turmadefevereiro-matemática2-Polinômios_operações com polinômios-10-09-2021-

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Matemática 
Polinômios: operações com polinômios 
Objetivos 
Aprender os métodos de operações com polinômios. O foco desta aula deve ser na divisão pelo método da 
chave. 
Se liga 
Para entender melhor esta aula, é importante que você tenha visto a aula de introdução à polinômios. Clique 
aqui para assistir (caso não seja direcionado, pesquise por “Polinômios: Definição, grau, identidade” na 
biblioteca). 
Curiosidade 
Você sabia que a divisão de polinômios é muito usada para diminuir o grau de uma equação? Nos ajuda a 
simplificar e pode ser feita de mais de uma forma, entretanto o método mais comum é o método da chave, e 
veremos ele nesta aula! 
Teoria 
 
Definição 
Expressão polinomial ou polinômio na variável x é toda expressão da forma: 
 
anx
n + an−1x
n−1 + an−2x
n−2+. . . +a2x
2 + a1x
1 + a0 
 
• an, an−1, ..., a2, a1 e a0 são números denominados coeficientes. 
• n é um número inteiro positivo ou nulo. 
• O maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o grau da expressão. 
• As parcelas do polinômio são chamadas de monômios. 
 
 
Operações 
Adição e subtração 
Quando dois polinômios apresentam monômios semelhantes, podemos adicioná-los ou subtraí-los. Veja o 
exemplo: A(x) = 3x4 + 2x2. 
 
Sendo A(x) = 3x4 + 2x2, B(x) = −x4 + 2x3 e C(x) = 2x3 + 4x2, vamos calcular A(x) + B(x) − C(x): 
 
 
https://descomplica.com.br/cursos/descomplica-top-turma-de-fevereiro-2021/aulas/definicao-grau-identidade/videos/definicao-de-polinomio/
https://descomplica.com.br/cursos/descomplica-top-turma-de-fevereiro-2021/aulas/definicao-grau-identidade/videos/definicao-de-polinomio/
 
 
 
 
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Matemática 
A(x) + B(x) − C(x) = (3x4 + 2x2) + (−x4 + 2x3) − (2x3 + 4x2) = 
 
A(x) + B(x) − C(x) = 3x4 + 2x2 − x4 + 2x3 − 2x3 − 4x2 = 2x4 − 2x2 
 
Multiplicação 
Multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio, usando a distributiva. 
Veja o exemplo: 
 
Sendo A(x) = (2x − 3) e B(x) = (3x2 + 4x − 5), vamos calcular A(x) × B(x): 
 
A(x) × B(x) = (2x − 3)(3x2 + 4x − 5) = 6x3 + 8x2 − 10x − 9x2 − 12x + 15 
 
A(x) × B(x) = 6x3 − x2 − 22x + 15 
 
Divisão 
Dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), sendo o grau de P(x) maior do que o de D(x), significa encontrar 
o quociente Q(x) e o resto R(x), tais que: P(x) = D(x) ∙ Q(x) + R(x). 
• Grau do quociente: Gr(Q) = Gr(P) − Gr(D). 
• Grau do resto: Gr(R) < Gr(D). 
 
Agora, vamos aprender algumas técnicas para dividir polinômios! 
 
Método da chave 
Este método consiste em literalmente montar a conta de divisão na chave. Veja o exemplo: 
 
Sejam f(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 8 e g(x) = x2 + 2x − 4. Iremos dividir f(x) por g(x). Primeiro, dispomos os 
polinômios na chave: 
 
2x3 − 4x2 + 3x − 8 x2 + 2x − 4 
 
O objetivo é encontrar qual termo multiplicado por x2 irá resultar em 2x3. No caso, o termo que faz isso é 2x, 
pois 
2x3
x2
= 2x. Ele é colocado no espaço do quociente: 
 
2x3 − 4x2 + 3x − 8 x2 + 2x − 4 
 2x 
 
Agora, distribuímos o 2x por todo o polinômio divisor, trocando o sinal de cada termo (para que sejam 
subtraídos). O resultado é somado ao polinômio dividendo: 
 
2x3 − 4x2 + 3x − 8 x2 + 2x − 4 
−2x3 − 4x2 + 8x 2x 
−8x2 + 11x − 8 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Agora, o objetivo é encontrar um termo que multiplica x2 e resulta em −8x2. Neste caso, o termo é −8 (não é 
necessário colocar x, pois o grau já é ele mesmo). Ele é colocado ao lado do 2x, que já estava no quociente: 
 
2x3 − 4x2 + 3x − 8 x2 + 2x − 4 
−2x3 − 4x2 + 8x 2x − 8 
−8x2 + 11x − 8 
 
Agora, distribuímos −8 encontrado pelo divisor. Os resultados novamente são colocados abaixo do 
dividendo, com os sinais trocados (para indicar que serão subtraídos): 
 
2x3 − 4x2 + 3x − 8 x2 + 2x − 4 
−2x3 − 4x2 + 8x 2x − 8 
−8x2 + 11x − 8 
+8x2 + 16x + 32 
27x + 16 
 
Agora, repare que o resto da divisão (27x + 16) possui grau 1 e o divisor possui grau 2. Quando o resto possui 
grau menor do que o divisor, a divisão está encerrada. Assim, o quociente é 2x − 8 e o resto é 27x + 16. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Subtraia x2 + 12x − 9 por −8x2 + 7x − 1. 
 
 
2. Dados os polinômios P(x) = x2 + 3x − 2 e Q(x) = x2 − 5; ou seja, M(x) = P(x) · Q(x). Então M(3) é igual 
a: 
a) 65; 
b) 74; 
c) 58; 
d) 64; 
e) 90. 
 
 
3. Dados P(x) = x2 − x + 6 e D(x) = x − 3, e sendo Q(x) = P(x) ÷ D(x), então o valor de Q(−2) é: 
a) 1; 
b) 2; 
c) 0; 
d) −1; 
e) −2. 
 
 
4. O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica (x2 − 1)3(x2 + x + 2)2 é: 
a) 4; 
b) −4; 
c) 8; 
d) −8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser construída uma calçada revestida de pedra. As medidas 
estão em metros. 
 
Escreva, na forma reduzida, um polinômio que expresse a área ocupada pela calçada. 
a) 4x2 − 28x. 
b) x2 + 28x. 
c) 4x2 + x. 
d) x2 − 28x. 
e) 4x2 + 28x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
 
 
1. Se A(x) = x2 − x + 1, B(x) = (x − 2)2 e C(x) = −3x, calcule A(x) + B(x) ⋅ C(x). 
a) −3x3 + 13x2 − 13x + 1. 
b) 3x3 + 13x2 + 13x + 1. 
c) −3x3 − 13x2 − 13x + 1. 
d) 3x3 + 13x2 + 13x − 1. 
e) −3x3 − 13x2 − 13x − 1. 
 
 
2. (ESPM, 2016) O quociente e o resto da divisão do polinômio x2 + x − 1 pelo binômio x + 3 são, 
respectivamente: 
a) x − 2 e 5; 
b) x + 2 e 6; 
c) x − 3 e 2; 
d) x + 1 e 0; 
e) x − 1 e −2. 
 
 
3. (EPCAR, 2017) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio x3 −
6x2 + 9x − 3 pelo polinômio x2 − 5x + 6, em que x pertence aos reais. 
O gráfico que representa a função real definida por P(x) = Q(x) + R(x) é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
4. (UECE, 2017) O resto da divisão de (264 + 1) por (232 + 1) é igual a: 
a) 1; 
b) 0; 
c) 4; 
d) 2. 
 
 
5. Se uma das raízes do polinômio P(x) = x4 − 8x2 + ax + b é 2, e P(1) = 9, então o valor de a5 − 4b é: 
a) −64; 
b) −28; 
c) 16; 
d) 24. 
 
 
6. (EsPCEx, 2014) O polinômio f(x) = x5 − x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x3 − 3x + 2, deixa resto 
r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(−1) é 
a) −10. 
b) −4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10. 
 
 
7. Assinale a alternativa correta: 
a) x4 = (x − 2)(x3 + 2x2 − 8) + 16; 
b) x4 = (x − 2)(x3 + 2x2 + 4x + 8) + 16; 
c) x4 = (x − 2)(x3 + 2x2 + 4x + 8) − 16; 
d) x4 = (x − 2)(x3 − 2x2 − 4) + 8; 
e) x4 = (x − 2)(−x3 + 2x2 − 4) + 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
8. (UFJF, 2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x − 4, tem como 
resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 − 17x2 + 4x? 
a) x3 + x2 + x. 
b) x3 + x2 − x. 
c) x3 + 3x2 + x. 
d) x3 + 3x2 + 2x. 
e) x3 + 3x2 − x. 
 
 
9. (UDESC, 2012) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 − x3 −
9x2 − 3x + 7 por g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a 
a) −
7
3
. 
b) 3. 
c) 
3
5
. 
d) 5. 
e) 
5
3
. 
 
 
10. (ACAFE, 2017) Seja p(x) um polinômio divisível por (x − 2). Se dividirmos o polinômio P(x) por (x2 +
2x), obteremos como quociente o polinômio (x2 − 2) e resto igual a R(x). Se R(3) = 6, então a soma de 
todos os coeficientes de P(x) é igual a: 
a) −38; 
b) −41; 
c) 91; 
d) 79. 
 
 
 
 
 
 
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Clique aqui para fazer uma lista extra de exercícios. 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-polinomios-operacoes-com-polinomios
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. (x2 + 12x − 9) − (−8x2 + 7x − 1) 
= x2 + 12x − 9 + 8x2 − 7x + 1 
= 9x2 + 5x − 8 
 
2. D 
Primeiro, calcularemos o produto entre P(x) e Q(x): 
M(x) = (x2 + 3x − 2)(x2 − 5) 
M(x) = x4 − 5x2 + 3x3 − 15x − 2x² + 10 
M(x) = x4 − 7x2 + 3x3 −15x + 10 
 
Agora, calcularemos M(3): 
M(3) = 34 − 7 ∙ (3)2 + 3 ∙ (3)3 − 15x + 10 
M(3) = 81 − 7 · 9 + 3 · 27 − 15 · 3 + 10 
M(3) = 81 − 63 + 81 − 45 + 10 
M(3) = 64 
 
3. C 
x2 − x + 6 x − 3 
−x + 3x x + 2 
2x + 6 
−2x + 6 
0 
 
Então Q(x) = x + 2 
 
Queremos Q(−2) = −2 + 2 = 0 
 
4. B 
Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir x = 0. Portanto o termo 
independente de (x2 − 1)3 ∙ (x2 + x + 2)2 será dado por: (02 − 1)3 ∙ (02 + 0 + 2)2 = −1 ∙ 4 = −4. 
 
5. E 
A(total) = (2x + 10) · (2x + 4) 
A(total) = 4x² + 8x + 20x + 40 
A(total) = 4x² + 28x + 40 
 
A(calçada) = A(total) − A(jardim) 
A(calçada) = 4x² + 28x + 40 − 40 
A(calçada) = 4x² + 28x 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. A 
B(x) = x2 − 4x + 4 
B(x) ∙ C(x) = −3x ∙ ( x2 − 4x + 4) = −3x3 + 12x2 − 12x 
A(x) + B(x) ∙ C(x) = x2 − x + 1 − 3x3 + 12x2 − 12x = −3x3 + 13x2 − 13x + 1 
 
 
 
 
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Matemática 
2. A 
Resolvendo a divisão, temos: 
x2 + x − 1 x + 3 
−x2 − 3x x − 2 
−2x − 1 
2x + 6 
5 
 
3. A 
Efetuando a divisão dos polinômios, temos: 
x3 − 6x2 + 9x − 3 x2 − 5x + 6 
−x3 + 5x2 − 6x x − 1 
−x2 + 3x − 3 
x2 − 5x + 6 
−2x + 3 
 
Portanto 
P(x) = x – 1 – 2x + 3 
P(x) = −x + 2 
 
Construindo o gráfico de P(x), temos: 
 
 
4. D 
Considerando que 232 = x, podemos escrever a divisão por meio de uma divisão de polinômios: 
(x2 + 1) por (x + 1) 
 
O resto R da divisão de x2 + 1 por (x + 1) é o valor numérico de x2 + 1 para x = −1 (teorema do resto), 
ou seja: 
R = (−1)2 + 1 = 2 
 
5. A 
Se P(2) = 0, então 24 − 8 ∙ 22 + a ∙ 2 + b = 0 ⟺ 2a + b = 16 
 
Ademais, sendo P(1) = 9, vem 14 + 8 ∙ 12 + a ∙ 1 + b = 9 ⟺ a + b = 16 
 
Resolvendo o sistema em x e y, obtemos a = 0 e b = 16. 
 
Portanto a resposta é a5 − 4b = 05 − 4 ∙ 16 = −64 
 
 
 
 
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Matemática 
 
6. A 
x5 − 0x4 − x3 + x2 + 0x + 1 x3 + 0x − 3x2 + 2 
−x5 + 0x4 + 3x3 − 2x2 x2 + 2 
+2x3 − x2 + 0x + 1 
−2x3 − 0x2 + 6x − 4 
−x2 + 6x − 3 
 
Portanto, r(x) = −x2 + 6x − 3 e r(−1) = −(−1)2 + 6(−1) − 3 = −10 
 
7. B 
Tomando convenientemente x = 2, é fácil ver que as únicas opções possíveis são as identidades dos 
itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x = − 2 para concluir que a identidade correta é a do item [B]. 
 
8. E 
Calculando: 
(3x3 + 2x2 + 5x − 4) ∙ (ax3 + bx2 + cx) 
= 3ax6 + 3bx5 + 3cx4 + 2ax5 + 2bx4 + 2cx3 + 5ax4 + 5bx3 + 5cx2 − 4ax3 − 4bx2 − 4cx 
= 3ax6 + (3b + 2a)x5 + (3c + 2b + 5b)x4 + (2c + 5b − 4a)x3 + (5c − 4b)x2 − 4cx 
= 3ax6 + (2a + 3b)x5 + (7b + 3c)x4 + (−4a + 5b + 2c)x2 + (−4b + 5c)x2 − 4cx 
 
Igualando aos coeficientes de 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 − 17x2 + 4x, temos: 
3a = 3 → a = 1 
−4c = 4 → c = −1 
2a + 3b = 11 → 2 + 3b = 11 → 3b = 9 → b = 3 
 
Logo o polinômio é x3 + 3x2 − x. 
 
9. D 
Dividindo f por g, obtemos: 
6x4 − x3 − 9x2 − 3x 
+ 7 
 2x2 + x + 1 
−6x4 − 3x3 − 3x2 3x2 − 2x − 5 
−4x3 − 12x2 − 3x
+ 7 
 
4x3 + 2x2 + 2x 
−10x2 − x + 7 
10x2 + 5x + 5 
4x + 12 
 
Portanto, como q(x) = 3x2 − 2x − 5 = 3 ∙ (x + 1) ∙ (x −
5
3
) e r(x) = 4x + 12 = 4 ∙ (x + 3), segue que o 
produto pedido é (−1) ∙
5
3
∙ (−3) = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
10. B 
Calculando: 
P(x) = (x2 + 2x) ∙ (x2 − 2) + R(x) 
R(x) = ax + b 
P(x) = (x2 + 2x) ∙ (x2 − 2) + ax + b 
P(2) = 0 
P(2) = (22 + 2 ∙ 2) ∙ (22 − 2) + 2a + b = 16 + 2a + b = 0 → 2a + b = −16 
R(3) = 6 
R(3) = 3a + b = 6 
 
{
2a + b = −16
3a + b = 6
→ ⟨
a = 22
b = −60
 
 
P(x) = (x2 + 2x) ∙ (x2 − 2) + 22x − 60 
P(x) = x4 + 2x3 − 2x2 + 18x − 60 
 
Soma dos coeficientes = 1 + 2 − 2 + 16 − 60 = −41.