Funções e Equações Matemáticas

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GABARITO | Avaliação II - Individual
(Cod.:739731)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 43028343
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 3/7
Nota 3,00
Muitas situações-problema, como consumo de água, produção de 
uma empresa, entre outras, são resolvidas por meio de funções. Neste 
processo, com o auxílio da representação gráfica, busca-se um 
entendimento dos fenômenos dos mais variados. Dependendo de algumas 
características da função, tem-se métodos distintos de resolução. Um dos 
métodos de resolução que definem o consumo de água num determinado 
tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para 
suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de 
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interpolação linear. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as 
sentenças a seguir: 
I- Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou 
decrescente. 
II- Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de 
grau 1. 
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos
interpolar duas funções distintas. 
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um 
ponto x. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças II e IV estão corretas.
Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações 
não lineares, vamos levantar a situação em que existe a necessidade de 
realizar a análise do comportamento de um regime permanente do 
circuito não linear, quando os valores de tensão através dos resistores 
podem ser obtidos através da resolução de um sistema de equações não 
lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o sistema de 
equações. Uma segunda situação permite mencionar que, no sistema 
aéreo, os controladores de voo trabalham com radares e, quando dois 
destes radares estão localizados em posições conhecidas, eles podem 
determinar a distância de suas localizações até uma aeronave que está se 
aproximando dentro do espaço aéreo. Neste caso, também temos um 
sistema de equações não lineares, e a solução está em calcular o valor das 
raízes das equações. Assim, efetue os seguintes cálculos: 
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Dado o sistema de equações não lineares:
A O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo dasvariáveis com referência às raízes de ambas as funções.
B No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor.
C As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistemaapresentam ponto de descontinuidade.
D As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto dedescontinuidade.
Em matemática, nos processos de otimização, os multiplicadores de 
Lagrange permitem encontrar máximos e mínimos de uma função de uma 
ou mais variáveis que podem ter uma ou mais restrições. De acordo com 
os dados no quadro a seguir, assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para a 
função:
A 0,9845x² + 0,6125x + 1
B 0,6125x² + 0,9845x + 1
C x² + 0,9845x + 0,6125
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D 0,9845x² + x + 0,6125
No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e 
aplicabilidade. Da teoria à prática, os logaritmos são trabalhados em 
diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma função logarítmica 
tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os 
conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o 
trabalho envolve radioatividade, para determinar o tempo de 
desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula: 
Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a 
massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o tempo. 
Equações com essa tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da 
teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles Francis 
Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para quantificar o 
nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é 
conhecida por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. 
Assim, é possível quantificar em Joules a quantidade de energia liberada 
por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um 
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tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na corrente 
sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. Neste caso, é 
possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse 
medicamento presente no corpo do paciente seja menor ou maior que 
uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com uma 
equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de 
erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = 
x.log(x+1) - 2, sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está 
contida no intervalo.
A A função tem sua raiz real em 3,25.
B A função tem sua raiz real em 3,3.
C A função tem sua raiz real em 3,2.
D A função tem sua raiz real em 3,5.
Existem vários métodos que determinam as raízes de uma função, 
dentre elas alguns necessitam de pelo menos um ponto suficientemente 
máximo para iniciar o processo de resolução. No entanto, o método do 
Algoritmo Quociente-Diferença não necessita desta informação. Com 
base neste método, podemos afirmar que: 
I- Podemos aplicá-lo desde que conheçamos um ponto próximo da raiz. 
II- Este método permite encontrarmos todas as raízes de um polinômio 
simultaneamente. 
III- Podemos aplicá-lo para qualquer tipo do polinômio. 
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IV- Este método permite encontrarmos inclusive raízes complexas. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças III e IV estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças II e IV estão corretas.
Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são 
bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma 
dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, 
podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele 
tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio 
forem reais e ele tiver uma raiz complexa então o conjugado dessa raiz 
também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o 
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polinômio 
p(x) = x³ + 2x² + x + 2 
Determine o valor de a sabendo que x = - 2 e x = a - i são raízes do 
polinômio.
A a = - 2
B a = 2
C a = - 1
D a = 0
As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou 
mais variáveis e constantes, relacionadas através de operações de 
multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. 
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Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x - 3, determine o seu valor para x 
igual a 0,5.
A O valor do polinômio é 3,6.
B O valor do polinômio é 1,65.
C O valor do polinômio é -1,5.
D O valor do polinômio é -2,4.
Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se 
caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual 
representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a 
tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de 
f(1,25)?
A f(1 25) = 5 5
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A f(1,25) 5,5
B f(1,25) = 5,75
C f(1,25) = 6,25
D f(1,25) = 6,5
As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou 
mais variáveis e constantes, relacionadas através de operações de 
multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. 
Dado o polinômio P (x) = 0,5x² + 2x + 1, determine o seu valor para x 
igual a 0,5.
A O valor do polinômio é 2,125.
B O valor do polinômio é 2,5.
C O valor do polinômio é 1,125.
D O valor do polinômio é 2,75.
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p ,
Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das 
raízes de uma função real qualquer. No entanto, dentre os cincos 
métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de 
interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, 
ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação problema para a tomada dedecisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a 
seguir: 
I- Método da bisseção. 
II- Método das cordas. 
III- Método de Newton. 
IV- Método das secantes. 
V- Método da iteração linear. 
( ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada 
na descoberta da função de iteração apropriada, e sua vantagem é que a 
convergência é rápida. 
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( ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a 
uma aproximação confiável da raiz são necessárias várias iterações. É 
utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz. 
( ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e 
a sua forma analítica; no entanto, quando modificado, ele mantém 
constante o valor da primeira derivada durante todo o processo interativo. 
( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal 
da segunda derivada da função é constante, com a necessidade da 
realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta. 
( ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da 
iteração linear e a convergência quadrática do método de Newton. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - II - I - III - IV.
B IV - V - II - I - III.
C V - I - III - II - IV.
D IV - V - I - II - III.
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