_Cálculo Numérico (MAT28) Avaliação II - Individual Semipresencial

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Disciplina: Cálculo Numérico (MAT28)
Avaliação: Avaliação II - Individual Semipresencial
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada
1.No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à
prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma
função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos
em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve radioatividade, para
determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula:
Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de
redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa tipologia podem ser
resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles
Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para quantificar o nível de energia
liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida por escala de magnitude local, é
uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a quantidade de energia liberada
por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um tratamento, o paciente
recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins.
Neste caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse medicamento
presente no corpo do paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso é
necessário trabalhar com uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem
de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo
que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo.
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a) A função tem sua raiz real em 3,2.
b) A função tem sua raiz real em 3,3.
c) A função tem sua raiz real em 3,25.
d) A função tem sua raiz real em 3,5.
2.A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto discreto
de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Com relação à
interpolação inversa de uma função f, podemos afirmar que:
a) Pode ser aplicada qualquer que seja a função f.
b) É a operação inversa à interpolação.
c) É utilizada quando estamos interessados no valor de x cujo f(x) conhecemos.
d) Só podemos aplicar via interpolação linear.
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3.Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real
qualquer. No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações.
Neste caso, é de interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou
seja, vantajoso para aplicar na sua situação problema para a tomada de decisão. Sobre esses
métodos, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Método da bisseção.
II- Método das cordas.
III- Método de Newton.
IV- Método das secantes.
V- Método da iteração linear.
( ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função
de iteração apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida.
( ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável
da raiz são necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz.
( ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no
entanto, quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o
processo interativo.
( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da
função é constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma
convergência lenta.
( ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a
convergência quadrática do método de Newton.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) IV - V - I - II - III.
b) V - I - III - II - IV.
c) V - II - I - III - IV.
d) IV - V - II - I - III.
4.Para aplicarmos a interpolação polinomial de Newton em uma função, precisamos construir a
tabela das diferenças divididas finitas (DDF). Neste sentido, suponha que a tabela a seguir
contenha as DDFs de certa função f.
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a) 3,2256
b) 1,6427
c) 4,3392
d) 2,2557
Anexos:
5.As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes,
relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de
polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x - 3, determine o seu valor para x igual a 0,5.
a) O valor do polinômio é -1,5.
b) O valor do polinômio é -2,4.
c) O valor do polinômio é 1,65.
d) O valor do polinômio é 3,6.
6.Às vezes, torna-se difícil encontrar graficamente os zeros de uma função f. Nesses casos, vimos
que uma alternativa é tentar separar f em duas funções, g e h, mais simples, sob certas condições,
cujos gráficos conseguimos traçar. Os zeros de f são exatamente os pontos em que:
a) As funções g e h interceptam o eixo X.
b) g e h se anulam.
c) As funções g e h se interceptam.
d) As funções g e h interceptam o eixo Y.
7.Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da
solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, e sim um sistema não
linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o
sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da
interação linear, em geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do
sistema que o método de Newton. Com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que
apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois
de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton:
a) x = 0,505 e y = 0,125
b) x = 0,5 e y = 0,1
c) x = 0,495 e y = 0,124
d) x = 0,492 e y = 0,121
8.Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é
o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos. Com os dados no quadro a seguir, assinale
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a alternativa CORRETA que apresenta o polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para
a função:
a) 0,9845x² + 0,6125x + 1.
b) 0,6125x² + 0,9845x + 1.
c) 0,9845x² + x + 0,6125.
d) x² + 0,9845x + 0,6125.
Anexos:
9.Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares,vamos levantar a
situação em que existe a necessidade de realizar a análise do comportamento de um regime
permanente do circuito não linear, quando os valores de tensão através dos resistores podem ser
obtidos através da resolução de um sistema de equações não lineares, e o problema se reduz a
encontrar uma raiz para o sistema de equações. Uma segunda situação permite mencionar que, no
sistema aéreo, os controladores de voo trabalham com radares e, quando dois destes radares estão
localizados em posições conhecidas, eles podem determinar a distância de suas localizações até
uma aeronave que está se aproximando dentro do espaço aéreo. Neste caso, também temos um
sistema de equações não lineares, e a solução está em calcular o valor das raízes das equações.
Assim, efetue os seguintes cálculos:
Dado o sistema de equações não lineares:
a)
As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
b)
O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com referência às
raízes de ambas as funções.
c)
As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de
descontinuidade.
d)
No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor.
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1
0.
Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e
apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio
possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então
ele tem no máximo n raízes. E, ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver
uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no
exposto, considere o polinômio:
a) a = 2
b) a = - 2
c) a = - 1
d) a = 0
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