Avaliação II - Cálculo Numérico (MAT28)

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Disciplina: Cálculo Numérico (MAT28) 
Avaliação: Avaliação II - Individual Semipresencial ( Cod.:460825) ( peso.:1,50) 
Prova: 12250598 
Nota da Prova: 9,00 
 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares, vamos levantar a 
situação em que existe a necessidade de realizar a análise do comportamento de um regime permanente 
do circuito não linear, quando os valores de tensão através dos resistores podem ser obtidos através da 
resolução de um sistema de equações não lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o 
sistema de equações. Uma segunda situação permite mencionar que, no sistema aéreo, os controladores 
de voo trabalham com radares e, quando dois destes radares estão localizados em posições conhecidas, 
eles podem determinar a distância de suas localizações até uma aeronave que está se aproximando dentro 
do espaço aéreo. Neste caso, também temos um sistema de equações não lineares, e a solução está em 
calcular o valor das raízes das equações. Assim, efetue os seguintes cálculos: 
 
Dado o sistema de equações não lineares: 
 
 a) As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade. 
 b) As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade. 
 c) No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor. 
 d) O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com referência às raízes 
de ambas as funções. 
 
2. Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio 
de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a 
seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f (1,8)? 
 
 a) f(1,8) = 7,2 
 b) f(1,8) = 7,8 
 c) f(1,8) = 7,4 
 d) f(1,8) = 6,8 
 
3. Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam 
várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma 
raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E, 
ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado 
dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio: 
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 a) a = 0 
 b) a = - 1 
 c) a = 2 
 d) a = - 2 
 
4. No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à prática, os 
logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma função logarítmica 
tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos em assuntos específicos, 
como: a) na Química, quando o trabalho envolve radioatividade, para determinar o tempo de 
desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q 
representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o 
tempo. Equações com essa tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no 
ano de 1935, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para 
quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida por 
escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a 
quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um 
tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos 
como fígado e rins. Neste caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse 
medicamento presente no corpo do paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e 
para isso é necessário trabalhar com uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma 
margem de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, 
sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo. 
 
 a) A função tem sua raiz real em 3,2. 
 b) A função tem sua raiz real em 3,25. 
 c) A função tem sua raiz real em 3,5. 
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 d) A função tem sua raiz real em 3,3. 
 
5. As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, 
relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. 
Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x - 3, determine o seu valor para x igual a 0,5. 
 a) O valor do polinômio é 3,6. 
 b) O valor do polinômio é -1,5. 
 c) O valor do polinômio é -2,4. 
 d) O valor do polinômio é 1,65. 
 
6. Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio 
de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a 
seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(1,25)? 
 
 a) f(1,25) = 5,5 
 b) f(1,25) = 6,25 
 c) f(1,25) = 5,75 
 d) f(1,25) = 6,5 
 
7. Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real qualquer. 
No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de 
interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar 
na sua situação problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o 
código a seguir: 
 
I- Método da bisseção. 
II- Método das cordas. 
III- Método de Newton. 
IV- Método das secantes. 
V- Método da iteração linear. 
 
( ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de 
iteração apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida. 
( ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz 
são necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz. 
( ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no 
entanto, quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o processo 
interativo. 
( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da função é 
constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta. 
( ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência 
quadrática do método de Newton. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) IV - V - II - I - III. 
 b) V - II - I - III - IV. 
 c) IV - V - I - II - III. 
 d) V - I - III - II - IV. 
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base na tabela a seguir, determine para a função f(x) = ln x o valor de: 
 
 a) 0,5x² - 1,5x + 1 
 b) - x² + 4x - 3 
 c) - x² + 2x - 5 
 d) 0,5x² - 2,5x + 3 
 
9. As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, 
relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. 
Dado o polinômio P (x) = 0,5x² + 2x + 1, determine o seu valor para x igual a 0,5. 
 a) O valor do polinômio é 1,125. 
 b) O valor do polinômio é 2,125. 
 c) O valor do polinômio é 2,5. 
 d) O valor do polinômio é 2,75. 
 
10. Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio 
de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a 
seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(0,25)? 
 
 a) f(0,25) = 2,75 
 b) f(0,25) = 0,75 
 c) f(0,25) = 2,5 
 d) f(0,25) = 0,5 
 
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