Leitura 1 - Espaços Euclidianos

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
Centro de Ciências Exatas e Naturais - Ensino de Graduação
Funções de n Variáveis – Leitura 1
Prof. Alexsandro Belém – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
O espaço euclidiano n-dimensional
Seja n um número natural. O espaço euclidiano n-dimensional Rn é o produto cartesiano
de n parcelas iguais a R : Rn = R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
Dado um elemento x ∈ Rn, temos então uma lista x = (x1, . . . , xn) onde cada elemento
xi, i = 1, . . . , n é um número real. Para cada i = 1, . . . , n, o termo xi chama-se a i−ésima
coordenada de x. Se x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, tem-se x = y se, e somentre se,
x1 = y1, . . . , xn, ou seja, a igualdade em nesse novo conjunto Rn se reduz a uma igualde de
números reais. Claro que n = 1 implica que R1 = R é o conjunto de todos os números reais
e, nesse caso não, precisamos usar o expoente. Ademais,
R2 = {(x, y) |x, y ∈ R}
é o modelo numérico do plano cartesiano com o qual estamos acostumados, e
R3 = {(x, y, z) |x, y, z ∈ R}
é o espaço tri-dimensional no qual vivemos. Observe que nesses casos mais comuns utilizamos
(x, y) e (x, y, z), em vez de (x1, x2) e (x1, x2, x3) em R2 e R3, respectivamente.
Os elementos de Rn são chamados ora pontos, ora vetores. Essa segunda terminologia,
se aplica principalemente quando se considera Rn como um espaço veotrial, como faremos a
seguir.
Podemos tornar Rn um espaço vetorial sobre R quando definimos:
+ : Rn × Rn −→ Rn
(x, y) 7−→ x+ y
e
· : R× Rn −→ Rn
(α, x) 7−→ α · x
onde x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e α · x = αx = (αx1, . . . , αxn), com x = (x1, . . . , xn),
y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn e α ∈ R.
A operação + e · são chamadas adição e multiplicação por esacalar em Rn, repectivamente.
Os elementos x+ y e αx são chamados soma de x e y e produto de α por x, respectivamente.
Novamente, observe que a adição e a multiplicação por escala no novo conjunto Rn foram
definidas por meio de operações já conhecidas, a saber, a adição e a multiplicação de números
reais.
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É imediato verificar que Rn, com essas operações de adição e multiplicação por escalar, é
um espaço vetorial sobre R. (Exerćıcio!)
Por exemplo, o vetor nulo de Rn é 0 = (0, 0, . . . , 0), uma n−upla onde todas as coorde-
nadas são iguais ao número real 0. Não confunda o vetor nulo 0 ∈ Rn com o número real
0. Aqui, por abuso de notação, utilizamos o mesmo śımbolo para designar objetos distintos.
Dado x = (x1, . . . , xn), o oposto de x é −x = (−x1, . . . ,−xn).
Podemos ainda definir uma métrica em Rn. Uma maneira de medir distâncias. A forma
mais comum de fazer isso é através da noção de produto interno.
Sabemos da álgebra linear que um produto interno pode ser definido de uma maneira
bem mais geral em um espaço veotrial qualquer. No entanto, utilizaremos aqui o produto
interno usual (ou canônico) de Rn.
A cada par de vetores x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de Rn associamos um número
real
(x|y) = x1y1 = · · ·+ xnyn
chamado produto interno de x por y.
É imediato verificar que essa operação é bilinear, simétrica e positiva definida, isto é,
dados x, y, z ∈ Rn e α ∈ R:
• (x|x) ≥ 0 e (x|x) = 0 se, e somente se, x = 0;
• (x|y + z) = (x|y) + (y|z) e (αx|y) = α · (x|y);
• (x|y) = (y|x).
Munidos de um produto interno temos a ideia de norma. O número não-negativo
||x|| =
√
(x|x) (1)
chama-se a norma (ou comprimento) do vetor x. Se x = (x1, . . . , xn) então
||x|| =
√
x21 + · · ·+ x2n.
Por definição, temos ||x||2 = (x|x). Quando ||x|| = 1, dizemos que x é um vetor unitário.
É imediato verificar que a norma goza das seguintes propriedades
• ||x|| ≥ 0 e ||x|| = 0 se, e somente se, x = 0;
• ||α · x|| = |α| · ||x||;
• ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||.
sejam quais forem x, y ∈ Rn e α ∈ R.
Mais geralmente, qualquer função Rn 7→ R (ou E 7→ R, onde E é um espaço vetorial
qualquer) que satisfaça as três propriedades acima é chamada uma norma. Espaços vetorias
que possuem uma norma são chamados espaços vetoriais normados e são estudados em uma
área da matemática conhecida como Análise Funcional.
Em espaços com produto interno, a norma definida em (1) é chamada norma induzida
pelo produto interno.
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Se x = (x1, . . . , xn), então ||x|| =
√
x21 + · · ·+ x2n é chamada norma euclidiana. Outros
exemplos de norma em Rn são:
• ||x||M = max.{|x|1, . . . , |x|n} (norma do máximo);
• ||x||S = |x|1 + · · ·+ |x|n (norma da soma).
Uma norma em Rn (ou em espaços vetoriais mais gerais) da origem à uma distância
d(x, y) entre dois pontos x, y ∈ Rn. Pomos
d(x, y) = ||x− y|| =
√
(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2.
As três condições que definem uma norma implicam que a função d : Rn → R tem as
propriedades caracteŕısticas de uma distância, a saber:
• d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y;
• d(x, y) = d(y, x);
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desgigualde triangular).
Observe que a igualdade ||α · x|| = |α|||x|| com α = −1 dá || − x|| = ||x||, logo ||x− y|| =
||y − x||. Além disso, ||x− z|| = ||x− y + y − z||, portanto d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Referências Bibliográficas
[1] Bartle, R. G. – The Elements of Real Analysis. New York, J. Wiley, 1964.
[2] Lima, E. L. – Análise Real - Funções de n Variáveis.vol. 2. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA,
2007.
[3] Lima, E. L. – Análise no Espaço Rn. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.
[4] Lima, E. L. – Álgebra Linear. 8 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
[5] Rudin, W. – Principles of Mathematical Analysis. 3 ed. McGraw-Hill Kogakusha, 1976.
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	Referências