-matemática2-Inscrição e circunscrição de polígonos-26-03-2021-

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Matemática 
 
Inscrição e circunscrição de polígonos 
Objetivo 
Saber classificar corretamente a posição relativa entre polígonos regulares e circunferências – se eles são 
inscritos ou circunscritos – e aplicar as relações entre os elementos desses polígonos corretamente. 
Curiosidade 
Os principais polígonos estudados aqui são triângulos, quadrados e hexágonos. Isso ocorre pois, dentro 
desses polígonos, conseguimos achar os ângulos notáveis da trigonometria (30º, 45º e 60º) e conseguimos 
então utiliza-la para demonstrarmos as relações 
Teoria 
 
 
Definições iniciais 
• Polígono regular é aquele em que todos seus lados possuem a mesma medida (equilátero), assim como 
isso deve ocorrer com seus ângulos (equiângulo). 
• Polígono inscrito: é interno a uma dada circunferência, sendo que todos seus vértices pertencem a ela. 
• Polígono circunscrito: ainda olhando do ponto de vista do polígono, este deve ser externo à circunferência 
de tal forma que cada um de seus lados a tangenciem em um único ponto. 
• Apótema: é o segmento de reta que o liga o centro do polígono regular a qualquer ponto médio de seu 
lado. Consequentemente, o apótema é perpendicular ao lado do polígono. 
 
No estudo desses polígonos inscritos e circunscritos, vamos nos atentar a três polígonos – o triângulo, o 
quadrado e o hexágono – tomando como objetivo relacionar seus respectivos lados (𝑙) e apótemas (𝑎) com 
o raio da circunferência (𝑟) que ora lhes são inscritas, ora os circunscrevem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Polígonos inscritos 
 
 
𝑵 lados 3 4 6 
l 𝑟√3 𝑟√2 𝑟 
a 𝑟
2
 𝑟√2
2
 
𝑟√3
2
 
 
Obs.: Dica de memorização! In, do inglês, significa “dentro”. Assim, pense no polígono inscrito como aquele 
que está dentro da circunferência. 
 
 
Polígonos circunscritos 
 
 
 
𝑵 lados 3 4 6 
l 2𝑟√3 2𝑟 2𝑟√3
3
 
 
Aqui não nos preocupamos em relacionar o apótema com o raio, visto que eles são coincidentes em todos os 
casos. 
 
Obs.: Como todo polígono regular com 𝑁 lados pode ser decomposto em 𝑁 triângulos isósceles, temos uma 
nova fórmula, que vale para calcular a área de qualquer polígono regular! 
 
𝐴𝑝𝑜𝑙. 𝑟𝑒𝑔. = 𝑝 ∙ 𝑎 
 
Em que 𝑝 é o semiperímetro (metade do perímetro) do polígono. 
 
Obs.: Fórmulas de áreas: 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔. 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟. =
𝐿²√3
4
, 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐿², 𝐴ℎ𝑒𝑥. 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =
3𝐿²√3
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de fixação 
 
 
1. Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3 𝑐𝑚. Qual a medida do 
diâmetro dessa circunferência? 
 
 
2. O apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 8 𝑐𝑚 . Aponte o lado do 
hexágono regular inscrito nessa circunferência. 
 
 
3. Determine a área de um hexágono regular inscrito cujo apótema mede 3 𝑐𝑚. 
 
 
4. Uma pizzaria entrega suas pizzas circulares em caixas cuja base é um hexágono regular. O preço da 
pizza varia de acordo com a medida do seu raio, onde cada decímetro custa 𝑅$12,00. Sabendo que o 
lado de uma caixa mede 2√3 decímetros e que a pizza tangencia as bordas da caixa, calcule o preço 
da pizza vendida nessa embalagem. 
 
 
5. Observe a figura abaixo: o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência é 18√3 𝑐𝑚 . 
Determine o perímetro do triângulo equilátero circunscrito a essa circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Exercícios de Vestibulares 
 
 
1. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado 𝑎? 
a) 
2
3
 
b) 
3
2
 
c) √2 
d) 2 
e) 
1
2
 
 
2. Qual o comprimento de uma circunferência inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 𝑐𝑚? 
a) 7π√2 cm 
b) 9π√2 cm 
c) 10π√3 cm 
d) 10π√2 cm 
e) 5π√2 cm 
 
 
 
3. A figura indica um hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 de área 𝑆1 e um hexágono regular 𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿 de vértices nos 
pontos médios dos apótemas do hexágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 e área 𝑆2. 
 
Nas condições descritas, 
𝑆2
𝑆1
 é igual a 
a) 
3
4
 
b) 
8
25
 
c) 
7
25
 
d) 
1
5
 
e) 
3
16
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
4. Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um 
triângulo equilátero que, ao mesmo tempo em que está inscrito numa circunferência, circunscreve um 
hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 𝑐𝑚, então, a soma das medidas, em 
𝑐𝑚, do lado do hexágono com o diâmetro da circunferência deve ser: 
a) 7 
b) 2 3 1+ 
c) 2 3 
d) 3 1+ 
e) 
77
32 
 
 
5. Numa circunferência inscreve-se um triângulo equilátero cujo lado mede 8√3 𝑐𝑚 . Em seguida, no 
interior do triângulo constrói-se outro triângulo, também equilátero, cujos lados ficam afastados 0,5 𝑐𝑚 
dos lados do primeiro. O apótema do triângulo menor, em 𝑐𝑚, mede: 
a) 3,5 
b) 2 3 
c) 3 2 
d) 5 3 
e) 2 
 
 
6. O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 25𝜋 𝑐𝑚² de área é igual a 
a) 150 cm 
b) 75 cm 
c) 25 cm 
d) 15 cm 
e) 30 cm 
 
 
7. Na figura ao lado, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 é um hexágono regular de lado 1 𝑑𝑚 , e 𝑄 é o centro da circunferência 
inscrita a ele. 
O perímetro do polígono 𝐴𝑄𝐶𝐸𝐹, em 𝑑𝑚, é igual a: 
a) 4 + √2 
b) 4 + √3 
c) 6 
d) 4 + √ 5 
e) 2(2 + √2) 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
8. O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de 
círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo 
equilátero com lados medindo 30 𝑐𝑚. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos 
raios medem 18 𝑐𝑚, 26 𝑐𝑚, 30 𝑐𝑚, 35 𝑐𝑚 e 60 𝑐𝑚. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o 
tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. 
 Dados: 𝟏, 𝟕 como aproximação para √𝟑. 
 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a 
a) 18 
b) 26 
c) 30 
d) 35 
e) 60 
 
 
 
 
9. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em um círculo e de um hexágono regular, cujo 
apótema mede 10 𝑐𝑚, circunscrito a esse mesmo círculo é: 
a) 
1
2
 
b) 1 
c) 
1
3
 
d) 
3
8
 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
10. Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira 
com 10 𝑐𝑚 de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se 
posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de 
madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (𝑄), de lado 4 𝑐𝑚, uma 
retangular (𝑅), com 𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝑐𝑚 e altura 4 𝑐𝑚, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 
6,8 𝑐𝑚. Falta realizar uma perfuração de base circular (𝐶). O marceneiro não quer que as outras peças 
caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para 
isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma 
serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco 
exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: 
 
(I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm 
 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 , respectivamente. 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá 
escolher? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
 
Sua específica é exatas e quer continuar treinando esse conteúdo? 
Clique aqui para fazer uma lista extra de exercícios 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-inscricao-e-circunscricao-de-poligonos
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
1. O diâmetro da circunferência é 12cm. 
Em um triângulo inscrito, vale que 𝑎3 =
𝑟
2
. Assim, 3 =
𝑟
2
→ 𝑟 = 6. Portanto, o diâmetro da circunferência é 
12 𝑐𝑚. 
 
2. O lado do hexágono é 16 cm. 
O apótema de um triângulo equilátero inscrito é tal que 𝑎3 =
𝑟
2
→ 8 =
𝑟
2
→ 𝑟 = 16 𝑐𝑚. O lado do hexágono 
regular inscrito a essa mesma circunferência mede 𝐿6 = 𝑟 → 𝐿6 = 16 𝑐𝑚. 
 
3. A área do hexágono é 18√3 𝑐𝑚². 
Se temos um hexágono inscrito, vale que 𝑎6 =
𝑟√3
2
→ 3 =
𝑟√3
2
→ 6 = 𝑟√3 →
6
√3
= 𝑟 → 𝑟 = 2√3 𝑐𝑚. 
No hexágono regular, o raio possui a mesma medida do lado. Assim, 
𝐴ℎ𝑒𝑥. =
3𝐿²√3
2
=
3 ∙ (2√3)
2
∙ √3
2
= 18√3 𝑐𝑚² 
 
4. O preço da pizza é 𝑅$36,00. 
Se a pizza está dentro da caixa, temos que a caixa é um hexágono circunscrito. Logo, 
𝐿6 =
2𝑟√3
3
→ 2√3 =
2𝑟√3
3
→ 𝑟 = 3 𝑑𝑚 
Logo, o preço da pizza é 3 ∙ 12 = 36 reais. 
 
5. O perímetro é 54 cm. 
Se o perímetro do hexágono é 18√3. Logo, cada lado mede 
18√3
6
= 3√3 𝑐𝑚. 
No caso de um hexágono inscrito, vale que 𝐿6 = 𝑟. Assim, o raio da circunferência é 3√3 𝑐𝑚. O lado do 
triângulo circunscrito é tal que 𝐿3 = 2√3𝑟 . Dessa forma, 𝐿3 = 2√3 ∙ 3√3 = 18 𝑐𝑚 e o perímetro do 
triangulo é 3 ∙ 18 = 54 𝑐𝑚. 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. D 
Raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero: 𝑅 =
𝐿√3
3
 
Raio da circunferência inscrita a um triângulo equilátero: 𝑅' =
𝐿√3
6
 
Portanto, 
𝑅
𝑅'
= 2. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
 
2. D 
10𝜋√2 𝑐𝑚 
𝑑 = 𝑙√2 → 𝑙√2 = 20 → 𝑙 = 10√2 𝑐𝑚 
𝑅 = 
𝑙
2
= 5√2 
𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2𝜋. 5√2 = 10𝜋√2 𝑐𝑚 
 
3. E 
Calculando: 
1
1
1 1
2
2
1 2
2
1 1
3
apótema a
2
3 31
2 2 4
3
S 3 34
S 4 16

 =
 
=  =
 
   
 = = =     
 
 
 
 
4. B 
Triângulo equilátero inscrito na circunferência: 𝑙3 = 𝑟√3 
Para 𝑙3 = 3, temos: 𝑙3 = 𝑟√3 → 3 = 𝑟√3 → 𝑟 =
3
√3
→ 𝑟 = √3 
O diâmetro vale: 𝑑 = 2𝑟 → 𝑑 = 2√3 
Como o lado do hexágono mede 1 𝑐𝑚, a soma será 2√3 + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A 
É importante reparar que o apótema do triângulo menor mede 0,5 𝑐𝑚 a menos do que o do triângulo maior. 
Então, calculando o apótema do triângulo maior: 
𝑎𝑝 =
𝑙 ∙ √3
6
 → 𝑎𝑝 =
8√3 ∙ √3
6
4 
 
Sabendo que 𝑎′𝑝 = 𝑎𝑝 − 0,5, temos 𝑎′𝑝 = 4 − 0,5 = 3,5 𝑐𝑚. 
 
6. E 
Área do círculo = 𝜋𝑅2 → 𝜋𝑅2 = 25𝜋 → 𝑅2 = 25 → 𝑅 = 5 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
Como 𝑙 = 𝑅, 𝑙 = 5 𝑐𝑚 
2𝑝 = 5 ∙ 6 = 30 𝑐𝑚 
 
7. B 
Observe a figura: 
 
Como o hexágono é regular, 𝐶𝑄𝐷 e 𝐸𝑄𝐷 são triân gulos equiláteros de lado 1 𝑑𝑚 e, portanto, 
𝐶𝐸 = 2 ∙
1 ∙ √3
2
= √3 
Assim, o perímetro do polígono 𝐴𝑄𝐶𝐸𝐹 é 4 ∙ 1 + √3 = 4 + √3 
 
8. A 
O raio 𝑟 do circuito circunscrito a um triângulo equilátero de lado 30 𝑐𝑚 é dado por: 
𝑟 =
30
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛60°
=
30
√3
≅ 17,6 𝑐𝑚 
 
Portanto, dentre os tampos disponíveis, o proprietário deverá escolher o de raio a 18 𝑐𝑚. 
 
9. D 
Seja 𝑅 o raio da circunferência, então: 
 
 
10. B 
Usando as aproximações fornecidas, concluímos que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a 
𝑇 medem, respectivamente, 4 𝑐𝑚 e 8 𝑐𝑚 . Em consequência, os exemplares 𝐼 e 𝑉 não satisfazem as 
condições, pois 𝑇 cabe em 𝑉 e 𝐼 cabe em 𝑇 . Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras concluímos 
facilmente que a diagonal de 𝑅 mede 5 𝑐𝑚. Em que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a 𝑅 
medem, respectivamnete, 3 𝑐𝑚 e 5 𝑐𝑚 . Portanto, os exemplares 𝐼𝐼𝐼 e 𝐼𝑉 também não satisfazem as 
condições restanto apenas o exemplar 𝐼𝐼.