3 3 e 3 4 Restricao orcamental e equilibrio doconsumidor (1)

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE AGRICULTURA 
Curso: Economia Agraria e Desenvolvimento 
Restrição orçamental e Equilíbrio do consumidor 
Restrição Orçamental 
A restrição orçamentária define o conjunto de cestas que um consumidor pode comprar com um 
montante limitado de renda. Suponha que um consumidor, Eric, compre apenas dois tipos de bens, 
alimentos e roupas. Seja x número de unidades de alimentos e y o número de unidades de roupas 
que ele compra por mês. O preço de uma unidade de alimento é 𝑃𝑥 e o preço de uma unidade de 
roupa é 𝑃𝑦 . Por firn, para simplificar o exemplo, suponhamos que Eric possui uma renda fixa de I 
dólares por mês. O gasto mensal total de Eric com a limentos será 𝑃𝑥𝑋 (o preco de uma unidade 
de alimento vezes a quantidade comprada de alimento). Do mesmo modo, o gasto mensal total de 
Eric com roupas será 𝑃𝑦𝑌 (o preco de uma unidade de roupa vezes a quantidade comprada de 
roupa). A reta orçamentaria (ou linha de orçamento) indica todas as combinações possíveis de 
alimentos e roupas que Eric pode comprar, se decidir gastar toda a sua renda disponível na compra 
desses dois bens. Em outras palavras, a recta orçamentaria mostra quais as cestas (combinações de 
x e y) que ele pode comprar, se os gastos totais com roupas e alimentos forem iguais à renda total: 
 𝐏𝐱𝐗 + 𝐏𝐲𝐘 = 𝐈 
𝐘 =
𝐈
𝐏𝐲
−
𝐏𝐱
𝐏𝐲
𝐗 
Vejamos agora a gráfico da reta orçamentária na fig.1. A renda mensal de Eric é I = $800. O preço 
do alimento Px= $20 por unidade e o preço da roupa e Py = $40 por unidade. Se ele gastar os $800 
na compra de alimentos, so podera comprar no maxima, I/Px = 800/20 = 40 unidades de alimentos. 
Portanto, o intercepto horizontal da reta orçamentaria será x = 40. Por outro lado, se Eric gastar 
$800 na compra de roupas, só poderá comprar no máximo, I/Py = 800/40 = 20 unidades de roupas. 
Assitn, o intercepto vertical da reta orcamenraria será y = 20. Utilizando a equação (1.0), podemos 
representar a reta orçamentaria. Se I = $800, Px= $20 e Py= $40 : 
$𝟐𝟎𝐗 + $𝟒𝟎𝐘 = $𝟖𝟎𝟎 
40Y = 800 − 20X ↔ Y =
800
40
−
20
40
X ↔ 𝐘 = 𝟐𝟎 −
𝟏
𝟐
𝐗 
A renda de Eric que permite comprar qualquer cesta localizada sobre ou abaixo da reta 
orçamentaria. Por exemplo, ele poderia comprar qualquer uma das cestas seguintes localizadas 
sobre a reta orçamentária, gastando toda a renda disponível: 
 Cesta A, com x = 0 e y = 20. É o intercepto vertical da reta orçamentaria. Nesse caso, ele 
só compra roupas (não compra alimentos). 
 Cesta B, com x = 10 e y = 15. 
 Cesta C, com x = 20 e y = 10. 
 Cesta D, com x = 30 e y = 5. 
 Cesta E, com x = 40 e y = O. É o intercepto horizontal da reta orçamentária. Nesse caso, 
ele só compra alimentos (não compra roupas). 
A restrição orçamentária nos diz que o consumidor poderia também comprar qualquer cesta abaixo 
da reta orçamentária. Por exemplo, Eric poderia comprar a cesta F (x = 10 e y = 10). Nesse caso, 
ele precisaria gastar apenas PxX + PyY = 20(10) + 40(10) = $600, uma quantia inferior a sua renda 
total de $800. Eric não poderá escolher uma cesta acima da reta orçamentária, como a cesta G. 
Para comprar a cesta G, ele precisaria gastar $1.000, uma quantia que supera sua renda mensal. 
 
Figura 1: Um exemplo da reta orçamentária 
Qual o significado económico da inclinação da restrição orçamentária? 
Suponha que Eric tenha escolhido a cesta B, decidindo, assim, gastar toda a renda. Se ele desejar 
comprar mais alimentos, devera abrir mão de algumas unidades de roupas. De fato, como o preço 
dos alimentos é a metade do preço das roupas, Eric deve trocar 1/2 unidade de roupa por cada 
unidade adicional de alimento que comprar. Desse modo, a inclinação da reta orçamentária 
representa o número de unidades de roupas (o bem representado no eixo vertical) de que deve abrir 
mão para obter uma unidade adicional de alimento (o bem representado no eixo horizontal). Se ele 
mudar da cesta B para a cesta C, devera abrir mão de 5 unidades de roupas (∆𝑦 = −5) para comprar 
10 unidades adicionais de alimentos (∆𝑥 = +10). Logo, a inclinacao da reta orçamentária é: 
 
∆𝒚
∆𝒙
=
−𝟓
𝟏𝟎
= −
𝟏
𝟐
. Note que num gráfico com x no eixo horizontal e y no eixo vertical, a inclinação 
da reta orçamentária é 
∆𝒚
∆𝒙
= −
𝑷𝒙
𝑷𝒚
. Se o preço do bem x for três vezes o preço do bem y, o 
consumidor devera abrir mão de 3 unidades do bem y para poder obter mais 1 unidade do bem x, 
e a inclinação será -3. Se os preços forem iguais, a inclinação da restrição orçamentária será -1, 
porque o consumidor sempre poderá obter mais 1 unidade do bem x, deixando de consumir 1 
unidade de y. 
• Efeito na Restrição Orçamental da alteração do rendimento 
COMO UMA VARIACAO NA RENDA AFETA A RETA ORCAMENTARIA? 
Conforme já mostramos, a posição da reta orçamentária depende do nível de renda e dos preços 
dos bens que o consumidor compra. Como é de se esperar, quando a renda aumentar, o conjunto 
de escolhas de consumo disponíveis também aumenta. Vejamos como a reta orçamentária varia 
em resposta a uma variação na renda. No exemplo anterior, suponha que a renda mensal 
aumentasse de I1 = $800 para I2 = $1000, mas que os preços (Px= $20 e Py = $40) nao variem. Se 
Eric decidir comprar apenas roupas, ele agora pode comprar I2/Py = 1000/40 = 25 unidades de 
roupas, ou seja, o intercepto vertical da nova reta orçamentária. A renda extra de $200 lhe permite 
comprar 5 unidades de y, pois Py= $40. Se decidir comprar apenas alimentos, ele agora pode 
comprar I2/Px= 1000/20 = 50 unidades de alimentos, ou seja, intercepto horizontal da nova reta 
orcamentaria. A renda extra de $200 lhe permite comprar 10 unidades de x, pois Px= $20. O 
consumidor também pode comprar cestas como a G com uma renda de $1000. 
 
Figura 2: Efeito de uma variação na renda sobre a reta orçamentaria 
A reta orçamentária inicial, com renda igual a $800 (BL1), e a nova reta orçamentária, com renda 
de $1000 (BL2), estão representadas na Fig. 2. A inclinação das duas retas orçamentárias é a 
mesma, pois os preços de alimentos e mupas não variaram. A inclinação dessas retas orçamentarias 
∆𝐲
∆𝐱
= −
𝐏𝐱
𝐏𝐲
= −
𝟏
𝟐
 . Em resumo, um aumento na renda desloca paralelamente a reta orçamentária 
para a direita e para cima. Isso aumenta o conjunto de escolhas de cestas disponíveis para o 
consumidor. Por outro lado, uma redução na renda deslocaria a reta orçamentária em direção a 
origem, reduzindo o conjunto de escolhas disponíveis para o consumidor. 
 
• Efeito na Restrição Orçamental da alteração dos preços 
Como uma variação no preço afeta a reta orçamentária? 
Como a reta orçamentaria de Eric varia, se os preços dos alimentos aumentarem de 𝑃𝑥1= $20 para 
𝑃𝑥2= $25 por unidade, e a renda e os preços das roupas não variarem? O intercepto vertical da reta 
orçamentária permanecera inalterado, pois I e Py não variaram. Entretanto, o intercepto horizontal 
diminuirá de I/𝑃𝑥1= 800/20 = 40 unidades para I/𝑃𝑥2= 800/ 25 = 32 unidades. O aumento do preço 
dos alimentos significa que, se Eric gastar $800 em alimentos, so podera comprar 32 unidades. A 
inclinação da reta orçamentária mudou de −(𝑃𝑥1 Py⁄ ) = −(20 40⁄ ) = −1 2⁄ para −(𝑃𝑥2 Py⁄ ) =
−(25 40⁄ ) = −5 8⁄ . A reta orçamentária inicial (BL1) e a nova reta orcamentaria (BL2) estão 
representadas na Fig 3. A inclinação da reta BL2 é mais acentuada do que a inclinação de BL1. 
Essa inclinação acentuada significa que, para comprar mais uma unidade de alimento, o 
consumidor devera abrir mão de mais unidades de roupas do que antes. Quando o preço dos 
alimentos era $20, o consumidor precisava abrir mão de apenas 1/2 unidade de roupa. Mas ao 
preço mais alto de alimentos ($25), o consumidor deve abrir mão de 5/8 unidades de roupas. Em 
resumo, o aumento no preço de um bem deslocará o intercepto sobre o eixo desse bem em direção 
a origem.Uma redução no preço de um bem deslocará o intercepto sobre o eixo desse bem na 
direção oposta a origem. Para um gráfico com x no eixo horizontal e y no eixo vertical, a inclinação 
da reta orçamentária é −(𝑃𝑥 Py⁄ ). A inclinação da reta orçamentária variara de acordo com as 
variações nessa razão. Quando a reta orçamentária gira para a esquerda, o poder de compra do 
consumidor diminui, porque o conjunto de cestas que ele pode comprar diminui. Quando o 
consumidor pode comprar mais cestas do que antes, dizemos que o poder de compra aumentou. 
Um aumento na renda alimentará o conjunto de cestas que o consumidor pode comprar, ampliando 
o poder de compra. Uma redução num dos preços dos bens aumentara o conjunto de cestas 
disponíveis ao consumidor. O poder de compra do consumidor diminui, quando há um aumento 
num preço ou uma redução na renda, porque essas variáveis reduzem o número de cestas 
disponíveis ao consumidor. 
 
Figura 3. Efeito de um aumento de preço sobre a recta orçamentária 
 
 
Exemplo 
1. A Sra. Josefina possui um rendimento mensal de 110000u.m. Nesse período de tempo 
adquire apenas dois bens, A e B, cujos preços são respectivamente, 2000u.m, e 5000u.m 
por unidade 
a) Trace a recta do orçamento mental da sra Josefina 
b) Imagine um aumento do rendimento da Josefina para 140000u.m. Representa 
graficamente o deslocamento da recta orçamental 
c) E o rendimento baixasse para 80000, oque aconteceria a recta de orçamento? Represente 
graficamente 
d) Se a sra Josefina possuir um rendimento de 110000 e o preço do bem A subir para 3000 
por unidade, oque aconteceria agora a recta de orçamento? 
Veja também a alteração da recta orçamental para: 
i) Uma descida do preço do bem A para 1000 
ii) Uma descida do preço do bem B para 4000 
e) Generalize as respostas anteriores para concluir oque acontece à recta do orçamento 
quando os preços dos bens ou o rendimento alteram. 
Resposta: 
a) A recta do orçamento mensal da sra Josefina é: 
2000A+ 5000B = 110000 ↔ Y = 22 −
2
5
𝐴 
Nota: Desenhe o gráfico. Bem A no eixo horizontal e bem B no eixo vertical 
 
b) A nova restrição orçamental mensal é: 
2000A+ 5000B = 140000 ↔ Y = 28 −
2
5
𝐴 
Nota: Desenhe o gráfico. Graficamente vai observar que haverá uma expansão da 
restrição orçamental mensal (afastamento em relação a origem). 
 
c) Se o rendimento mensal passasse de 100000 u.m para 80000 u.m haveria uma retração 
da restrição orçamental (aproximação em relação a origem). A nova restrição 
orçamental seria dada por (Desenhe o gráfico depois): 
2000A + 5000B = 80000 ↔ Y = 16 −
2
5
𝐴 
d) A nova restrição orçamental mensal é: 
3000A+ 5000B = 110000 ↔ Y = 22 −
3
5
𝐴 Nota: Desenhe o gráfico 
i) A nova restrição orçamental mensal é: 
1000A+ 5000B = 110000 ↔ Y = 22 −
1
5
𝐴 Nota: Desenhe o grafico 
ii) A nova restrição orçamental mensal é: 
2000A+ 4000B = 110000 ↔ Y =
55
2
−
1
2
𝐴 Nota: Desenhe o grafico 
e) Em geral a restrição orçamental é escrita como: 
𝑃𝐴𝐴 + 𝑃𝐵𝐵 = 𝑅 ↔ 𝐵 =
𝑅
𝑃𝐴
−
𝑃𝐴
𝑃𝐵
𝐴, nota importante: I=R 
 Se o rendimento aumenta (diminui) a restrição orçamental expande-se (retrai) 
 Se o 𝑃𝐴 aumenta (diminui) a restricao orcamental retrai-se (expande) em relacao a 
quantidade que se pode adquirir do bem A, dada a quantidade do bem B; 
 Se o 𝑃𝐵 aumenta (diminui) a restricao orcamental retrai-se (expande) em relacao a 
quantidade que se pode adquirir do bem B, dada a quantidade do bem A. 
 
Exercícios 
1. Suponha que um consumidor gasta a totalidade do seu rendimento mensal, no montante de 
160 unidades monetárias (u.m.), na aquisição de 2 bens (X e Y) e que o preço do bem X é 
de 20 u. m. e o do bem Y é de 10 u.m.. O rendimento disponível deste consumidor é fixo, 
assim como os preços de mercado destes dois bens, no período em análise. 
a) Deduza a expressão analítica da restrição orçamental para este consumidor, represente-a 
graficamente e explique o seu significado económico. 
b) Suponha que o preço de X diminui em 20%, tudo o mais se mantendo constante. Qual é a 
expressão analítica da nova restrição orçamental? Como se posiciona esta restrição 
orçamental relativamente à inicial? 
c) Considere que os preços dos bens são os iniciais e que o rendimento do consumidor aumenta 
em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e represente-a 
graficamente. 
d) Suponha que, em relação à situação inicial, o rendimento e os preços de cada bem aumentam 
em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e compare-a com a 
inicial. 
Restrição orçamental não linear 
2. A Joana pretende praticar natação num determinado clube. Existem duas modalidades de 
pagamento: ou paga 5 Mt de cada vez que utilizar a piscina ou se inscreve como sócia do 
clube, efectuando um pagamento inicial (a jóia) no valor de 30 Mt e pagando por cada ida 
à piscina 2 Mt. Para a prática da natação e para a aquisição de outros bens, a Joana dispõe 
de um rendimento de 80 Mt por mês, que gasta integralmente. 
a) A partir de quantas idas à natação é que vale a pena à Joana tornar-se sócia do clube? 
Justifique. 
b) Qual é a expressão analítica da restrição orçamental? Justifique. Represente-a 
graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio do consumidor (Escolha optima) 
Se conhecemos as preferências e a restrição orçamentária do consumidor, podemos determinar a 
quantidade óptima de cada bem que deve ser comprada. Assumiremos a hipótese de que as 
escolhas do consumidor são racionais. Mais precisamente, a escolha óptima significa que o 
consumidor escolhe uma cesta de bens que (1) maximiza sua satisfação (utilidade) e, ao mesmo 
tempo (2), permite que ele viva dentro de sua restrição orçamentária. 
Suponha que Eric compre apenas dois bens (por exemplo, alimentos e roupas) e que ele goste de 
consumir mais unidades de ambos os bens (ou seja, as suas preferências são monótonas). Então, 
uma cesta de consumo optima deve estar localizada sobre a reta orçamentária. Uma cesta como a 
F na fig. 4 não pode ser optima, porque existem cestas localizadas ao norte e ao leste da cesta F 
que ele pode comprar e que são preferidas a F. Se Eric comprar a cesta F, não gastará toda a sua 
renda. A renda que não foi gasta poderia ser utilizada para aumentar a satisfação de Eric com a 
compra de mais alimentos e roupas. De fato, qualquer ponto abaixo da reta orçamentária não pode 
ser optima por essa razão. E claro que nem sempre os consumidores gastam toda a renda disponível 
num dado período. Em geral, eles poupam parte da renda para o consumo futuro. A introdução do 
tempo na análise da escolha do consumidor significa que o consumidor esta fazendo escolhas a 
respeito de mais do que dois bens, incluindo o consumo de alimentos hoje, de roupas hoje, 
alimentos amanha, e de roupas amanha. Por enquanto, vamos simplificar a análise e supor que 
não existe o futuro. 
Para representar em termos formais o problema da escolha optima do consumidor, seja U(x,y) a 
utilidade obtida pelo consumidor com a compra de x unidades de alimentos e y unidades de roupas. 
O consumidor escolhe entre x e y, mas deve também satisfazer a restrição orçamentária 𝑃𝑥𝑋 +
 𝑃𝑦𝑌 ≤ 𝐼. O problema de escolha optima do consumidor é expresso como: 
𝐦𝐚𝐱 𝐔(𝐱,𝐲) 𝐬𝐮𝐣𝐞𝐢𝐭𝐚 𝐚 𝐏𝐱𝐗 + 𝐏𝐲𝐘 ≤ 𝐈 
Onde a notação "max U(x,y)" representa "escolher x e y de modo a maximizar a utilidade", e a 
notação "sujeito a PxX + PyY ≤ I " significa que "os gastos com x e y não devem exceder a renda 
do consumidor". Se o consumidor gosta de consumir mais unidades dos dois bens, as utilidades 
marginais de alimentos e roupas são positivas. Na cesta óptima, toda a renda deve ser gasta (isto 
é, o consumidor escolherá uma cesta sobre a reta orçamentária PxX + PyY ≤ I). 
A Fig. 4 representa o problema de escolha optima de Eric em termos gráficos.Ele possui uma 
renda mensal I=$800, o preço dos alimentos é Px=$20 por unidade e o preco das roupas é Py= $40 
por unidade. A reta orcamentaria possui um intercepto vertical em y=20, indicando que se ele 
gastasse toda a sua renda com roupas, poderia comprar ate 20 unidades de roupas por mês. Do 
mesmo modo, o intercepto horizontal em x = 40 mostra que Eric poderia comprar ate 40 unidades 
de alimentos por mês, se gastasse toda a renda em alimentos. A inclinação da reta orçamentaria é 
𝑃𝑥 𝑃𝑦 = −1 2⁄⁄ . As tres curvas de indiferenca de Eric são 𝑈1, 𝑈2 𝑒 𝑈3. 
Se Eric maximiza a utilidade obedecendo a restrição orçamentária, ele escolhera a cesta que lhe 
permite alcançar a mais alta curva de indiferença sobre ou abaixo da reta orçamentária. Na Fig. 4, 
a cesta optima é A, onde Eric atinge o nível de utilidade U2. Qualquer outro ponto sobre ou abaixo 
da reta orçamentária o deixará com um nível de utilidade inferior. 
Para compreender por que a cesta A é a escolha optima, vamos analisar por que razão as outras 
cestas não o são optimas. Em primeiro lugar, as cestas acima (isto é, a nordeste) da reta 
orçamentária, como a cesta D, não podem ser optimas porque Eric não pode comprá-las. Desse 
modo, devemos restringir nossa atenção as cestas sobre ou abaixo da reta orçamentaria. Qualquer 
cesta abaixo da reta orçamentária, como a cesta F ou C, também não será optima. Como indicam 
as direções de preferência no gráfico, o consumidor prefere consumir mais unidades de ambos os 
bens (as utilidades marginais são positivas). 
Como existem outras cestas disponíveis para o consumidor localizadas na regi5o nordeste, como 
as cestas F e C, essas cestas F e C não podem ser optimas. Logo, uma cesta optima deve estar 
localizada sobre a reta orçamentária. Na cesta optima A, a reta orçamentaria é tangente a curva de 
indiferença U2. Isso significa que a inclinação da reta orçamentária (−
Px
Py
⁄ ) e a inclinacao da 
curva de indiferenca são iguais. Lembre-se que a inclinação da curva de indiferença é 
(−
UMgx
UMgy
⁄ ) (isto é −𝑇𝑀𝑆𝑦,𝑥). Logo, na cesta Otima A, a condição de tangencia requer que: 
𝐔𝐌𝐠𝐱
𝐔𝐌𝐠𝐲
=
𝐏𝐱
𝐏𝐲
 ou de forma equivalente 𝐓𝐌𝐒𝐲,𝐱 =
𝐏𝐱
𝐏𝐲
 
A cesta optima A é considerada um óptimo interior, isto é, uma situação de óptimo na qual o 
consumidor comprará ambos os bens (x > 0 e y > 0). O optimo ocorre no ponto de tangencia entre 
a reta orçamentária e a curva de indiferença. Em outras palavras, o consumidor escolherá os bens 
de modo que a razão entre as utilidades marginais (isto é, a taxa marginal de substituição) seja 
igual a razão dos preços dos bens. Podemos também expressar a condição de tangencia, 
rescrevendo a equação: 
𝑈𝑀𝑔𝑥
𝑃𝑥
=
𝑈𝑀𝑔𝑦
𝑃𝑦
. Essa modalidade de condição de tangencia afirma que a 
utilidade extra por dólar gasto no bem x é igual a utilidade extra por dólar gasto no bem y. Logo, 
na cesta optima, cada bem dá a Eric a mesma satisfação por cada dólar gasto. 
 
Figura 4: Escolha optima. Maximizando a utilidade com um dado orçamento. 
 
2ª Lei de Gossen ou regra de ouro de equilíbrio do consumidor racional 
Um consumidor racional maximiza a satisfação das suas necessidades no ponto onde as curvas de 
indiferença e de restrição orçamental são tangentes, ou seja, C.I = RO ou ainda: 
𝐔𝐌𝐠𝐱
𝐔𝐌𝐠𝐲 
=
𝐏𝐱
𝐏𝐲
 ou 𝐓𝐌𝐒𝐲,𝐱 =
𝐏𝐱
𝐏𝐲
 
Exemplo 
1. Eric compra alimentos (representados par x) e roupas (representadas par y) e possui a 
função utilidade dada por 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑋𝑌. Ele possui uma renda mensal de 800. O preco dos 
alimentos é 𝑃𝑥 = 20 e o preco das roupas a 𝑃𝑦 = 40. Obtenha a cesta optima do 
consumidor Eric. 
Resolução: 
Como podemos obter uma cesta óptima? Sabemos que duas condições devem ser satisfeitas num 
ponto de optimo: 
 Uma cesta óptima deve estar sobre a reta orçamentária. Isso significa que 𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌 = 𝑅, 
neste caso 20𝑋 + 40𝑌 = 800: 
 Como a optimo é interior, a curva de indiferença deve ser tangente a reta orçamentária. 
Sabemos que a tangencia requer que 
UMgx
UMgy 
=
Px
Py
: 
Neste caso, o problema é: max 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑋𝑌 𝑠. 𝑎 20𝑋 + 40𝑌 = 800 
Pela função utilidade sabemos que: UMgX=Y e UMgY=X. 
{
UMgx
UMgy 
=
Px
Py
𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌 = 𝑅
 ↔{
𝑌
X 
=
20
40
20𝑋 + 40𝑌 = 800
 ↔ {
𝑌
X 
=
1
2
−
 ↔{
X = 2Y
20 ∗ 2Y + 40Y = 800
 ↔ 
↔ {
X = 2Y
40Y + 40Y = 800
 ↔ {
X = 2Y
80Y = 800
 ↔ {
X = 2 ∗ 10
Y = 10
 ↔ {
𝑋∗ = 20
𝑌∗ = 10
 e 𝑼 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎𝟎 
 
2. Considere as preferências da família Gonçalves em relação ao consumo de peixe (bem X) 
e de carne (bem Y) descritas pela função: 𝑼 = 𝟐𝑿𝟎.𝟓𝒀𝟎.𝟓. 
a) Determine as funções de procura marshalliana dos dois bens 
b) Suponha que o orçamento mensal que esta família dispõe para gastar integralmente na 
aquisição destes dois bens é de 40 u.m. e que os preços médios de cada um deles são: Px = 
4 u.m./kg e Py = 1 u.m./kg, determine a quantidade de cada bem que, em equilíbrio, esta 
família adquirirá mensalmente (cabaz optimo). Represente graficamente. 
c) Calcule o nível de satisfação 
d) Avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. 
 
Respostas: 
a) Problema: maxU = 2X0.5Y0.5 s. a PxX + PyY = R 
{
UMgx
UMgy 
=
Px
Py
s. a PxX + PyY = R
↔{
2 ∗ 0.5X−0.5Y0.5
2 ∗ 0.5X0.5Y−0.5 
=
Px
Py
PxX + PyY = R
↔{
X−0.5−0.5Y0.5−(−0.5) =
Px
Py
PxX + PyY = R
↔ 
↔ {
X−1Y =
Px
Py
PxX + PyY = R
↔
{
 
 
 
 Y
X
=
Px
Py
PxX + PyY = R
↔
{
 
 
 
 Y =
PxX
Py
PxX + Py
PxX
Py
= R
↔ {
Y =
PxX
Py
PxX + PxX = R
↔ 
↔
{
 
 
 
 
Y =
PxX
Py
2PxX = R
↔
{
 
 
 
 Y =
PxX
Py
XM =
R
2Px
↔
{
 
 
 
 
Y =
Px
R
2Px
Py
XM =
R
2Px
↔ 
↔
{
 
 𝐘𝐌 =
𝐑
𝟐𝐏𝐘
 → funcao de Procura marshalliana de Y
𝐗𝐌 =
𝐑
𝟐𝐏𝐱
→ funcao de Procura marshalliana de x
 
 
b) Cabaz optimo: 
{
Px = 4
Py = 1
R = 40
↔ {
Y =
40
2 ∗ 1
= 20
X =
40
2 ∗ 4
= 5
 
 
c) Nível de satisfação 
𝑼 = 𝟐 ∗ 5𝟎.𝟓 ∗ 20𝟎.𝟓 = 100 
 
d) Taxa Marginal de Substituição no ponto optimo 
TMSy,x│(5,20) =
UMgx
UMgy
│(5,20) =
Y
X
│(5,20) =
20
5
= 4 
 
Exercícios 2 
1. Dada a seguinte função de utilidade do consumidor Matolinho: 𝑼 = 𝜶𝟎.𝟔𝜷𝟎.𝟐 
a) Deriva a função de procura marhalliana dos dois bens (α e β). 
b) Calcule o cabaz optimo que o Matolinho irá consumir sabendo que os preços são: 
 𝑃𝛼 = 50, 𝑃𝛽 = 10 e o rendimento é de 5000. 
c) Calcule o nível de satisfação 
d) Avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. 
 
2. Através da seguinte função de utilidade do consumidor Rafaelito com rendimentos de 1600 
u.m que consome dois bens α e β dada por: 
𝑼 = 𝒇(𝜶,𝜷) = 𝜶𝟑𝜷 
a) Determine as funções de procura marshalliana dos dois bens: α e β 
b) Calcule o cabaz óptimo e a utilidade máxima (nível de satisfação) que Rafaelito pode 
alcançar, sabendo que os preços dos bens α e β são de 20 e 10 u.m respectivamente. 
c) Mantendo o rendimento e o preço de β constantes, o aumento do preço do bem α em 100%, 
ira melhorar ou piorar o bem-estar de Rafaelito? Justifique e quantifique a sua resposta. 
 
 
 
 
 
Duas maneiras de pensar o problema de optimização 
Vimos que a cesta de consumo A na Fig. 4 é optima para o consumidor, porque ela responde 
a seguinte questão: Qual cesta deve ser escolhida pelo consumidor para maximizar a utilidade, 
dada uma restrição orçamentária que limita os gastos em $800 por mês? Nesse caso, como o 
consumidor escolhe a cesta composta por x e y para maximizar a utilidade, sem gastar mais de 
$800 nos dois bens, o problema de optimização pode ser representado do seguinte modo: 
max 𝑈(𝑥,𝑦) 𝑠. 𝑎 𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌 = 𝑅 
Neste exemplo, as variáveis endógenas são x e y (o consumidor escolhe a cesta). As variáveis 
exógenas são os preços Px, Py e a renda (isto é, a nivel de gastos). O método gráfico resolve o 
problema de escolha do consumidor, ao posicionar a cesta na reta orçamentária que permiteque o consumidor atinja a mais alta curva de indiferença. Essa curva de indiferença é 𝑈2 na 
fig. 4. 
Mas existe outra maneira de ver que a cesta A é optima. Vamos fazer uma pergunta diferente: 
Qual e a cesta que o consumidor deve escolher para minimizar seus gastos (isto é, a renda 
que precisa) e também para atingir um dado nível de utilidade U2? Neste caso, o consumidor 
escolhe a cesta de bens x e y, que minimizará o gasto total (renda) necessário para comprar os 
tais bens (𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌), atingindo ao mesmo tempo um dada nivel de utilidade (U2). Em termos 
algebricos seria: 
min 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 (𝑅) = 𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌 𝑠. 𝑎 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑈2 
Esse é o chamado problema de minimização de gastos, onde as variáveis endógenas ainda 
são x e y, mas as variáveis exógenas são os preços Px, Py, e o nível de utilidade requerido U2. 
O problema de maximização de utilidade da equação e o problema de minimização de gastos 
da equação são ditos duais um ao outro. 
 
Figura 5: Escolha optima. Minimizando os gastos para obter um dado nível de utilidade