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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS – CMPF 
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
LUCAS LEITE DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO: 
 
 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS 
TEOREMA DE GREEN NO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAU DOS FERROS – RN 
2019 
 
 
 
 
 
LUCAS LEITE DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO: 
 
 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS 
TEOREMA DE GREEN NO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à Universidade Federal Rural do 
Semi-Àrido – UFERSA, Centro Multidisciplinar de Pau dos 
Ferros – CMPF, como requisito parcial para a obtenção de 
créditos do Componente Curricular Introdução às funções 
de várias variáveis 2019.1. 
 
 
Prof. Raimundo Leirton Freitas Maia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAU DOS FERROS - RN 
2019
 
 
 
 
3 Introdução às funções de várias variáveis 
1. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
Na otimização matemática , o método dos multiplicadores de Lagrange é uma estratégia 
para encontrar os máximos e mínimos locais de uma função sujeita a restrições de 
igualdade (isto é, sujeita à condição de que uma ou mais equações sejam satisfeitas exatamente 
pelos valores escolhidos das variáveis ). A ideia básica é converter um problema restrito em 
uma forma tal que o teste derivativo de um problema irrestrito ainda possa ser aplicado. Uma 
vez que pontos estacionários foram identificados a partir das condições necessárias de primeira 
ordem, a definição da matriz Hessiana determina se esses pontos são máximos, mínimos 
ou pontos de sela . 
O teorema do multiplicador de Lagrange afirma aproximadamente que em qualquer ponto 
estacionário da função que também satisfaz as restrições de igualdade, o gradiente da função 
naquele ponto pode ser expresso como uma combinação linear dos gradientes das restrições 
naquele ponto, com os multiplicadores de Lagrange atuando como coeficientes. A relação entre 
o gradiente da função e os gradientes das restrições conduz naturalmente a uma reformulação 
do problema original, conhecida como a função Lagrangeana. 
A grande vantagem desse método é que ele permite que a otimização seja resolvida 
sem parametrização explícita em termos das restrições. Como resultado, o método dos 
multiplicadores de Lagrange é amplamente utilizado para resolver problemas desafiadores de 
otimização restrita. O método pode ser resumido da seguinte forma: para encontrar os pontos 
estacionários de uma função 𝑓 (𝑥) sujeito às restrições de igualdade 𝑔𝑖(𝑥) = 0, 𝑖 =
1,2, … , 𝑚, forma a função Lagrangeana ℒ(𝑥, 𝜆) = 𝑓(𝑥) − ∑ 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝑥)
𝑚
𝑖=1 e encontramos os 
pontos estacionários de ℒ considerada como uma função de 𝑥 e o multiplicador de lagrange 𝜆. 
1.1 MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Na análise matemática , os máximos e mínimos de uma função, conhecidos coletivamente 
como extrema (o plural de extremum ), são o maior e o menor valor da função, dentro de um 
dado intervalo (o local ou extrema relativa ) ou em todo o domínio de uma 
função (os extremos global ou absoluto ). Pierre de Fermat foi um dos primeiros matemáticos 
a propor uma técnica geral, a adequabilidade, para encontrar os máximos e mínimos de funções. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Constraint_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Constraint_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative_test
https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point
https://en.wikipedia.org/wiki/Definiteness_of_a_matrix
https://en.wikipedia.org/wiki/Bordered_Hessian
https://en.wikipedia.org/wiki/Saddle_point
https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point
https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination
https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient
https://en.wikipedia.org/wiki/Parameterization
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_a_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_a_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
https://en.wikipedia.org/wiki/Adequality
 
 
 
 
4 Introdução às funções de várias variáveis 
Conforme definido na conjuntos, o máximo e o mínimo de um conjunto são os maiores e 
os menores elementos do conjunto, respectivamente. Conjuntos infinitos ilimitados, como o 
conjunto de reais, não têm mínimo ou máximo. 
1.2 PONTO DE SELA 
Em matemática , um ponto de sela é um ponto na superfície do gráfico de uma função onde 
as inclinações (derivadas) em direções ortogonais são todas zero (um ponto crítico ), mas que 
não é um extremo local de a função. Um exemplo de um ponto de sela mostrado à direita é 
quando há um ponto crítico com um mínimo relativo ao longo de uma direção axial (entre picos) 
e em um máximo relativo ao longo do eixo de cruzamento. No entanto, um ponto de sela não 
precisa estar nesta forma. Por exemplo, a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦3 tem um ponto crítico 
em (0,0 ) que é um ponto de sela, pois não é um máximo relativo ou mínimo relativo, mas não 
tem um máximo relativo ou mínimo relativo no y-direção. 
O nome deriva do fato de que o exemplo prototípico em duas dimensões é 
uma superfície que se curva em uma direção e curva-se em uma direção diferente, semelhante 
a uma sela de montaria ou a uma passagem de montanha entre dois picos formando 
uma sela . Em termos de linhas de contorno, um ponto de sela em duas dimensões dá origem a 
um gráfico de contorno ou traço no qual o contorno correspondente ao valor do ponto de sela 
parece se cruzar. 
1.3 GRADIENTE 
No cálculo vetorial , o gradiente é uma generalização multi-variável da derivada. Enquanto 
a derivada ordinária de uma função de uma única variável é uma função com valor escalar , o 
gradiente de uma função de diversas variáveis é uma função com valor de 
vetor . Especificamente, o gradiente de uma função diferenciável 𝒇 de várias variáveis , em um 
ponto 𝑷 é o vetor cujos componentes são as derivadas parciais de 𝒇 a 𝑷. 
 Assim como a derivada de uma função de uma única variável representa 
a inclinação da tangente ao gráfico da função, se em um ponto 𝑷 o gradiente de uma função de 
várias variáveis não é o vetor zero, tem a direção de maior aumento da função em 𝑷 e 
sua magnitude é a taxa de aumento nessa direção. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_and_least_elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_and_least_elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Point_(geometry)
https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_of_a_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Slope
https://en.wikipedia.org/wiki/Critical_point_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Local_extremum
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimum
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima
https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Saddle
https://en.wikipedia.org/wiki/Mountain_pass
https://en.wikipedia.org/wiki/Saddle_(landform)
https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus
https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar-valued_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_of_several_variables
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(mathematics_and_physics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Slopehttps://en.wikipedia.org/wiki/Tangent
https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_of_a_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Magnitude_(mathematics)
 
 
 
 
5 Introdução às funções de várias variáveis 
A magnitude e a direção do vetor gradiente são independentes da representação 
coordenada particular. 
O jacobiano é a generalização do gradiente para funções com valor de vetor de diversas 
variáveis e mapas diferenciáveis entre espaços euclidianos ou, mais geralmente, variedades. 
Uma outra generalização para uma função entre espaços de Banach é o derivado de Fréchet . 
1.4 RESTRIÇÃO 
Em matemática, uma restrição é uma condição de um problema de otimização que a solução 
deve satisfazer. Existem vários tipos de restrições, principalmente restrições 
de igualdade, restrições de desigualdade e inteiros. O conjunto de soluções candidatas que 
satisfazem todas as restrições é chamado de viável. 
1.4.1 Restrição única 
Para o caso de apenas uma restrição e apenas duas variáveis de escolha (conforme 
exemplificado na Figura 1), considere o problema de otimização maximizar 𝑓 (𝑥, 𝑦) sujeito 
a 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 0. 
(Às vezes, uma constante aditiva é mostrada separadamente, em vez de ser incluída em g, caso 
em que a restrição é escrita g (x, y) = c, como na Figura 1.) Assumimos que 
tanto f como g têm derivadas parciais contínuas. Nós introduzimos uma nova variável (λ) 
chamado de multiplicador de Lagrange (ou multiplicador de Lagrange indeterminado) e 
estudar a função de Lagrange (ou de Lagrange ou expressão de Lagrange) definido pela 
 𝓛(𝒙, 𝒚, 𝝀) = 𝒇(𝒙, 𝒚) − 𝝀𝒈(𝒙, 𝒚), 
onde o termo λ pode ser adicionado ou subtraído. Se 𝑓 ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ) é um máximo 
de 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) para o problema original restrito, então existe λ 0 tal que ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝜆 0 ) é 
um ponto estacionário para a função Lagrange (pontos estacionários são aqueles pontos em que 
as primeiras derivadas parciais 𝓛 são zero). Além disso, deve ser assumido que o gradiente de 
g seja diferente de 0.No entanto, nem todos os pontos estacionários produzem uma solução do 
problema original, já que o método dos multiplicadores de Lagrange produz apenas 
uma condição necessária para otimalidade em problemas restritos. Existem também condições 
suficientes para um mínimo ou máximo , mas se uma solução candidata específica satisfizer as 
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_map
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Optimization_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Candidate_solution
https://en.wikipedia.org/wiki/Optimization_problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point
https://en.wikipedia.org/wiki/Necessary_condition
https://en.wikipedia.org/wiki/Bordered_Hessian
https://en.wikipedia.org/wiki/Candidate_solution
 
 
 
 
6 Introdução às funções de várias variáveis 
condições suficientes, só é garantido que essa solução seja a melhor localmente - que é, é melhor 
do que qualquer ponto próximo permitido. O ótimo global pode ser encontrado comparando os 
valores da função objetivo original nos pontos que satisfazem as condições necessárias e 
localmente suficientes. 
O método dos multiplicadores de Lagrange se baseia na intuição de que, no 
máximo, 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) não pode estar aumentando na direção de qualquer ponto vizinho que 
também tenha 𝑔 = 0 . Se fosse, poderíamos caminhar ao longo de g = 0 para subir, 
significando que o ponto de partida não era o máximo. 
Podemos visualizar contornos de f dados por 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑑 para vários valores de d , e o 
contorno de g dado por 𝑔 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑐 . 
1.4.2 Múltiplas restrições 
O método dos multiplicadores de Lagrange pode ser estendido para resolver problemas com 
múltiplas restrições usando um argumento similar. Considere um assunto paraboloide para duas 
restrições de linha que se cruzam em um único ponto. Como a única solução viável, este ponto 
é obviamente um extremo restrito. No entanto, o nível de 𝑓 claramente não é paralelo a qualquer 
restrição no ponto de interseção ; em vez disso, é uma combinação linear dos gradientes das 
duas restrições. No caso de múltiplas restrições, será o que procuramos em geral: o método de 
Lagrange busca pontos não nos quais o gradiente de 𝑓 é múltiplo do gradiente de qualquer 
restrição única, necessariamente, mas no qual é uma combinação linear de todos os gradientes 
das restrições. 
Concretamente, suponha que tenhamos 𝑴 restrições e estão caminhando ao longo do 
conjunto de pontos satisfatórios 𝑔𝑖(𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑴 , cada ponto 𝑥 no contorno de uma 
determinada função de restrição 𝒈𝒊 tem um espaço de direções permissíveis: o espaço de vetores 
perpendiculares ∇𝒈𝒊(𝒙). O conjunto de direções que são permitidas por todas as restrições é, 
portanto, o espaço de direções perpendiculares a todos os gradientes das restrições. Denote esse 
espaço de movimentos permitidos por 𝑨 e denotar o intervalo de gradientes das restrições por 𝑺. 
Então 𝐴 = 𝑆┴, o espaço de vetores perpendiculares a cada elemento de 𝑺. 
 
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line
https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
https://en.wikipedia.org/wiki/Level_set
 
 
 
 
7 Introdução às funções de várias variáveis 
QUESTÕES 
1) Suponha que desejamos maximizar 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 sujeito à restrição 𝑥2 + 𝑦2 = 1. O 
conjunto factível é o círculo unitário, e os conjuntos de níveis de 𝑓 são as linhas diagonais , 
então podemos notar que o máximo ocorre em (
√2
2
,
√2
2
 ) , e que o mínimo ocorre em 
(− 
√2
2
, − 
√2
2
 ). Para o método dos multiplicadores de Lagrange, a restrição é 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 +
 𝑦2 − 1, consequentemente, 
 ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 − 1) . Agora podemos calcular o 
gradiente 
 ∇𝑥,𝑦,𝜆ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = (
𝜕ℒ
𝜕𝑥
,
𝜕ℒ
𝜕𝑦
,
𝜕ℒ
𝜕𝜆
 ) = (1 + 2𝜆𝑥, 1 + 𝜆𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 − 1) 
E por tanto, ∇𝑥,𝑦,𝜆ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 0. Observe que a última equação é a restrição original. As 
duas primeiras equações produzem 𝑥 = 𝑦 = 
1
2𝜆
, λ ≠ 0. Então, λ = ± 
1
√2
.. O que implica que os 
pontos estacionários de ℒ está (
√2
2
,
√2
2
 , −
1
√2
) , (− 
√2
2
, −
√2
2
 ,
1
√2
). Avaliar a função objetivo 
𝑓 (
√2
2
,
√2
2
 ) = √2, 𝑓 (−
√2
2
, −
√2
2
) = −√2. Assim, o limite máximo é √2 e o limite mínimo é 
−√2. 
2) Suponha que queremos encontrar os valores máximos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 como a 
condição de que os 𝑥 e 𝑦 coordenadas deitas no círculo em torno da origem com raio √3, isto 
é, sujeito a restrição de 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 − 3 = 0. 
Como há apenas uma única restrição, usaremos apenas um multiplicador, digamos λ. A 
restrição 𝑔(𝑥, 𝑦) é identicamente zero no círculo de raio√3. Veja que qualquer multiplicador 
de 𝑔(𝑥, 𝑦) pode ser adicionado a 𝑓(𝑥, 𝑦) e deixando 𝑓(𝑥, 𝑦) inalterado na região de interesse. 
Aplicando o método comum do multiplicador de Lagrange: 
ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 − 3) 
Calculando o gradiente: 
∇𝑥,𝑦,𝜆ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = (
𝜕ℒ
𝜕𝑥
,
𝜕ℒ
𝜕𝑦
,
𝜕ℒ
𝜕𝜆
 ) = (2𝑥𝑦 + 2𝜆𝑥, 𝑥2 + 2𝜆𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 − 3) 
 
 
 
 
8 Introdução às funções de várias variáveis 
∇𝑥,𝑦,𝜆ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 0 {
2𝑥𝑦 + 2𝜆𝑥 = 0
𝑥2 = − 2𝜆𝑦
𝑥2 + 𝑦2 = 3 
= {
𝑥(𝑦 + 𝜆) = 0 (𝑖)
𝑥2 = − 2𝜆𝑦 (𝑖𝑖)
𝑥2 + 𝑦2 = 3 (𝑖𝑖𝑖)
 
Observe que (iii) é apenas a restrição original. (i) implica 𝑥 = 0 ou 𝜆 = −𝑦. Se 𝑥 = 0 
então 𝑦 = ±√3 por (iii) e consequentemente 𝜆 =0 de (ii). Se 𝜆 = −𝑦, substituindo em (ii) 
𝑥2 = 2𝑦2. Substituindo em (iii) e resolvendo para 𝑦, obtemos 𝑦 = ± 1. Assim existem seis 
pontos críticos de ℒ: 
(√2, 1, −1); (−√2, 1, −1); (√2, −1, 1); (−√2, −1, 1); (0, √3, 0); (0, √3, 0). 
Portanto, a função objetivo atinge o máximo global em (±√2, 1) e o mínimo global em 
(±√2, −1). O ponto (0, √3) é um mínimo local e (0, −√3) é um máximo local. 
 
2 CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS 
Um campo vetorial 𝐹(𝑥, 𝑦) é chamado de campo vetorial conservativo se o mesmo satisfaz 
qualquer uma das três propriedades: 
 As integrais de linha de 𝐹 são independentes do caminho. 
 As integrais de linha de 𝐹 sobre circuitos fechados são sempre 0. 
 𝐹 é o gradiente de alguma função de valor escalar, ou seja, 𝐹 = ∇g para alguma 
função 𝑔. 
Há também uma outra propriedade equivalente a todas essas: 𝐹 irrotacional, o que quer 
dizer que a sua onda é zero em todos os lugares (com uma pequena ressalva). No entanto, falarei 
sobre isso em um artigo separado que define a onda em termos de integrais de linha. 
A principal lição aqui não é apenas a definição de um campo vetorial conservativo, mas o fato 
surpreendente de que as condições aparentemente diferentes listadas acima são equivalentes 
entre si. 
2.1 INDEPENDÊNCIA DE CAMINHOS 
 
 
 
 
9 Introdução às funções de várias variáveis 
Imagine que você tenha um campo vetorial pronto 𝑭(𝑥, 𝑦) , e você considera as integrais 
de linha de 𝐹 de dois caminhos distintos, 𝐶1 e 𝐶2, cada um começando em um ponto A e 
terminando em um ponto B. 
 
Para quase todos os campos vetoriais 𝐹, e para quase todas as opções para os dois 
caminhos 𝐶1 e 𝐶2 , estas integrais serão diferentes. 
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 ≠ 
𝑐1
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠
𝑐2
 
Cada integral está somando valores completamente diferentes em pontos 
completamente diferentes no espaço. O que é surpreendente é que existem alguns campos 
vetoriais onde os caminhos distintos que ligam os mesmos dois pontos serão sempre iguais, não 
importa a escolha de caminhos (dos quais existem infinitos). 
No caso especial de campos vetoriais que são o gradiente de alguma função de valor 
escalar, 𝛻𝑓, essa propriedade mágica é verdadeira. As integrais de linha ao longo de caminhos 
diferentes conectando os mesmos dois pontos A e B irão sempre avaliar a mesma coisa: 
∫ 𝛻𝑓 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴) 
𝑐1
∫ 𝛻𝑓 ∙ 𝑑𝑠
𝑐2
 
 
Definição: Essa propriedade é chamada independência do caminho. Especificamente, uma 
integral de linha através de um campo vetorial 𝑭(𝑥, 𝑦) , é considerado independente do caminho 
se o valor da integral depende somente do ponto onde o caminho começa e do ponto onde o 
caminho termina, e não do caminho em si entre esses dois pontos. 
Na verdade, quando você entende corretamente o teorema do gradiente, esta afirmativa 
não é totalmente mágica, uma vez que integrais de linha contra o gradiente de 𝑓 medem a 
variação no valor de 𝑓. Visualizando isso com o gráfico de 𝑓, ele diz que quaisquer dois 
caminhos que levam você de um ponto a outro variam sua altitude pelo mesmo valor. 
 
 
 
 
10 Introdução às funções de várias variáveis 
A conclusão desse resultado é que os campos de gradiente são campos vetoriais muito especiais. 
Por conta dessa propriedade de independência de caminho ser tão rara, de certo modo, "a 
maioria" dos campos vetoriais não pode ser campo de gradiente. 
2.2 CIRCUITOS FECHADOS 
Definição: Um caminho é chamado fechado se ele começa e termina no mesmo ponto. Esses 
caminhos também são comumente chamados de circuitos fechados. 
Se considerarmos um campo vetorial 𝐹 onde todas as integrais de linha são 
independentes do caminho, a integral de linha de 𝐹 em qualquer circuito fechado será 0. 
Considere 𝐶 um circuito fechado começando em 𝐴 e terminando em 𝐴, e o caminho 
inverso. Isto é, 𝐶 e cobrem os mesmos pontos no espaço, mas quando você os parametriza, 
você deveria andar em sentidos opostos. 
Sabemos que a inversão da orientação de um caminho inverte o sinal da integral de 
linha: 
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = −
𝐶
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠
Ĉ
 
Esta é uma afirmativa geral sobre integrais de linha em um campo vetorial, não 
especificamente para campos vetoriais conservativos. Entretanto, como 𝐹 é independente do 
caminho, e tanto 𝐶 quanto Ĉ começam em 𝐴 e terminam em 𝐴, também deve ser verdade que 
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 
.
𝐶
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠
.
Ĉ
 
 
A única maneira de ambos serem verdadeiros é se a integral for igual a 000. Você pode aplicar 
este argumento para qualquer circuito fechado, então a integral de linha sobre qualquer circuito 
fechado deve ser igual a 0. 
Notação Convencional para circuitos fechados 
 ∮ 𝐹 𝑑𝑟
.
𝐶
. 
 
 
 
 
11 Introdução às funções de várias variáveis 
Passo a passo para encontrar a função potencial de um campo conservativo: 
Passo 1: Integrar 𝐹1 em relação a 𝑥 e obter 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) com o termo 𝐴(𝑦, 𝑧) 
Passo 2: Integrar 𝐹2 em relação a 𝑦 e obter 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) com o termo 𝐵(𝑥, 𝑧) 
Passo 3: Integrar 3 em relação a 𝑧 e obter 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) com o termo 𝐶(𝑥, 𝑦) 
Passo 4: Comparar as três equações e descobrir uma única função de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
que satisfaça as igualdades. 
QUESTÕES 
1) Calcule a integral de linha do campo conservativo 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, cos 𝑦 + 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦) 
ao longo da curva 𝐶 parametrizada por γ(ɵ) = ((1+ senɵ) cos ɵ, ( 1+ senɵ)senɵ), ɵ ∈ [0 
, 𝜋]. 
Passo 1: Encontrando a função potencial. 
𝐹1= 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 
𝑓 = ∫ 𝐹1 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐴(𝑦) 
𝑓 = ∫ 𝐹2 𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑦 + 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑑𝑦 
Passo 2: Encontrar os pontos inicial e final. 
ɵ = 0 → 𝐴 = (1 + 𝑠𝑒𝑛 0) cos 0 , (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑜 0)𝑠𝑒𝑛0) = (1,0) 
ɵ = 𝜋 → 𝐵 = (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜋 ) cos 𝜋 , (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜋)𝑠𝑒𝑛𝜋) = (−1,0) 
Passo 3: Definir uma curva simples que ligue A e B. 
𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 0 
𝜎 = (𝑡, 0) 
 
 
 
 
12 Introdução às funções de várias variáveis 
Ou seja, saímos de uma curva como por γ(ɵ) = ((1+ senɵ) cos ɵ, ( 1+ senɵ)senɵ) para uma 
mais simples 𝜎 = (𝑡, 0), e mais viável para integrar. 
Passo 4: Calcular a integral. 
∫ (2𝑥, cos 0 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0)(1,0)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
−1
1
= 𝑥2 = 1 − 1 = 0
−1
1
 
2) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsa, justificando. A função 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 
1
𝑟
 onde 𝑟 = (√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ≠ 0, é um potencial para o campo 𝐹(𝑟) =
 −
1
𝑟3
𝑟, para 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 − {(0,0,0)}. 
Passo 1: O campo 𝐹 pode ser descrito como: 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−
𝑥
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
,
𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
,
𝑧
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 ) 
 
Passo 2: A função potencial pode ser escrita como: 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 
1
𝑟
 = (−√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 
Logo, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= −
𝑥
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= −
𝑧
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 
O que nos dá: 
𝛻𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝜆
 ) = −
𝑥
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
,
𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
,
𝑧
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 
 
 
 
 
13 Introdução às funções de várias variáveis 
Provamos que, 
�⃑� = 𝛻𝑓 = −
𝑥
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
, −
𝑦
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
, −
𝑧
√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
 
3 TEOREMA DE GREEN NO PLANO 
O teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada 
no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Este teorema foi 
demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular 
do teorema de Stokes. 
Seja 𝐶 uma curva simples fechada derivável e 𝐷 a região do plano delimitada por 𝐶. 
Sejam 𝑃 e 𝑄 duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região 
contendo 𝐷, então: 
∫ (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑥)
𝐶
= ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 𝑑𝐴 
𝐷
 
Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva 
fechada , por vezes está representa-se por 
∮(𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑥) 
O Teorema de Green afirma que a integral delinha de 𝐹 em torno da fronteira de 𝑅 é 
igual à integral dupla do rotacional de 𝐹 em 𝑅. 
∬ 𝑟𝑜𝑡 2𝑑𝐹𝑑𝐴 = ∮ 𝐹 𝑑𝑟
𝑅
 
Pense no lado esquerdo da equação como sendo a soma de todas as pequenas porções 
de rotação em todos os pontos dentro da região 𝑅 e no lado direito como a medida da rotação 
total do fluido ao redor da fronteira 𝐶 𝑑𝑒 𝑅. 
𝐹 é frequentemente escrito em relação às suas componentes, como a seguir: 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)î + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗 ̂
E, função de 𝑃 e 𝑄, o Teorema de Green fica assim: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_linha
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_dupla
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Brit%C3%A2nico
https://pt.wikipedia.org/wiki/George_Green
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes
 
 
 
 
14 Introdução às funções de várias variáveis 
∫ (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑥)
𝐶
= ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 𝑑𝐴 
𝑅
 
3.1 IDENTIDADES DE GREEN 
Seja 𝑈 um conjunto aberto limitado de 𝑅𝑛 com fronteira 𝜕𝑈 ∈ 𝐶−1. Se u, v ∈ 𝐶2 (�̅�), então: 
 
1. 
∫ 𝛥𝑢𝑑𝑥 = ∫
𝜕𝑈
𝜕𝑉𝜕𝑈
𝑑𝑠
𝑈
 
2. 
∫ 𝐷𝑢 ∙ 𝐷𝑣𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢∆𝑣
𝜕𝑈
𝑑𝑥 + ∫
𝜕𝑣
𝜕𝑉
𝑣𝑑𝑆
𝜕𝑈𝑈
. 
3 
∫ (𝑢𝛥𝑣 − 𝑢𝛥𝑢)𝑑𝑥 = ∫
𝜕𝑣
𝜕𝑉
𝑢 − 
𝜕𝑢
𝜕𝑉
𝑣
𝜕𝑈
𝑑𝑠
𝑈
 
 
3.2 CÁLCULO DA ÁREA 
A utilização do Teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva 
parametrizada e fechada. Seja 𝐷 um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e 
seja 𝐶 = 𝜕𝐷 a fronteira, orientada positivamente em relação a 𝐷. Temos: 
𝐴(𝐷) = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ −𝑦𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑𝑦
𝐶
= 1/2
𝐶
∫ −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦
𝐶𝐷
 
E tendo respectivamente 𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑦 e 𝑄(𝑥, 𝑦) = 0, ou 𝑃(𝑥, 𝑦) = 0 e 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥, ou 
enfim, 𝑃(𝑥, 𝑦) = −
𝑦
2
 e 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥/2, cada um desses três casos verifica que 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
− 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 1. 
Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por: 
𝑡 → (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡) com 𝑡 variando de 0 até 2𝜋. 
 
 
 
 
15 Introdução às funções de várias variáveis 
Temos: 
𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = −
𝑦
2
 𝑑𝑥 = 
𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑡
2
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑒 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡
2
 𝑏 cos 𝑡𝑑𝑡 
Obtendo: 
𝐴 = 1/2 ∫ −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦
𝐶
= ∫
𝑎𝑏
2
𝑑𝑡 = 𝜋𝑎𝑏
2𝜋
0
 
QUESTÕES 
1) Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮(𝑒𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥 +
 𝑥2)𝑑𝑦, onde C é a fronteira da região 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥, percorrida no sentido anti-
horário. 
Passo 1: Esboçar os gráficos. 
Passo 2: 
 Temos que 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 + 𝑦2, 𝑒𝑥 + 𝑥2 
(
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
− 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
) = (
𝜕(𝑒𝑥 + 𝑥2)
𝜕𝑥
− 
𝜕(𝑒𝑥 + 𝑦2)
𝜕𝑥
 ) = 2𝑥 − 2𝑦 
Passo 3: Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green: 
∫ (𝑒𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑦 = 2 ∬ 𝑥 − 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷𝐶
 
Onde D é a região limitada pela curva C. Temos que 𝑦 varia entre 𝑦 = 𝑥 e a parábola 𝑦 = 𝑥2 
e 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
A integral passa a ser então: 
2 ∫ ∫ 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
𝑥2
1
0
 
Passo 4: Integramos primeiro em relação a y e depois em relação a x e encontramos 
2 ∫ ∫ 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
𝑥2
1
0
= 1/30 
 
 
 
 
16 Introdução às funções de várias variáveis 
2) Calcule 
∮
𝑥2 − 𝑦2
2𝐶
𝑑𝑥 + (
𝑥2
2
+ 𝑦4) 𝑑𝑦 
Onde C é a fronteira da região D definida por 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 1 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 
Passo 1: Esboçar a curva; 
Passo 2: O campo vetorial pode ser descrito como 
𝐹 = (
𝑥2 − 𝑦2
2
,
𝑥2
2
 + 𝑦4) 
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
− 
𝜕
𝜕𝑥
 ( 
𝑥2
2
 + 𝑦4) = 𝑥 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
− 
𝜕
𝜕𝑦
 (
𝑥2 − 𝑦2
2
 ) = −𝑦 
(
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
− 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
 ) = 𝑥 − (−𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
Passo 3: Montar a integral utilizando o Teorema de Green. 
∬ |𝑥 + 𝑦|𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
Passo 4: 
∫ ∫ (𝑟𝑐𝑜𝑠ɵ + 𝑟𝑠𝑒𝑛ɵ)𝑟𝑑𝑟𝑑ɵ = 
2
1
∫ (𝑐𝑜𝑠ɵ + 𝑠𝑒𝑛ɵ)𝑟2𝑑𝑟𝑑ɵ
𝜋/2
0
𝜋/2
0
= 
∫
(𝑐𝑜𝑠ɵ + 𝑠𝑒𝑛ɵ)𝑟3
3
| 𝑑𝑟=1
𝑟=2 ɵ
𝜋/2
0
= 
= 7/3 ∫ (𝑐𝑜𝑠ɵ + 𝑠𝑒𝑛ɵ)𝑑ɵ = 
𝜋/2
0
 
= 7/3(𝑠𝑒𝑛ɵ + 𝑐𝑜𝑠ɵ)| =
7
3
[(1 − 0) − (0 − 1)] = 14/3.0
𝜋/2
 
 
 
 
 
17 Introdução às funções de várias variáveis 
REFERÊNCIAS 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 380 p. 
v.3. ISBN: 97885216512575. 
THOMAS, George B; HASS, Joel; WEIR, Maurice D. Cálculo. 12.ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012. 634 p. v.1. ISBN: 9788581430867.