turmadefevereiro-matemática2-Cônicas_hipérbole-23-07-2021-

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Matemática 
Cônicas: hipérbole 
Objetivos 
Definir características de uma hipérbole e descrevê-la por meio de uma equação. Além disso, distinguir os 
elementos e propriedades existentes nas hipérboles. 
Se liga 
Para esta aula, é importante conhecer o plano cartesiano e saber sobre geometria analítica (caso não seja 
direcionado, pesquise por "Plano Cartesiano" e “Noções de geometria analítica: paralelismo, 
perpendicularidade e distância de ponto à reta”, respectivamente, na biblioteca). 
Curiosidade 
Não é só no português que existe hipérbole, viu? Na matemática, a hipérbole é um tipo de seção 
cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através 
das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte. Ela também está 
presente no cotidiano: por conta da sua propriedade refletora, as hipérboles são usadas em telescópios. 
Teoria 
 
Hipérbole 
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x, y) de um plano, tal que a diferença (em módulo) de suas 
distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < 2c), com F1F2 = 2c. 
 
Elementos de uma hipérbole 
 
 
https://descomplica.com.br/cursos/todas-as-carreiras-semiextensivo-completo-2020-b/aulas/plano-cartesiano/videos/o-que-e-plano-cartesiano/
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2018/aulas/nocoes-de-geometria-analitica-paralelismo-perpendicularidade-e-distancia-de-ponto-a-reta/videos/introducao-a-geometria-analitica/
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cone
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
 
 
 
 
 
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Matemática 
Sejam: 
• F1, F2: focos. A distância entre os focos é igual a 2c, denomina-se distância focal; 
• O: centro da hipérbole. É o ponto médio do segmento F1F2; 
• Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 e cujo comprimento é 2ª; 
• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. 
 
Eixo de simetria coincide com o eixo x 
 
 
 
Sejam: 
• P(x, y) um ponto genérico da hipérbole; 
• F1(–c, 0); 
• F2(c, 0). 
 
Por definição: 
 
|d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a 
 
|√(x + c)2 + (y − 0)2 − √(x + c)2 + (y − 0)2| = 2a 
 
x2
a2
−
y2
b2
= 1 
 
 
Considerando o centro O(x0, y0): 
 
(x − x0)
2
a2
−
(y − y0)
2
b2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Eixo de simetria coincide com o eixo y 
 
 
 
O posicionamento da hipérbole no sistema cartesiano fornece: 
• F1(– c, 0); 
• F2(c, 0). 
 
De forma análoga, demonstra-se que, para um ponto P(x, y) pertencente à elipse, tem-se a equação: 
 
y2
a2
−
x2
b2
= 1 
 
Considerando o centro O(x0, y0): 
 
(y − y0)
2
a2
−
(x − x0)
2
b2
= 1 
 
Excentricidade da hipérbole 
A excentricidade da hipérbole é o quociente 
c
a
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Determine a equação reduzida da hipérbole 9y2 − 16x2 − 144y − 224x − 352 = 0. 
a) 
(y−8)2
16
−
(x+7)2
9
= 1. 
b) 
(y−8)2
4
−
(x−7)2
9
= 1. 
c) 
(x−8)2
16
−
(y−7)2
9
= 1. 
d) 
(y−8)2
16
−
(x−7)2
9
= 1. 
 
 
2. Identifique o valor de a em 
(y−4)2
16
−
(x+8)2
9
= 1. 
 
 
3. O centro da hipérbole de equação 
(x − 4)2
16
−
(y + 8)2
9
= 1 
é: 
a) (2, 5); 
b) (4, –8); 
c) (–8, 4); 
d) (5, 2). 
 
 
4. As coordenadas dos focos da hipérbole 
(x−1)2
7
−
(y−2)2
2
= 1 são: 
a) (–2,2) e (4,2); 
b) (–4,2) e (4,2); 
c) (–1,2) e (2,2); 
d) (2, –2) e (2,4). 
 
 
5. A distância focal da hipérbole y
2
36
−
x2
28
= 1 é: 
a) 12; 
b) 36; 
c) 14; 
d) 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
 
 
1. O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade v de contração de 
um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a)(v + b) = K, com a, b e K 
constantes. Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que 
recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma: 
Tipo de curva 
Semirreta oblíqua 
Semirreta horizontal 
Ramo de parábola 
Arco de circunferência 
Ramo de hipérbole 
O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com 
sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p ∙ v). Admita que 
K > 0. O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do 
tipo 
a) semirreta oblíqua. 
b) semirreta horizontal. 
c) ramo de parábola. 
d) arco de circunferência. 
e) ramo de hipérbole. 
 
 
2. A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x2 − y2 = 36x + 8y − 11 é dada por 
a) duas retas concorrentes. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma parábola. 
e) uma hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
3. As equações x2 − 9y2 − 6x − 18y − 9 = 0, x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 e − 4x − 4y + 8 = 0 representam, 
respectivamente, uma: 
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola; 
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta; 
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola; 
d) elipse, uma circunferência e uma parábola; 
e) elipse, uma circunferência e uma reta. 
 
 
 
 
4. Qual é a equação da hipérbole, tal que os vértices do eixo real sejam A1(–2,0) e A2(2, 0) e a hipérbole 
seja equilátera? 
a) 
x²
4
−
y²
4
= 1. 
b) 
x²
4
−
y²
1
= 1. 
c) 
x²
1
−
y²
4
= 1. 
d) 
y²
4
−
x²
4
= 1. 
e) 
x²
2
−
y²
2
= 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
5. A catedral de Brasília foi projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer. Sua estrutura se destaca pela beleza 
e pela forma, um hiperboloide de rotação. A figura abaixo destaca os principais elementos da hipérbole 
associada à forma da catedral, e é possível perceber que ela tem como base um círculo de diâmetro d. 
 
Suponha que a equação dessa hipérbole seja 
x²
225
−
y²
400
= 1 e que a medida do diâmetro tenha 10 metros 
a mais que a distância focal. Dessa maneira, o valor de d, em metros, é 
a) 40. 
b) 50. 
c) 60. 
d) 70. 
e) 80. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
6. Considere a hipérbole de equação y = 1
x
 mostrada na figura abaixo: 
 
Quais são os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de equação y – 2 = x + 2? 
a) (−2 + √5, 2 + √5) e (−2 − √5, 2 − √5). 
b) (−2 + 2√5, 2 + 2√5) e (−2 − √5, 2 − √5). 
c) (−2 + √5, 2 + √5) e (−2 − 2√5, 2 − 2√5). 
d) (−2 + 2√5, 2 + 2√5)e (−2 − 2√5, 2 − 2√5). 
e) (−√5 + 2, −√5 − 2) e (√5 + 2, √5 − 2). 
 
 
7. Um aluno desenhou, em um plano cartesiano, duas cônicas (elipse ou hipérbole): uma de 
excentricidade 0,8 e outra de excentricidade 2,4, tendo ambas como foco o par de pontos (–12, 0) e 
(12, 0) . Qual alternativa está ERRADA? 
a) A cônica de excentricidade 0,8 é uma hipérbole. 
b) A cônica de excentricidade 2,4 passa pelo ponto (5, 0). 
c) As cônicas descritas possuem quatro pontos em comum. 
d) 
x²
225
+
y²
81
 = 1 é uma equação para a cônica de excentricidade 0,8. 
e) A cônica de excentricidade 0,8 passa pelo ponto (0, 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
8. Qual é a equação de uma hipérbole de focos F1(−10, 0), F2(10, 0) e excentricidade 
5
3
 ? 
a) 16x2 − 9y2 = 576. 
b) 11x2 − 9y2 = 1. 
c) 16x2 − 7y2 = 576. 
d) 11x2 − 7y2 = 1. 
e) 9x2 − 7y2 = 576. 
 
 
9. Sabendo que 9y2 − 16x2 − 144y − 224x − 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule a distância 
focal. 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
 
 
10. Os vértices imaginários da hipérbole de equação abaixo são: 
(x − 1)²
4
− (y − 1)² = 1 
a) (2, 1) e (2, 3); 
b) (2, 0) e (2, 2); 
c) (2, 0) e (1, 2); 
d) (1, 1) e (1, 2); 
e) (1, 0) e (1, 2); 
 
 
 
 
 
 
 
Sua específica é exatas e quer continuar treinando esse conteúdo? 
Clique aqui para fazer uma listaextra de exercícios. 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-conicas-hiperbole
 
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. A 
Temos 9y2 − 16x2 − 144y − 224x − 352 = 0. Organizando, obtemos: 
9y2 − 144y − 16x2 − 224x − 352 = 0 
9(y2 − 16y) − 16(x2 + 14x) = 352 
 
Somando e subtraindo 49 e 64, temos: 
9(y2 − 16y + 64 − 64) − 16(x2 + 14x + 49 − 49) = 352 
9(y − 8)2 − 576 − 16(x + 7)2 + 784 = 352 
9(y − 8)2 − 16(x + 7)2 = 352 − 208 
9(y − 8)2 − 16(x + 7)2 = 144 
 
Dividindo todo mundo por 144, temos: 
9(y − 8)2
144
−
16(x + 7)2
144
=
144
144
 
 
(y − 8)2
16
−
(x + 7)2
9
= 1 
 
2. Temos que a equação da hipérbole dada é do tipo 
(y−y0)
2
a2
−
(x−x0)
2
b2
= 1 
 
Portanto em: 
(y − 4)2
16
−
(x + 8)2
9
= 1 
 
temos que o valor de a será: 
(y − 4)2
42
−
(x + 8)2
32
= 1 
 
a = 4 
 
3. B 
Em 
(x−4)2
16
−
(y+8)2
9
= 1 
 
O centro será (4, −8) 
 
4. A 
O eixo real da hipérbole é horizontal, portanto o centro da hipérbole é (1, 2). As coordenadas do foco são 
dadas por F1(xc − c, yc) e F2(xc + c, yc). Também temos que a
2 = 7 e b2 = 2; então, pelo teorema de 
Pitágoras, temos c2 = b2 + a2 → c2 = 7 + 2 → c2 = 9 → c = 3. Portanto F1(1 − 3, 2) e F2(1 + 3, 2) →
F1(−2, 2) e F2(4, 2). 
 
5. D 
Temos que, em 
y2
36
−
x2
28
= 1, a2 = 36 e b2 = 28, então c2 = a2 + b2 → c2 = 36 + 28 → c2 = 64 → c = 8 
 
Portanto, a distância focal será 2c = 2 ∙ 8 = 16 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
1. E 
Como v é a velocidade de contração de músculo ao ser submetido a um peso p, temos v ≥ 0 e p ≥ 0. 
Assim, da equação (p + a) ∙ (v + b) = K, com a, b e K constantes, vem: 
 
pv + pb + av + ab + ab = K ⇒ v ∙ (p + a) = K − pb − ab ⇒ v ∙ (p + a) = K − b ∙ (p + a) 
 
 v = 
K
p + a
 – b, que é um ramo de hipérbole. 
 
2. E 
Completando os quadrados, obtemos 
9x2 − y2 = 36x + 8y − 11 
9x2 − y2 − 36x − 8y = −11 
9(x2 − 4x) − (y2 + 8y) = −11 
 
Somando e subtraindo 4 e 16, para completar quadrados, temos 
9(x2 − 4x + 4 − 4) − (y2 + 8y + 16 − 16) = −11 
9[(x − 2)2 − 4] − [(y + 4)2 − 16] = −11 
9(x − 2)2 − 36 − (y + 4)2 + 16 = −11 
9(x − 2)2 − (y + 4)2 = −11 − 16 + 36 
9(x − 2)2 − (y + 4)2 = 9 
(x − 2)2
12
−
(y + 4)2
32
= 1 
 
Que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x. 
 
3. B 
1) A primeira equação é de uma hipérbole, pois o termo de y² possui sinal negativo. 
x2 − 9y2 − 6x − 18y − 9 = 0 
x2 − 6x − 9(y2 + 2y + 1) = 0 
 
Somando e subtraindo 9, temos: 
x2 − 6x + 9 − 9 − 9(y2 + 2y + 1) = 0 
(x − 3)2 − 9(x + 1)2 = 9 
(x − 3)2
32
−
(x + 1)2
12
= 1 
 
2) A segunda equação é de uma circunferência, já que os coeficientes dos termos x² e y² é o mesmo. 
x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 
x2 − 2x + 1 + y2 + 4y = 0 
 
Somando e subtraindo 4, temos: 
(x − 1)2 + y2 + 4y + 4 − 4 = 0 
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 4 
(x − 1)2
22
+
(y + 2)2
22
= 1 
 
3) A terceira equação é uma reta, uma vez que não apresenta termos ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
4. A 
Sabemos que a distância entre os vértices equivale a 2a. Assim, temos: 
{
2a = 2 − (−2) = 4 ⇒ a = 2
b = a = 2
⇒
x²
4
−
y²
4
= 1 
 
Temos que a = b, pois a hipérbole é equilátera. 
 
5. C 
Desde que c2 = 225 + 400, vem c = 25. Logo temos d = 2 ∙ 25 + 10 = 60 m. 
 
6. A 
{
y =
1
x
y − 2 = x + 2 → y = x + 4
 
 
Temos: 
x + 4 =
1
x
 
x2 + 4x = 1 
x2 + 4x − 1 = 0 
 
Por Bhaskara, achamos as raízes: 
x = −2 + √5 ou x = −2 − √5 
 
Para x = −2 + √5, temos: 
y =
1
−2 + √5
 
 
Racionalizando, temos: 
y =
1
−2 + √5
∙
(−2 − √5)
(−2 − √5)
= 2 + √5 
 
Para x = −2 − √5, temos: 
y =
1
−2 − √5
 
 
Racionalizando, temos: 
y =
1
−2 − √5
∙
(−2 + √5)
(−2 + √5)
= 2 − √5 
 
Portanto os pontos de intersecção são: 
(−2 + √5, 2 + √5) e (−2 − √5, 2 − √5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
7. A 
 
 
Elipse (excentricidade 0 < e < 1) 
12
a
= 0,8 → a = 15 (semieixo maior) e b (semieixo menor) = 9 
 
12
a
= 2,4 → a = 5 (semieixo real) 
 
a) Falsa. A elipse é que possui excentricidade entre 0 e 1. 
b) Verdadeira. (5, 0) é um dos vértices da elipse. 
c) Verdadeira. Observar na figura. 
d) Verdadeira, pois 
x2
152
+
y2
92
= 1 → 
x2
225
+
y2
81
= 1. 
e) Verdadeira, pois o semieixo menor da elipse mede 9. 
 
8. A 
Temos que c = 10, então: 
5
3
=
10
a
 → a = 6 
 
Logo: 
102 = 62 + b2 → b = 8 
 
Portanto a equação da hipérbole será dada por: 
x2
62
−
y2
82
= 1 → 16x2 − 9y2 = 576 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
9. A 
Achando a equação geral de 9y2 − 16x2 − 144y − 224x − 352 = 0, temos 
9y2 − 144y − 16x2 − 224x − 352 = 0 
9(y2 − 16y) − 16(x2 + 14x) = 352 
 
Somando e subtraindo 49 e 64, temos 
9(y2 − 16y + 64 − 64) − 16(x2 + 14x + 49 − 49) = 352 
9(y − 8)2 − 576 − 16(x + 7)2 + 784 = 352 
9(y − 8)2 − 16(x + 7)2 = 352 − 208 
9(y − 8)2 − 16(x + 7)2 = 144 
 
Dividindo todo mundo por 144, temos 
9(y − 8)2
144
−
16(x + 7)2
144
=
144
144
 
 
(y − 8)2
16
−
(x + 7)2
9
= 1 
 
Como a2 = 16 e b2 = 9, temos c2 = a2 + b2 → c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5 
 
A distância focal é calculada por 2c = 2 ∙ 5 = 10 
 
10. E 
O primeiro passo é identificar as informações contidas na equação da hipérbole: 
O centro é (1, 1); 
a = 2 e b = 1. 
 
Com as informações acima, podemos desenhar a seguinte hipérbole: 
 
 
Nela, é possível observar que os eixos imaginários B1 e B2 são, respectivamente, (1, 2) e (1, 0).