelados, o valor determinado pelo polinômio 
e o valor da função devem ser coincidentes. Caso contrário, algum erro foi 
cometido.
A determinação do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema 
de equações lineares é árdua e demorada. Ademais, ao resolvermos esses 
sistemas, podemos cometer erros de arredondamento, fazendo com que a 
solução obtida seja inviável. Daí é que surgem os métodos de Newton e Lagrange 
para interpolação. 
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Definição: considere que f seja uma função (n+1) vezes diferenciável e definida nos 
seguintes pontos de seu domínio , que são (n+1) pontos distintos do intervalo 
. Diz-se que a diferença dividida de ordem dois da função f nos pontos , e , 
 é .
Definição: considere que f seja uma função (n+1) vezes diferenciável e definida nos 
seguintes pontos de seu domínio , que são (n+1) pontos distintos do intervalo 
. Diz-se que a diferença dividida de ordem n da função f nos pontos , , ..., e , 
 é . 
Seja a função f e conhecidos os valores que f assume nos pontos podemos 
construir a tabela de diferenças divididas finitas (DDF), segundo Ruggiero e Lopes (1996), 
como apresentado pela Tabela 1.
Tabela 1 – Tabela de diferenças divididas finitas. Fonte: Ruggiero e Lopes (1996).
 
Exemplo 2
Use os valores conhecidos da função f e construa a tabela de diferenças divididas 
finitas.
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Solução: Segue que as DDF de ordem zero são:
 
 
 
 
A DDF de primeira ordem são:
 
 
As DDF de segunda ordem são:
 
 
A DDF de terceira ordem é:
 
A DDF de quarta ordem é:
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Esses cálculos de DDF que acabamos de efetuar podem ser convenientemente 
arranjados no tabelamento das DDF, como segue:
Teorema 2
Seja f uma função contínua e definida em que são (n+1) pontos distintos 
de . O polinômio de grau menor ou igual a n, baseado nas diferenças divididas finitas, escrito 
como
interpola f nos pontos .
Exemplo 3
Escreva o polinômio interpolador sobre todos os pontos, empregando o método 
das diferenças divididas finitas, considerando os valores tabelados a seguir e estime f(1).
Solução: Temos disponíveis três nós de interpolação e, com eles, podemos escrever 
um polinômio interpolador de grau dois. Assim, pelo método das DDF de Newton, o 
polinômio interpolador é escrito como:
A tabela de DDF é:
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LC
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O 
NU
M
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IC
O 
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NI
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DE
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Daí, o polinômio é
Assim, f(1) é
Sabemos que o polinômio interpolador de uma função f sobre um conjunto de (n+1) 
pontos distintos satisfaz a condição de para todo . No entanto, 
para os pontos , com , nem sempre essa condição é verdadeira, pois estamos 
estimando f por meio de . Para verificar se o valor de encontrado é uma boa aproximação 
para f dos dois teoremas que seguem.
Teorema 3
 Seja f uma função definida em (n+1) pontos distintos de um intervalo , suponha, 
ainda, que f e todas as suas derivadas até a ordem (n+1) sejam contínuas em e seja a 
polinomial que interpola f em . Então, o erro cometido, E(x), é dado por
com .
O teorema 3 apresenta limitação em seu uso, pois são raras as situações em que conhecemos 
a derivada e o ponto . Na prática, utilizamos uma cota para o erro. Dessa forma, o 
teorema 3 é reescrito como apresentado no teorema 4. 
No cálculo do erro da interpolação, Π denota o produtório, que é o produto de fatores 
iterativos que dependem de índice variando ao longo dos números naturais. A ele, 
são aplicadas as propriedades algébricas da comutatividade e associatividade. O 
curioso é que o fatorial de um número pode ser facilmente descrito em termos de 
um produtório, exceto zero.
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Teorema 4
 Seja f uma função definida em (n+1) pontos distintos de um intervalo , tal que f 
e todas as suas derivadas até ordem (n+1) sejam contínuas em e seja a polinomial que 
interpola f em . Seja, ainda, M uma constante positiva tal que para todo 
. Então, o erro cometido, E(x), é dado por
Exemplo 3
Interpole a função sob três nós de interpolação, no intervalo 
. Estime o valor de f(0,75) pelo polinômio interpolador e apresente uma cota 
para o erro.
Solução: Para o intervalo , vamos tomar pontos igualmente espaçados. 
Daí, temos os seguintes valores da função:
A tabela de DDF é
Logo, o polinômio interpolador é escrito como:
 
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Daí segue que
A função f é e, nesse caso, podemos estimar o erro cometido. 
O erro exato é:
A estimativa da cota para o erro é
em que M é o máximo valor da derivada terceira de f em . Sabemos que 
 e seu valor máximo absoluto ocorre em x = 1, isto é, M = 2,718. Logo,
1.2 A interpolação de Lagrange
Considere (n+1) pontos distintos tomados no intervalo , em que f, uma função 
real, esteja definida, isto é, . O polinômio 
interpolador de Lagrange é 
ou ainda, como
em que .
A interpolação de Newton, quando realizada em pontos igualmente espaçados, 
como no exemplo 3, é denominada de interpolação de Newton-Gregory, que será 
usada em integração numérica, assunto da próxima unidade.
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Exemplo 4
Determine o polinômio interpolador de Lagrange sobre três nós para a função 
 no intervalo , tomando os pontos dados e, em seguida, aproxime o 
valor de f(3) e dê a cota do erro.
Solução: Temos disponíveis 3 nós de interpolação e, com eles, podemos escrever 
uma polinomial de grau 2 sobre todos os pontos. Dessa maneira, o polinômio interpolador 
de Lagrange é
com e n = 2. Assim, substituindo os valores da tabela, segue 
que
com . Daí,
O polinômio interpolador é escrito como:
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Efetuando manipulações algébricas, segue que o polinômio interpolador de 
Lagrange é
Assim, temos que 
O erro exato é:
A cota do erro é
em que M é o máximo valor da derivada terceira de f em . Sabemos que 
 e seu valor máximo absoluto ocorre em x = 1, isto é, M = 6. Logo,
Exemplo 5
Use os valores a seguir, determine a função polinomial que interpola f pelo método 
de Lagrange e determine uma aproximação para f(0,5).
Solução: Temos disponíveis 3 nós de interpolação e, com eles, podemos escrever 
uma polinomial de grau 2 sobre todos os pontos. O polinômio interpolador de Lagrange, 
para esse conjunto de dados, é escrito como
com e n = 2. Assim, substituindo os valores da tabela, segue 
que
Agora, vamos determinar as funções . Daí,
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Daí, o polinômio interpolador é escrito como:
Efetuando manipulações algébricas, segue que o polinômio interpolador de 
Lagrange é
.
Assim, temos que 
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Exemplo 6
No exemplo 5, a função f é . Estime o erro cometido ao aproximar f(0,50) pelo 
polinômio interpolador.
Solução: Vimos, no exemplo 4, que . Assim, a estimativa da cota do erro é 
em que M é o máximo valor da derivada terceira de f em . Daí, temos que 
 e seu valor máximo absoluto ocorre em x = 0,6, isto é, M = 0,5646. Assim,
Use a calculadora científica, calcule, também, o erro absoluto e compare com a estimativa do erro 
que acabamos de determinar.
2. APROXIMAÇÃO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS 
QUADRADOS
2.1 Introdução
Para Franco (2006), a interpolação é uma técnica de aproximação útil e prática, mas que 
não é indicada em situações em que se deseja obter um valor