Lista 1 - Espaços Euclidianos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RURAL DO SEMI-ÁRIDO
Centro de Ciências Exatas e Naturais - Ensino de Graduação
Funções de n Variáveis – Lista 1
Prof. Alexsandro Belém – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
§ O Espaço Rn
1. Dados x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn e um número real λ, definimos a soma
x+ y e o produto por escalar λx pondo
x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
λ · x = (λx1, . . . , λxn).
Prove que Rn munido dessas operações é um espaço vetorial de dimensão n sobre R.
2. Dados x, y ∈ Rn, com y 6= 0, prove que o vetor z = x−αy, onde α = (x|y)
||y||2
, é ortogonal
a y.
3. Dados x, y ∈ Rn quaisquer, prove que |(x|y)| ≤ ||x|| · ||y||. Valendo a igualdade se, e
somente se, um dos vetores x, y é múltiplo do outro. (Esse resultado é conhecido como
desigualdade de Couchy-Schwarz.)
4. Verifique as condições N1, N2 e N3 da definição de norma para as normas da soma e
do máximo.
5. Prove que para todo x ∈ Rn
||x||M ≤ ||x|| ≤ ||x||S ≤ n · ||x||M ,
onde || · ||, || · ||M , || · ||S denotam as normas euclidiana, do máximo e da soma respec-
tivamente.
(Por esse motivo, diz-se que essas três normas são equivalentes.)
6. Prove as propriedades d1, d2, e d3 da distância.
7. Seja E um espaço vetorial com produto interno e considere em E a norma induzida por
tal produto.
a) Prove a identidade do paralelogramo
||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), ∀ x, y ∈ E.
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(Isso quer dizer que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é
igual a soma dos dos quadrados dos seus quatro lados.)
b) Prove que a identidade do item anterior não é válida para as normas da soma e
do máximo.
c) Conclua que as normas da soma e do máximo não provêm de produto interno
algum em Rn.
8. Prove que dada uma norma || · || em Rn, para x, y ∈ Rn quaisquer tem-se
∣∣||x||−||y||∣∣ ≤
||x− y||.
9. Sejam x, y ∈ Rn. O segmento de reta de extremos x, y é o conjunto
[x, y] = {(1− t)x+ ty ; 0 ≤ t ≤ 1}.
Um subconjunto X ⊂ Rn diz-se convexo quando: x, y ∈ X ⇒ [x, y] ⊂ X.
Prove que toda bola em Rn (aberta ou fechada) é um conjunto convexo.
10. Analise os conjuntos a seguir no que diz respeito a conexidade
a) X = {(x, y) ∈ R2 ; y ≤ x2}.
b) X = {(x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y}.
11. Dado um conjunto convexoX ⊂ Rn e um número real r > 0, sejaB(X; r) =
⋃
x∈X
B(x; r).
Prove que B(X; r) é convexo.
12. Seja B[a; r] ⊂ Rn uma bola fechada de centro a e raio r. Prove que X = Rn − B[a; r]
é aberto.
13. Para qualquer subconjunto X ⊂ Rn, prove que int.X é um conjunto aberto.
14. Prove que uma bola fechada não é um conjunto aberto em Rn.
15. Prove que os abertos de Rn gozam da seguinte propriedade:
1. ∅ e Rn são abertos.
2. interseção de dois abertos é um aberto, mais geralmente interseção finita de abertos
é um aberto.
3. A =
⋃
λ∈L
Aλ, reunião de uma famı́lia qualquer (Aλ)λ∈L de abertos Aλ é um conjunto
aberto.
16. Seja c = (a, b) um ponto do plano R2 e seja r > 0 um número real. Esboce geometri-
camente a bola (aberta e fechada) de centro c e raio r segundo as normas euclidiana,
do máximo e da soma respecitivamente.
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§ Funções Reais de n Variáveis Reais.
1. Seja f : X ⊂ R2 → R uma função real. Dado p0 ∈ A ⊆ X, dizemos que f(p0) é o valor
máximo (resp. mı́nimo) de f em A se para todo p ∈ A
f(p) ≤ f(p0) (resp. f(p) ≥ f(p0)).
Diremos, então, que p0 é um ponto de máximo de f em A (resp. ponto de mı́nimo).
Seja f(x, y) = 2x + y e A o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + y2 =
1. Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores de máximo e
mı́nimo de f em A.
2. Seja f : X ⊂ R2 → R definida por f(x, y) = 2xy
2
x2 + y4
.
(a) Determine X, i.e. o domı́nio de f .
(b) Desenhe as curvas de ńıvel de f .
(c) Determine a imagem de f .
3. Verifique se as seguintes funções são homogêneas e em caso afirmativo, determine o
grau de homogeneidade.
1) f(x, y) =
xex/y
x2 + y2
3) f(x, y) = 2x+ y + 5
3) f(x, y) =
x3 + 2xy2
x3 − y3
4) f(x, y) =
√
x4 + y4.
4. Seja g : [0, 2π)→ R uma função dada. prove que existe uma única função f : R2 → R,
homogênea de grau λ 6= 0, tal que, para todo α ∈ [0, 2π], f(cos α, sinα) = g(α).
5. f : R2 → R homogênea e suponha que f(a, b) = 0 para todo (a, b) com a2 + b2 = 1.
Mostre que f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
6. Determine as curvas (ou superf́ıcies) de ńıvel das seguintes funções para os valores de
k correspondentes (quando k não for dado explicitamente, esboce algumas curvas (ou
superf́ıcies) de ńıvel).
1) f(x, y) = 6− 3x− 2y; k = −6, 0, 6, 12
2) g(x, y) =
√
9− x2 − y2, k = 0, 1, 2, 3 3) h(x, y) = 4x2 + y2 + 1
4) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; k = 0, 1, 4, 9. Esboce o gráfico das superf́ıcies Sk.
5) w = x+ 2y + 3z; k = 1, 2, 3. Esboce o gráfico das superf́ıcies Sk.
6) z =
y
x− 1
. Esboce o gráfico das Ck.
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7. Desenhar algumas curvas de ńıvel e esboçar o gráfico das seguintes funções
1) f(x, y) = 2x2 + 2y2 3) f(x, y) = 4x2 + y
3) z = x+ y + 1 4) f(x, y) = (x− y)2.
8. Duas curvas de ńıvel (resp. superf́ıcies de ńıvel) de uma função de duas (resp. três)
variáveis reais podem interceptar-se? Justifique.
9. Supondo que a função T : R2 → R definida por
T (x, y) = 30−
(
x2 +
1
4
y2 +
1
9
z2
)
representa a temperatura nos pontos da região delimitada pelo elipsóide
x2 +
1
4
y2 +
1
9
z2 = 1,
pergunta-se:
(a) Em que ponto a temperatura é a mais alta posśıvel?
(b) Se uma particula se afasta da origem, deslocando-se sobre o eixo positivo dos x,
sofrerá aumento ou diminuição da temperatura?
(c) Em que pontos a temperatura é a mais baixa posśıvel?
Obs: As curvas de ńıvel de uma função desse tipo (distribuição de temperatura)
são chamadas de isotermas (pontos de mesma temperatura). Em geral, a deno-
minação das curvas de ńıvel varia de acordo com o que a função f representa.
§ Aplicações Vetoriais - Parte 1.
1. Resolva os seguintes exerćıcios da seção 2.8, caṕıtulo 2 de [5]: 1 a 5, 9, 10 e 14.
§ Aplicações Vetoriais - Parte 2.
1. Resolva os seguintes exerćıcios da seção 2.14, caṕıtulo 2 de [5]: 1 a 7, 12 a 14, 20 e 22.
§ Comprimento de Arco.
1. Resolva os seguintes exerćıcios da seção 2.14, caṕıtulo 2 de [5]: 24 a 28.
Referências Bibliográficas
[1] Bartle, R. G. – The Elements of Real Analysis. New York, J. Wiley, 1964.
[2] Lima, E. L. – Análise Real - Funções de n Variáveis.vol. 2. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA,
2007.
[3] Lima, E. L. – Análise no Espaço Rn. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.
[4] Lima, E. L. – Álgebra Linear. 8 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
[5] Flamming, D. M. e Gonçalves, M. B. – Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais
Múltiplas, Integrais Curviĺıneas e de Superf́ıcie. 2 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2007.
[6] Guidorizzi, H. L. – Um Curso de Cálculo. vol. 2. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[7] Rudin, W. – Principles of Mathematical Analysis. 3 ed. McGraw-Hill Kogakusha, 1976.
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	Referências